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7.3解析几何解答题(压轴题)-2-高考命题规律1.高考必考考题,压轴题.2.解答题,12分,中高档难度.3.全国高考有5种命题角度,分布如下表.-3-2020年高考必备2015年2016年2017年2018年2019年Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅲ卷Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅲ卷Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅲ卷Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅲ卷命题角度1曲线与轨迹问题2020命题角度2直线与圆锥曲线的位置关系20202020命题角度3圆锥曲线的最值、范围问题212020命题角度4圆锥曲线的定值、定点问题202021命题角度5圆锥曲线的探究、存在性问题20-4-12345曲线与轨迹问题高考真题体验·对方向1.(2017全国Ⅱ·20)设O为坐标原点,动点M在椭圆C:𝑥22+y2=1上,过M作x轴的垂线,垂足为N,点P满足𝑁𝑃=2𝑁𝑀.(1)求点P的轨迹方程;(2)设点Q在直线x=-3上,且𝑂𝑃·𝑃𝑄=1.证明:过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.(1)解:设P(x,y),M(x0,y0),则N(x0,0),𝑁𝑃=(x-x0,y),𝑁𝑀=(0,y0).由𝑁𝑃=2𝑁𝑀得x0=x,y0=22y.因为M(x0,y0)在C上,所以𝑥22+𝑦22=1.因此点P的轨迹方程为x2+y2=2.-5-12345(2)证明:由题意知F(-1,0).设Q(-3,t),P(m,n),则𝑂𝑄=(-3,t),𝑃𝐹=(-1-m,-n),𝑂𝑄·𝑃𝐹=3+3m-tn,𝑂𝑃=(m,n),𝑃𝑄=(-3-m,t-n).由𝑂𝑃·𝑃𝑄=1得-3m-m2+tn-n2=1.又由(1)知m2+n2=2,故3+3m-tn=0.所以𝑂𝑄·𝑃𝐹=0,即𝑂𝑄⊥𝑃𝐹.又过点P存在唯一直线垂直于OQ,所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.-6-123452.(2016全国Ⅲ·20)已知抛物线C:y2=2x的焦点为F,平行于x轴的两条直线l1,l2分别交C于A,B两点,交C的准线于P,Q两点.(1)若F在线段AB上,R是PQ的中点,证明:AR∥FQ;(2)若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍,求AB中点的轨迹方程.(1)证明:由题知F12,0.设l1:y=a,l2:y=b,则ab≠0,且A𝑎22,𝑎,B𝑏22,𝑏,P-12,𝑎,Q-12,𝑏,R-12,𝑎+𝑏2.记过A,B两点的直线为l,则l的方程为2x-(a+b)y+ab=0.由于F在线段AB上,故1+ab=0.记AR的斜率为k1,FQ的斜率为k2,则k1=𝑎-𝑏1+𝑎2=𝑎-𝑏𝑎2-𝑎𝑏=1𝑎=-𝑎𝑏𝑎=-b=k2.所以AR∥FQ.-7-12345(2)解:设l与x轴的交点为D(x1,0),则S△ABF=12|b-a||FD|=12|b-a|𝑥1-12,S△PQF=|𝑎-𝑏|2.由题设可得12|b-a|𝑥1-12=|𝑎-𝑏|2,所以x1=0(舍去),x1=1.设满足条件的AB的中点为E(x,y).当AB与x轴不垂直时,由kAB=kDE可得2𝑎+𝑏=𝑦𝑥-1(x≠1).而𝑎+𝑏2=y,所以y2=x-1(x≠1).当AB与x轴垂直时,E与D重合.所以所求轨迹方程为y2=x-1.-8-12345典题演练提能·刷高分1.(2019西南名校联盟重庆第八中学高三5月月考六)设抛物线C1的方程为x2=4y,点M(x0,y0)(x0≠0)在抛物线C2:x2=-y上,过M作抛物线C1的切线,切点分别为A,B,圆N是以线段AB为直径的圆.(1)若点M的坐标为(2,-4),求此时圆N的半径长;(2)当M在x2=-y上运动时,求圆心N的轨迹方程.-9-12345解:(1)设N(x,y),Ax1,𝑥124,Bx2,𝑥224,x1≠x2,切线MA,MB的方程分别为y=𝑥12(x-x1)+𝑥124,y=𝑥22(x-x2)+𝑥224,得MA,MB的交点M(x0,y0)的坐标为x0=𝑥1+𝑥22=2,y0=𝑥1𝑥24=-4.又kAB=𝑥224-𝑥124𝑥2-𝑥1=𝑥1+𝑥24=1,|AB|=1+𝑘2(𝑥1+𝑥2)2-4𝑥1𝑥2=410,∴r=12|AB|=210.(2)∵N为线段AB的中点,∴x=𝑥1+𝑥22,y=𝑥12+𝑥228.点M在C2上,即𝑥02=-y0.由(1)得𝑥1+𝑥222=-𝑥1𝑥24,则𝑥1+𝑥222=-(𝑥1+𝑥2)2-(𝑥12+𝑥22)8.∴x2=-4𝑥2-8𝑦8,x≠0,即x2=23y(x≠0).∴圆心N的轨迹方程为x2=23y(x≠0).-10-123452.已知A(-2,0),B(2,0),直线PA的斜率为k1,直线PB的斜率为k2,且k1k2=-34.(1)求点P的轨迹C的方程;(2)设F1(-1,0),F2(1,0),连接PF1并延长,与轨迹C交于另一点Q,点R是PF2中点,O是坐标原点,记△QF1O与△PF1R的面积之和为S,求S的最大值.解:(1)设P(x,y),∵A(-2,0),B(2,0),∴k1=𝑦𝑥+2,k2=𝑦𝑥-2,又k1k2=-34,∴𝑦2𝑥2-4=-34,∴𝑥24+𝑦23=1(x≠±2),∴轨迹C的方程为𝑥24+𝑦23=1(x≠±2).-11-12345(2)由O,R分别为F1F2,PF2的中点,故OR∥PF1,故△PF1R与△PF1O同底等高,故𝑆△𝑃𝐹1𝑅=𝑆△𝑃𝐹1𝑂,S=𝑆△𝑄𝐹1𝑂+𝑆△𝑃𝐹1𝐸=S△PQO,当直线PQ的斜率不存在时,其方程为x=-1,此时S△PQO=12×1×32--32=32;当直线PQ的斜率存在时,设其方程为y=k(x+1),设P(x1,y1),Q(x2,y2),显然直线PQ不与x轴重合,即k≠0;联立𝑦=𝑘(𝑥+1),𝑥24+𝑦23=1,解得(3+4k2)x2+8k2x+4k2-12=0,Δ=144(k2+1)0,𝑥1+𝑥2=-8𝑘23+4𝑘2,𝑥1𝑥2=4𝑘2-123+4𝑘2,-12-12345故|PQ|=1+𝑘2|x1-x2|=1+𝑘2·(𝑥1+𝑥2)2-4𝑥1𝑥2=12(1+𝑘2)3+4𝑘2,点O到直线PQ的距离d=|𝑘|1+𝑘2,S=12|PQ|d=6𝑘2(𝑘2+1)(3+4𝑘2)2,令u=3+4k2∈(3,+∞),故S=6𝑢-34·𝑢+14𝑢2=32-3𝑢2-2𝑢+1∈0,32,故S的最大值为32.-13-123453.已知圆C:(x+1)2+y2=8,过D(1,0)且与圆C相切的动圆圆心为P.(1)求点P的轨迹E的方程;(2)设过点C的直线l1交曲线E于Q,S两点,过点D的直线l2交曲线E于R,T两点,且l1⊥l2,垂足为W(Q,R,S,T为不同的四个点).①设W(x0,y0),证明:𝑥022+𝑦021;②求四边形QRST的面积的最小值.(1)解:设动圆半径为r,由于D在圆内,圆P与圆C内切,则|PC|=22-r,|PD|=r,|PC|+|PD|=22|CD|=2,由椭圆定义可知,点P的轨迹E是椭圆,a=2,c=1,b=2-1=1,E的方程为𝑥22+y2=1.-14-12345(2)①证明由已知条件可知,垂足W在以CD为直径的圆周上,则有𝑥02+𝑦02=1,又因Q,R,S,T为不同的四个点,𝑥022+𝑦021.②解:若l1或l2的斜率不存在,四边形QRST的面积为2.若两条直线的斜率都存在,设l1的斜率为k,则l1的方程为y=k(x+1),解方程组𝑦=𝑘(𝑥+1),𝑥22+𝑦2=1,得(2k2+1)x2+4k2x+2k2-2=0,则|QS|=22·𝑘2+12𝑘2+1,同理得|RT|=22·𝑘2+1𝑘2+2,∴SQSRT=12|QS|·|RT|=4(𝑘2+1)2(2𝑘2+1)(𝑘2+2)≥4(𝑘2+1)22𝑘2+1+𝑘2+222=169,当且仅当2k2+1=k2+2,即k=±1时等号成立.综上所述,当k=±1时,四边形QRST的面积取得最小值169.-15-123454.设点A为圆C:x2+y2=4上的动点,点A在x轴上的投影为Q,动点M满足2𝑀𝑄=𝐴𝑄,动点M的轨迹为E.(1)求E的方程;(2)设E与y轴正半轴的交点为B,过点B的直线l的斜率为k(k≠0),l与E交于另一点P.若以点B为圆心,以线段BP长为半径的圆与E有4个公共点,求k的取值范围.解:(1)设点M(x,y),A(x1,y1),则Q(x1,0),因为2𝑀𝑄=𝐴𝑄,所以2(x1-x,-y)=(0,-y1),所以2(𝑥1-𝑥)=0,-2𝑦=-𝑦1,解得𝑥1=𝑥,𝑦1=2𝑦.由于点A在圆C:x2+y2=4上,所以x2+4y2=4,所以点M的轨迹E的方程为𝑥24+y2=1.(2)由(1)知,E的方程为𝑥24+y2=1,因为直线l:y=kx+1(k≠0).由𝑦=𝑘𝑥+1,𝑥24+𝑦2=1得(1+4k2)x2+8kx=0.设B(x1,y1),P(x2,y2),因此x1=0,x2=-8𝑘1+4𝑘2,|BP|=1+𝑘2|x1-x2|=8|𝑘|1+4𝑘21+𝑘2,则点P的轨迹方程为x2+(y-1)2=64𝑘2(1+𝑘2)(1+4𝑘2)2,由𝑥2+(𝑦-1)2=64𝑘2(1+𝑘2)(1+4𝑘2)2,𝑥2+4𝑦2=4,得3y2+2y-5+64𝑘2(1+𝑘2)(1+4𝑘2)2=0(-1≤y≤1),(*)依题意得,(*)式关于y的方程在(-1,1)有两个不同的实数解,-16-12345-17-12345设f(x)=3x2+2x-5+64𝑘2(1+𝑘2)(1+4𝑘2)2(-1x1),因为函数f(x)的对称轴为x=-13,要使函数f(x)的图象在(-1,1)与x轴有两个不同的交点,则𝛥=4-4×3×-5+64𝑘2(1+𝑘2)(1+4𝑘2)20,𝑓(-1)0,整理得4𝑘4-4𝑘2+10,-4+64𝑘2(1+𝑘2)(1+4𝑘2)20,即4𝑘4-4𝑘2+10,12𝑘4+8𝑘2-10,所以𝑘2≠12,𝑘218.解得k∈-∞,-22∪-22,-24∪24,22∪22,+∞,所以k的取值范围为-∞,-22∪-22,-24∪24,22∪22,+∞.-18-12345直线与圆锥曲线的位置关系高考真题体验·对方向1.(2019天津·19)设椭圆𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(ab0)的左焦点为F,左顶点为A,上顶点为B,已知3|OA|=2|OB|(O为原点).(1)求椭圆的离心率;(2)设经过点F且斜率为34的直线l与椭圆在x轴上方的交点为P,圆C同时与x轴和直线l相切,圆心C在直线x=4上,且OC∥AP.求椭圆的方程.解:(1)设椭圆的半焦距为c,由已知有3a=2b,又由a2=b2+c2,消去b得a2=32a2+c2,解得𝑐𝑎=12.所以,椭圆的离心率为12.-19-12345(2)由(1)知,a=2c,b=3c,故椭圆方程为𝑥24𝑐2+𝑦23𝑐2=1,由题意,F(-c,0),则直线l的方程为y=34(x+c).点P的坐标满足𝑥24𝑐2+𝑦23𝑐2=1,𝑦=34(𝑥+𝑐),消去y并化简,得到7x2+6cx-13c2=0,解得x1=c,x2=-13𝑐7.代入到l的方程,解得y1=32c,y2=-914c.因为点P在x轴上方,所以Pc,32c.由圆心C在直线x=4上,可设C(4,t).因为OC∥AP,且由(Ⅰ)知A(-2c,0),故𝑡4=32𝑐𝑐+2𝑐,解得t=2.因为圆C与x轴相切,所以圆的半径长为2,又由圆C与l相切,得34(4+𝑐)-21+(34)2=2,可得c=2.所以,椭圆的方程为𝑥216+𝑦212=1.-20-123452.(2017北京·19)已知椭圆C的两个顶点分别为A(-2,0),B(2,0),焦点在x轴上,离心率