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7.2圆锥曲线的标准方程与性质-2-高考命题规律1.每年必考考题,多数年份有2道小题,主要考查圆锥曲线方程、性质的应用.2.选择题或填空题,5分,中档难度.3.全国高考有4种命题角度,分布如下表.-3-2020年高考必备2015年2016年2017年2018年2019年Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅲ卷Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅲ卷Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅲ卷Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅲ卷命题角度1圆锥曲线的定义及标准方程1655命题角度2圆锥曲线的简单性质及其应用5121214610910-4-2020年高考必备2015年2016年2017年2018年2019年Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅲ卷Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅲ卷Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅲ卷Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅲ卷命题角度3求椭圆、双曲线的离心率5125114111012命题角度4圆锥曲线的中点弦与焦点弦问题-5-圆锥曲线的定义及标准方程高考真题体验·对方向1.(2017全国Ⅰ·5)已知F是双曲线C:x2-𝑦23=1的右焦点,P是C上一点,且PF与x轴垂直,点A的坐标是(1,3),则△APF的面积为()A.13B.12C.23D.32答案:D解析:由c2=a2+b2=4,得c=2,所以点F的坐标为(2,0).将x=2代入x2-𝑦23=1,得y=±3,所以PF=3.又点A的坐标是(1,3),故△APF的面积为12×3×(2-1)=32,故选D.-6-2.(2016全国Ⅱ·5)设F为抛物线C:y2=4x的焦点,曲线y=𝑘𝑥(k0)与C交于点P,PF⊥x轴,则k=()A.12B.1C.32D.2答案:D解析:因为F为抛物线y2=4x的焦点,所以F(1,0).又因为曲线y=𝑘𝑥(k0)与抛物线交于点P,PF⊥x轴,如图所示,可知P(1,2),故𝑘1=2,解得k=2,故选D.-7-3.(2017北京·10)若双曲线x2-𝑦2𝑚=1的离心率为3,则实数m=.答案:2解析:由题意知a=1,b=𝑚,m0,c=𝑎2+𝑏2=1+𝑚,则离心率e=𝑐𝑎=1+𝑚=3,解得m=2.-8-4.(2016山东·14)已知双曲线E:𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(a0,b0).矩形ABCD的四个顶点在E上,AB,CD的中点为E的两个焦点,且2|AB|=3|BC|,则E的离心率是.答案:2解析:由题意不妨设AB=3,则BC=2.设AB,CD的中点分别为M,N,如图,则在Rt△BMN中,MN=2,故BN=𝐵𝑀2+𝑀𝑁2=322+22=52.由双曲线的定义可得2a=BN-BM=52−32=1,而2c=MN=2,所以双曲线的离心率e=2𝑐2𝑎=2.-9-典题演练提能·刷高分1.已知椭圆C:𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(ab0),若长轴长为6,且两焦点恰好将长轴三等分,则此椭圆的标准方程为()A.𝑥236+𝑦232=1B.𝑥29+𝑦28=1C.𝑥29+𝑦25=1D.𝑥216+𝑦212=1答案:B解析:∵椭圆长轴长为6,焦点恰好将长轴三等分,∴2a=6,a=3,∴6c=6,c=1,b2=a2-1=8,∴椭圆方程为𝑥29+𝑦28=1,故选B.-10-2.已知F为抛物线C:y2=4x的焦点,过点F的直线l交抛物线C于A,B两点,若|AB|=8,则线段AB的中点M到直线x+1=0的距离为()A.2B.4C.8D.16答案:B解析:如图,抛物线y2=4x的焦点为F(1,0),准线为x=-1,即x+1=0,分别过A,B作准线的垂线,垂足为C,D,则有|AB|=|AF|+|BF|=|AC|+|BD|=8,过AB的中点M作准线的垂线,垂足为N,则MN为直角梯形ABDC的中位线,则|MN|=(|AC|+|BD|)=4,即M到准线x=-1的距离为4.故选B.12-11-3.已知双曲线C:𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(a0,b0)过点(2,3),且实轴的两个端点与虚轴的一个端点组成一个等边三角形,则双曲线C的标准方程是()A.𝑥212-y2=1B.𝑥29−𝑦23=1C.x2-𝑦23=1D.𝑥223−𝑦232=1答案:C-12-解析:由双曲线C:𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(a0,b0)过点(2,3),且实轴的两个端点与虚轴的一个端点组成一个等边三角形,可得2𝑎2-3𝑏2=1,𝑏𝑎=3,解得𝑎=1,𝑏=3,∴双曲线C的标准方程是x2-𝑦23=1.故选C.-13-4.已知点A(-1,0),B(1,0)为双曲线𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(a0,b0)的左、右焦点,点M在双曲线上,△ABM为等腰三角形,且顶角为120°,则该双曲线的方程为()A.x2-𝑦24=1B.x2-y2=1C.x2-𝑦23=1D.x2-𝑦22=1答案:B-14-解析:由点M在双曲线上,△ABM为等腰三角形,且顶角为120°,得|AB|=|BM|,∠ABM=120°,过点M作MN⊥x轴,垂足为N,则∠NBM=60°,如图所示.在Rt△BNM中,|BM|=|AB|=2a,∠NBM=60°,则|BN|=2acos60°=a,|MN|=2asin60°=3a,即M(2a,3a),代入双曲线方程得4-3𝑎2𝑏2=1,即b2=a2.∵点A(-1,0),B(1,0)为双曲线的左、右顶点,∴a=b=1,∴双曲线的方程为x2-y2=1.-15-5.已知抛物线y2=2px(p0)的焦点为F,准线为l,A,B是抛物线上的两个动点,且满足∠AFB=60°.设线段AB的中点M在l上的投影为N,则()A.|AB|≥2|MN|B.2|AB|≥3|MN|C.|AB|≥3|MN|D.|AB|≥|MN|答案:D解析:由抛物线定义得|AF|+|BF|=2|MN|,在△AFB中,|AB|2=|AF|2+|BF|2-2|AF|·|BF|cos60°=|AF|2+|BF|2-|AF|·|BF|=(|AF|+|BF|)2-3|AF|·|BF|≥(|AF|+|BF|)2-3×|𝐴𝐹|+|𝐵𝐹|22=(|𝐴𝐹|+|𝐵𝐹|)24=|MN|2,所以|AB|≥|MN|,故选D.-16-6.已知抛物线C:y2=8x上一点P,直线l1:x=-2,l2:3x-5y+30=0,则P到这两条直线的距离之和的最小值为()A.2B.234C.161534D.181734答案:D解析:由题意得直线l1:x=-2是抛物线的准线,设P到直线l1的距离为PA,点P到直线l2的距离为PB,所以P到这两条直线的距离之和为|PA|+|PB|=|PF|+|PB|,当P,B,F三点共线时,距离之和最小.此时,最小值为|3×2-5×0+30|32+(-5)2=181734,故选D.-17-7.如图,椭圆𝑥2𝑎2+𝑦24=1的焦点为F1,F2,过F1的直线交椭圆于M,N两点,交y轴于点H.若F1,H是线段MN的三等分点,则△F2MN的周长为()A.20B.10C.25D.45-18-答案:D解析:由题意知H为线段F1N的中点,且F1(-c,0),b=2,由中点坐标公式得点N的横坐标为c,即NF2⊥x轴,所以Nc,4𝑎,则H0,2𝑎.又F1为线段HM的中点,由中点坐标公式可得M-2c,-2𝑎,代入椭圆方程得4𝑐2𝑎2+1𝑎2=1,∴a2=1+4c2,∴1+4c2=4+c2,∴c2=1,a2=b2+c2=5.由椭圆的定义可知,△F2MN的周长为4a=4.5-19-圆锥曲线的简单性质及其应用高考真题体验·对方向1.(2019全国Ⅱ·9)若抛物线y2=2px(p0)的焦点是椭圆𝑥23𝑝+𝑦2𝑝=1的一个焦点,则p=()A.2B.3C.4D.8答案:D解析:∵y2=2px的焦点坐标为𝑝2,0,椭圆𝑥23𝑝+𝑦2𝑝=1的焦点坐标为(±3𝑝-𝑝,0),∴3p-p=𝑝24,解得p=8,故选D.-20-2.(2019全国Ⅲ·10)已知F是双曲线C:𝑥24−𝑦25=1的一个焦点,点P在C上,O为坐标原点.若|OP|=|OF|,则△OPF的面积为()A.32B.52C.72D.92答案:B解析:设点P(x0,y0),则𝑥024−𝑦025=1.①又|OP|=|OF|=4+5=3,∴𝑥02+𝑦02=9.②由①②得,𝑦02=259,即|y0|=53.∴S△OPF=12|OF|·|y0|=12×3×53=52.故选B.-21-3.(2018全国Ⅲ·10)已知双曲线C:𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(a0,b0)的离心率为2,则点(4,0)到C的渐近线的距离为()A.2B.2C.322D.22答案:D解析:∵双曲线C的离心率为2,∴e=𝑐𝑎=2,即c=2a,a=b.∴其渐近线方程为y=±x,则(4,0)到c的渐近线距离d=|4|2=22.-22-4.(2018全国Ⅱ·6)双曲线𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(a0,b0)的离心率为3,则其渐近线方程为()A.y=±2xB.y=±3xC.y=±22xD.y=±32x答案:A解析:∵e=𝑐𝑎=3,∴𝑐2𝑎2=𝑏2+𝑎2𝑎2=𝑏𝑎2+1=3.∴𝑏𝑎=±2.∵双曲线交点在x轴上,∴渐近线方程为y=±𝑏𝑎x,∴渐近线方程为y=±2x.-23-5.(2017全国Ⅰ·12)设A,B是椭圆C:𝑥23+𝑦2𝑚=1长轴的两个端点.若C上存在点M满足∠AMB=120°,则m的取值范围是()A.(0,1]∪[9,+∞)B.(0,3]∪[9,+∞)C.(0,1]∪[4,+∞)D.(0,3]∪[4,+∞)答案:A解析:由题意,可知当点M为短轴的端点时,∠AMB最大.当0m3时,椭圆C的焦点在x轴上,要使椭圆C上存在点M满足∠AMB=120°,则𝑎𝑏≥tan60°=3,即3𝑚≥3,解得0m≤1;当m3时,椭圆C的焦点在y轴上,要使椭圆C上存在点M满足∠AMB=120°,则𝑎𝑏≥tan60°=3,即𝑚3≥3,解得m≥9,综上m的取值范围为(0,1]∪[9,+∞),故选A.-24-6.(2017全国Ⅱ·12)过抛物线C:y2=4x的焦点F,且斜率为的直线交C于点M(M在x轴的上方),l为C的准线,点N在l上且MN⊥l,则M到直线NF的距离为()A.5B.22C.23D.333答案:C解析:由题意可知抛物线的焦点F(1,0),准线l的方程为x=-1,可得直线MF:y=3(x-1),与抛物线y2=4x联立,消去y得3x2-10x+3=0,解得x1=13,x2=3.因为M在x轴的上方,所以M(3,23).因为MN⊥l,且N在l上,所以N(-1,23).因为F(1,0),所以直线NF:y=-3(x-1).所以M到直线NF的距离为|3×(3-1)+23|(-3)2+12=23.-25-7.(2019全国Ⅲ·15)设F1,F2为椭圆C:𝑥236+𝑦220=1的两个焦点,M为C上一点且在第一象限.若△MF1F2为等腰三角形,则M的坐标为.答案:(3,15)解析:∵a2=36,b2=20,∴c2=a2-b2=16,∴c=4.由题意得,|MF1|=|F1F2|=2c=8.∵|MF1|+|MF2|=2a=12,∴|MF2|=4.-26-设点M的坐标为(x0,y0)(x00,y00),则𝑆△𝑀𝐹1𝐹2=12×|F1F2|×y0=4y0.又𝑆△𝑀𝐹1𝐹2=12×4×82-22=415,∴4y0=415,解得y0=15.又点M在椭圆C上,∴𝑥0236+(15)220=1,解得x0=3或x0=-3(舍去).∴点M的坐标为(3,15).-27-典题演练提能·刷高分1.(2019安徽滁州一中高三模拟)已知F为抛物线C:y2=4x的焦点.点A在抛物线上,若点P是抛物线准线上的动点,O为坐标原点,且|AF|=5,则|PA|+|PO|的最小值为()答案:D解析:∵|AF|=5,∴点A到准线的距离为5,由抛物线焦半径公式可知:点A的横坐标为4.又点A在抛物线上,∴点A的坐标为(4,±4).∵坐标原点关于准线对称点的坐标为B(-2,0),A.5B.13C.25D.213∴|PA|+|PO|=|PA|+|PB|≥|AB|=