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7.2圆锥曲线的标准方程与性质-2-高考命题规律1.每年必考考题,多数年份有2道小题,主要考查圆锥曲线方程、性质的应用.2.选择题或填空题,5分,中高档难度.3.全国高考有4种命题角度,分布如下表.2020年高考必备2015年2016年2017年2018年2019Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅲ卷Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅲ卷Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅲ卷Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅲ卷命题角度1圆锥曲线的定义及标准方程5108命题角度2圆锥曲线的简单性质及其应用510165115161015命题角度3求椭圆、双曲线的离心率11111115912111611命题角度4圆锥曲线的中点弦与焦点弦问题-3-高考真题体验典题演练提能圆锥曲线的定义及标准方程1.(2019北京·4)已知椭圆𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(ab0)的离心率为12,则()A.a2=2b2B.3a2=4b2C.a=2bD.3a=4b解析:椭圆的离心率e=𝑐𝑎=12,c2=a2-b2,化简得3a2=4b2,故选B.答案:B-4-高考真题体验典题演练提能2.(2019全国Ⅱ·8)若抛物线y2=2px(p0)的焦点是椭圆𝑥23𝑝+𝑦2𝑝=1的一个焦点,则p=()A.2B.3C.4D.8答案:D解析:∵y2=2px的焦点坐标为𝑝2,0,椭圆𝑥23𝑝+𝑦2𝑝=1的焦点坐标为(±3𝑝-𝑝,0),∴3p-p=𝑝24,解得p=8,故选D.-5-高考真题体验典题演练提能3.(2017北京·9)若双曲线x2-𝑦2𝑚=1的离心率为3,则实数m=.答案:2解析:由题意知a=1,b=𝑚,m0,c=𝑎2+𝑏2=1+𝑚,则离心率e=𝑐𝑎=1+𝑚=3,解得m=2.-6-高考真题体验典题演练提能4.(2016北京·13)双曲线𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(a0,b0)的渐近线为正方形OABC的边OA,OC所在的直线,点B为该双曲线的焦点.若正方形OABC的边长为2,则a=.答案:2解析:∵四边形OABC是正方形,∴∠AOB=45°,∴不妨设直线OA的方程即双曲线的一条渐近线的方程为y=x.∴𝑏𝑎=1,即a=b.又|OB|=22,∴c=22.∴a2+b2=c2,即a2+a2=(22)2,可得a=2.-7-高考真题体验典题演练提能1.(2019湖南长沙第一中学高三下学期高考模拟)若双曲线𝑥2𝑎2-y2=1(a0)的实轴长为2,则其渐近线方程为()A.y=±xB.y=±2xC.y=±12xD.y=±2x答案:A解析:由双曲线的实轴长为2,得a=1,又b=1,所以双曲线的渐近线方程为y=±x.故选A.-8-高考真题体验典题演练提能2.(2019江西新八校高三第二次联考)已知点P为抛物线y2=4x上的动点,点P在y轴上的射影是B,A点坐标为(3,4).则|PA|+|PB|的最小值是()A.5B.4C.25D.25-1答案:D解析:根据题意知抛物线的准线方程为x=-1,焦点F(1,0),由抛物线定义可得|PA|+|PB|=|PA|+|PF|-1≥|AF|-1=22+42-1=25-1.故选D.-9-高考真题体验典题演练提能3.已知椭圆𝑥24+𝑦23=1的左、右焦点分别为F1,F2,过F2且垂直于长轴的直线交椭圆于A,B两点,则△ABF1内切圆的半径为()A.43B.1C.45D.34答案:D解析:由𝑥24+𝑦23=1得a=2,c=1,根据椭圆的定义可知△ABF1的周长为4a=8,△ABF1面积为12|F1F2|×|yA-yB|=12×2×3=3=12×8×r,解得r=34,故选D.-10-高考真题体验典题演练提能4.已知点A(-1,0),B(1,0)为双曲线𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(a0,b0)的左、右焦点,点M在双曲线上,△ABM为等腰三角形,且顶角为120°,则该双曲线的方程为()A.x2-𝑦24=1B.x2-y2=1C.x2-𝑦23=1D.x2-𝑦22=1答案:B-11-高考真题体验典题演练提能解析:由点M在双曲线上,△ABM为等腰三角形,且顶角为120°,得|AB|=|BM|,∠ABM=120°,过点M作MN⊥x轴,垂足为N,则∠NBM=60°,如图所示.△BNM中,|BM|=|AB|=2a,∠NBM=60°,则|BN|=2acos60°=a,|MN|=2asin60°=3a,即M(2a,3a),代入双曲线方程得4-3𝑎2𝑏2=1,即b2=a2.∵点A(-1,0),B(1,0)为双曲线的左、右顶点,∴a=b=1,∴双曲线的方程为x2-y2=1.-12-高考真题体验典题演练提能5.已知抛物线C:y2=8x上一点P,直线l1:x=-2,l2:3x-5y+30=0,则P到这两条直线的距离之和的最小值为()A.2B.234C.161534D.181734答案:D解析:由题意得直线l1:x=-2是抛物线的准线,设P到直线l1的距离为PA,点P到直线l2的距离为PB,所以P到这两条直线的距离之和为|PA|+|PB|=|PF|+|PB|,当P,B,F三点共线时,距离之和最小.此时,最小值为|3×2-5×0+30|32+(-5)2=181734,故选D.-13-高考真题体验典题演练提能6.如图,椭圆𝑥2𝑎2+𝑦24=1的焦点为F1,F2,过F1的直线交椭圆于M,N两点,交y轴于点H.若F1,H是线段MN的三等分点,则△F2MN的周长为()A.20B.10C.25D.45答案:D-14-高考真题体验典题演练提能解析:由题意知H为线段F1N的中点,且F1(-c,0),b=2,由中点坐标公式得点N的横坐标为c,即NF2⊥x轴,所以Nc,4𝑎,则H0,2𝑎.又F1为线段HM的中点,由中点坐标公式可得M-2c,-2𝑎,代入椭圆方程得4𝑐2𝑎2+1𝑎2=1,∴a2=1+4c2,∴1+4c2=4+c2,∴c2=1,a2=b2+c2=5.由椭圆的定义可知,△F2MN的周长为4a=45.-15-高考真题体验典题演练提能7.(2019北京昌平区高三年级第二次统一练习)已知双曲线C1:x2-𝑦23=1,若抛物线C2:x2=2py(p0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为1,则抛物线C2的方程为.答案:x2=8y解析:双曲线C1:x2-𝑦23=1的渐近线方程为3x±y=0,抛物线的焦点坐标为0,𝑝2,抛物线C2:x2=2py(p0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为1,可得𝑝21+3=1,解得p=4.故抛物线C2的方程为:x2=8y.-16-高考真题体验典题演练提能圆锥曲线的简单性质及其应用1.(2019全国Ⅰ·10)已知椭圆C的焦点为F1(-1,0),F2(1,0),过F2的直线与C交于A,B两点.若|AF2|=2|F2B|,|AB|=|BF1|,则C的方程为()A.𝑥22+y2=1B.𝑥23+𝑦22=1C.𝑥24+𝑦23=1D.𝑥25+𝑦24=1答案:B-17-高考真题体验典题演练提能解析:如图,由已知可设|F2B|=n,|BF1|=m.由|AB|=|BF1|,则|AF2|=m-n,|AB|=m.又|AF1|+|AF2|=|BF1|+|BF2|,故|AF1|=2n.由椭圆的定义及|AF2|=2|F2B|,得𝑚-𝑛=2𝑛,𝑚+𝑛=2𝑎,解得𝑚=3𝑎2,𝑛=𝑎2.∴|AF1|=a,|AF2|=a.∴点A为(0,-b).∴𝑘𝐴𝐹2=𝑏1=b.过点B作x轴的垂线,垂足为点P.由题意可知△OAF2∽△PBF2.又|AF2|=2|F2B|,∴|OF2|=2|F2P|.-18-高考真题体验典题演练提能∴|F2P|=12.又𝑘𝐴𝐹2=|𝐵𝑃||𝐹2𝑃|=|𝐵𝑃|12=b,∴|BP|=12b.∴点B32,12𝑏.把点B坐标代入椭圆方程𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1中,得a2=3.又c=1,故b2=2.所以椭圆方程为𝑥23+𝑦22=1.-19-高考真题体验典题演练提能2.(2018全国Ⅱ·5)双曲线𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(a0,b0)的离心率为3,则其渐近线方程为()A.y=±2xB.y=±3xC.y=±22xD.y=±32x答案:A解析:∵e=𝑐𝑎=3,∴𝑐2𝑎2=𝑏2+𝑎2𝑎2=𝑏𝑎2+1=3.∴𝑏𝑎=2.∵双曲线焦点在x轴上,∴渐近线方程为y=±𝑏𝑎x,∴渐近线方程为y=±2x.-20-高考真题体验典题演练提能3.(2018全国Ⅰ·11)已知双曲线C:𝑥23-y2=1,O为坐标原点,F为C的右焦点,过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M,N.若△OMN为直角三角形,则|MN|=()A.32B.3C.23D.4答案:B解析:由条件知F(2,0),渐近线方程为y=±33x,所以∠NOF=∠MOF=30°,∠MON=60°≠90°.不妨设∠OMN=90°,则|MN|=3|OM|.又|OF|=2,在Rt△OMF中,|OM|=2cos30°=3,所以|MN|=3.-21-高考真题体验典题演练提能4.(2017全国Ⅲ·5)已知双曲线C:𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(a0,b0)的一条渐近线方程为y=52x,且与椭圆𝑥212+𝑦23=1有公共焦点,则C的方程为()A.𝑥28−𝑦210=1B.𝑥24−𝑦25=1C.𝑥25−𝑦24=1D.𝑥24−𝑦23=1答案:B解析:由题意得𝑏𝑎=52,c=3.又a2+b2=c2,所以a2=4,b2=5,故C的方程为𝑥24−𝑦25=1.-22-高考真题体验典题演练提能5.(2019江苏·7)在平面直角坐标系xOy中,若双曲线x2-𝑦2𝑏2=1(b0)经过点(3,4),则该双曲线的渐近线方程是.答案:y=±2x解析:∵双曲线x2-𝑦2𝑏2=1(b0)过点(3,4),∴32-42𝑏2=1,解得b2=2,即b=2或b=-2(舍去).∵a=1,且双曲线的焦点在x轴上,∴双曲线的渐近线方程为y=±2x.-23-高考真题体验典题演练提能6.(2019全国Ⅲ·15)设F1,F2为椭圆C:𝑥236+𝑦220=1的两个焦点,M为C上一点且在第一象限.若△MF1F2为等腰三角形,则M的坐标为.答案:(3,15)解析:∵a2=36,b2=20,∴c2=a2-b2=16,∴c=4.由题意得,|MF1|=|F1F2|=2c=8.∵|MF1|+|MF2|=2a=12,∴|MF2|=4.设点M的坐标为(x0,y0)(x00,y00),则𝑆△𝑀𝐹1𝐹2=12×|F1F2|×y0=4y0.又𝑆△𝑀𝐹1𝐹2=12×4×82-22=415,∴4y0=415,解得y0=15.又点M在椭圆C上,∴𝑥0236+(15)220=1,解得x0=3或x0=-3(舍去).∴点M的坐标为(3,15).-24-高考真题体验典题演练提能7.(2018全国Ⅲ·16)已知点M(-1,1)和抛物线C:y2=4x,过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A,B两点,若∠AMB=90°,则k=.答案:2解析:设直线AB:x=my+1,联立𝑥=𝑚𝑦+1,𝑦2=4𝑥⇒y2-4my-4=0,y1+y2=4m,y1y2=-4.而𝑀𝐴=(x1+1,y1-1)=(my1+2,y1-1),𝑀𝐵=(x2+1,y2-1)=(my2+2,y2-1).∵∠AMB=90°,∴𝑀𝐴·𝑀𝐵=(my1+2)(my2+2)+(y1-1)(y2-1)=(m2+1)y1y2+(2m-1)(y1+y2)+5=-4(m2+1)+(2m-1)4m+5=4m2-4m+1=0.∴m=12.∴k=1𝑚=2.-25-高考真题体验典题演练提能1.若F(c,0)是椭圆𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1的右焦点,F与椭圆上点的距离的最大值为M,最小值为m,则椭圆上与F点的距离等于𝑀+𝑚2的点的坐标是()A.c,±𝑏2𝑎B.-c,±𝑏2𝑎C.(0,±b)D.不存在答案:C解析:由椭圆的性质得M=a+c,m=a-c,所以𝑀+𝑚2=a,椭圆上与F点的距离等于a的点为短轴