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7.1直线和圆-2-高考命题规律1.少数年份单独考查,多数年份与其他知识综合考查.2.填空题或选择题,5分,中高档难度.3.全国高考有3种命题角度,分布如下表.2020年高考必备2015年2016年2017年2018年2019年Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅲ卷Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅲ卷Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅲ卷Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅲ卷命题角度1直线与方程6命题角度2求圆的方程7命题角度3直线与圆、圆与圆的位置关系151511158-3-直线与方程高考真题体验·对方向1.(2019北京·3)已知直线l的参数方程为𝑥=1+3𝑡,𝑦=2+4𝑡(t为参数),则点(1,0)到直线l的距离是()A.15B.25C.45D.65答案:D解析:直线l的普通方程为4(x-1)-3(y-2)=0,即4x-3y+2=0,点(1,0)到直线l的距离d=|4-0+2|42+32=65,故选D.-4-2.(2016上海·3)已知平行直线l1:2x+y-1=0,l2:2x+y+1=0,则l1,l2的距离为.答案:255解析:利用两平行线间的距离公式,得d=|𝐶1-𝐶2|𝐴2+𝐵2=|-1-1|22+12=255.-5-典题演练提能·刷高分1.设复数-i2017在复平面内对应的点为A,过原点和点A的直线的倾斜角为()3A.π6B.-π6C.23πD.56π答案:D解析:直线的倾斜角为α,α∈[0,π),复数3-i2017=3-i在复平面内对应的点是(3,-1),原点(0,0),斜率k=-1-03-0=-33,tanα=-33,可得α=5π6,故选D.-6-2.“a=-3”是“直线l1:ax-(a+1)y+1=0与直线l2:2x-ay-1=0垂直”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案:A解析:由直线l1:ax-(a+1)y+1=0与直线l2:2x-ay-1=0垂直,可得2a+a(a+1)=0,解得a=0或a=-3,所以“a=-3”是“直线l1:ax-(a+1)y+1=0与直线l2:2x-ay-1=0垂直”的充分不必要条件,选A.-7-3.(2019浙江金华十校第二学期高考模拟)过点(1,0)且与直线x-2y-2=0垂直的直线方程为()A.x-2y-1=0B.x-2y+1=0C.2x+y-2=0D.x+2y-1=0答案:C解析:由于直线x-2y-2=0的斜率为,故所求直线的斜率等于-2,所求直线的方程为y-0=-2(x-1),即2x+y-2=0.故选C.12-8-4.已知直线l1:x·sinα+y-1=0,直线l2:x-3y·cosα+1=0,若l1⊥l2,则sin2α=()A.23B.±35C.-35D.35答案:D解析:因为l1⊥l2,所以sinα-3cosα=0,所以tanα=3,所以sin2α=2sinαcosα=2sin𝛼cos𝛼sin2𝛼+cos2𝛼=2tan𝛼tan2𝛼+1=35.故选D.-9-5.设a∈R,则“a=1”是“直线l1:ax+2y-1=0与直线l2:x+(a+1)y+4=0平行”的()A.充分必要条件B.必要不充分条件C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件答案:C解析:当a=1时,直线l1:x+2y-1=0与直线l2:x+2y+4=0,两条直线的斜率都是-12,截距不相等,得到两条直线平行,故前者是后者的充分条件;当两条直线平行时,得到a(a+1)-2=0,且𝑎1≠-14,解得a=-2,a=1,所以后者不能推出前者,所以前者是后者的充分不必要条件,故选C.-10-6.(2019河北邯郸一中高三二模)已知直线l过点(1,1),过点P(-1,3)作直线m⊥l,垂足为M,则点M到点Q(2,4)距离的取值范围为.答案:[2,32]解析:直线l过定点设为A,则有A(1,1),设M(x,y),因为直线m⊥l,则𝑀𝑃⊥𝑀𝐴,所以𝑀𝑃·𝑀𝐴=0,即(-1-x,3-y)·(1-x,1-y)=0,化简为x2+(y-2)2=2,所以点M的轨迹为以C(0,2)为圆心,2为半径的圆.∵|CQ|=22+22=22,∴|CQ|-2≤|MQ|≤|CQ|+2,即2≤|MQ|≤32.故答案为[2,32].-11-求圆的方程高考真题体验·对方向1.(2015全国Ⅱ·7)已知三点A(1,0),B(0,),C(2,),则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为()A.53B.213C.253D.4333答案:B解析:由题意知,△ABC外接圆的圆心是直线x=1与线段AB垂直平分线的交点为P,而线段AB垂直平分线的方程为y-32=33𝑥-12,它与x=1联立得圆心P坐标为1,233,则|OP|=12+2332=213.-12-2.(2019北京·11)设抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l.则以F为圆心,且与l相切的圆的方程为.答案:(x-1)2+y2=4解析:抛物线y2=4x中,2p=4,p=2,焦点F(1,0),准线l的方程为x=-1,以F为圆心,且与x=-1相切的圆的方程为(x-1)2+y2=22,即为(x-1)2+y2=4.3.(2016天津·12)已知圆C的圆心在x轴的正半轴上,点M(0,5)在圆C上,且圆心到直线2x-y=0的距离为455,则圆C的方程为.答案:(x-2)2+y2=9解析:设圆心C的坐标为(a,0)(a0),则|2𝑎|5=455⇒a=2.又点M(0,5)在圆C上,则圆C的半径r=22+5=3.故圆C的方程为(x-2)2+y2=9.-13-典题演练提能·刷高分1.(2019广东韶关高考模拟测试)已知圆C:x2+y2-4x+3=0,则圆C关于直线y=-x-4的对称圆的方程是()A.(x+4)2+(y+6)2=1B.(x+6)2+(y+4)2=1C.(x+5)2+(y+7)2=1D.(x+7)2+(y+5)2=1答案:A解析:根据题意,设要求圆的圆心为C',其坐标为(a,b),圆C:x2+y2-4x+3=0,即(x-2)2+y2=1,故其圆心为(2,0),半径r=1,C与C'关于直线y=-x-4对称,则有𝑏-0𝑎-2=1,𝑏2=-𝑎-22-4,解得𝑎=-4,𝑏=-6,则要求圆的圆心为(-4,-6),半径r'=1,其方程为(x+4)2+(y+6)2=1.故选A.-14-2.圆心为(1,0),且与直线y=x+1相切的圆的方程是.答案:(x-1)2+y2=2解析:圆心为(1,0),设圆的方程为(x-1)2+y2=r2,与直线y=x+1相切,3.已知圆C(C为圆心,且C在第一象限)经过A(0,0),B(2,0),且△ABC为直角三角形,则圆C的标准方程是.答案:(x-1)2+(y-1)2=2解析:因为CA=CB=R,△ABC为直角三角形,故C=90°,所以C(1,1)且R=,故圆C的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=2.故|1+1|2=2.即r=2.故答案为(x-1)2+y2=2.2-15-4.已知圆M与直线x-y=0及x-y+4=0都相切,圆心在直线y=-x+2上,则圆M的标准方程为.答案:x2+(y-2)2=2解析:由题意,圆心在y=-x+2,设圆心为(a,2-a),因为圆M与直线x-y=0及x-y+4=0都相切,则圆心到两直线的距离相等,即|2𝑎-2|2=|2𝑎+2|2,解得a=0,即圆心(0,2),且r=|2×0-2|2=2,所以圆的标准方程为x2+(y-2)2=2.-16-5.已知过点P(1,3)可以作圆x2+y2+x-6y+m=0的两条切线,则实数m的取值范围为.答案:7,374解析:由题意,知点P(1,3)为圆x2+y2+x-6y+m=0外一点,所以1+9+1-18+m0,解得m7.又因为二次方程表示圆,∴1+36-4m0,解得m374.综上,m∈7,374.-17-直线与圆、圆与圆的位置关系高考真题体验·对方向1.(2018全国Ⅲ·8)直线x+y+2=0分别与x轴、y轴交于A,B两点,点P在圆(x-2)2+y2=2上,则△ABP面积的取值范围是()A.[2,6]B.[4,8]C.[2,32]D.[22,32]答案:A解析:设圆心到直线AB的距离d=|2+0+2|2=22.点P到直线AB的距离为d'.易知d-r≤d'≤d+r,即2≤d'≤32.又AB=22,∴S△ABP=12·|AB|·d'=2d',∴2≤S△ABP≤6.-18-2.(2016山东·7)已知圆M:x2+y2-2ay=0(a0)截直线x+y=0所得线段的长度是2.则圆M与圆N:(x-1)2+(y-1)2=1的位置关系是()A.内切B.相交C.外切D.相离答案:B2-19-解析:圆M的方程可化为x2+(y-a)2=a2,故其圆心为M(0,a),半径R=a.所以圆心到直线x+y=0的距离d=|0+𝑎|12+12=22a.所以直线x+y=0被圆M所截弦长为2𝑅2-𝑑2=2𝑎2-22𝑎2=2a,由题意可得2a=22,故a=2.圆N的圆心N(1,1),半径r=1.而|MN|=(1-0)2+(1-2)2=2,显然R-r|MN|R+r,所以两圆相交.-20-3.(2018全国Ⅰ·15)直线y=x+1与圆x2+y2+2y-3=0交于A,B两点,则|AB|=.答案:22解析:圆的方程可化为x2+(y+1)2=4,故圆心C(0,-1),半径r=2,圆心到直线y=x+1的距离d=|0-(-1)+1|2=2,所以弦长|AB|=2𝑟2-𝑑2=24-2=22.-21-4.(2019天津·12)设a∈R,直线ax-y+2=0和圆𝑥=2+2cos𝜃,𝑦=1+2sin𝜃(θ为参数)相切,则a的值为.答案:34解析:由𝑥=2+2cos𝜃,𝑦=1+2sin𝜃(θ为参数),得(x-2)2+(y-1)2=4,圆心为(2,1),r=2.由直线与圆相切,得|2𝑎-1+2|𝑎2+1=2,解得a=34.-22-5.(2019浙江·12)已知圆C的圆心坐标是(0,m),半径长是r.若直线2x-y+3=0与圆C相切于点A(-2,-1),则m=,r=.答案:-25解析:由题意知kAC=-12⇒AC:y+1=-12(x+2),把(0,m)代入得m=-2,此时r=|AC|=4+1=5.-23-典题演练提能·刷高分1.已知圆C1:x2+y2=4,圆C2:x2+y2+6x-8y+16=0,则圆C1和圆C2的位置关系是()A.相离B.外切C.相交D.内切答案:B解析:圆C2的方程为(x+3)2+(y-4)2=9,则圆C1与C2的圆心距为32+42=5=r1+r2,圆C1和圆C2外切,故选B.-24-2.(2019辽宁朝阳重点高中高三第四次模拟)已知圆C的方程为x2+y2-6x+2y+9=0,点M在直线x+y-1=0上,则圆心C到点M的最小距离为()A.522B.322C.22D.12答案:C解析:因为圆C的方程为x2+y2-6x+2y+9=0,所以其圆心坐标为C(3,-1),又M在直线x+y-1=0上,所以求圆心C到点M的最小距离,即是求圆心C到直线x+y-1=0的距离d.由点到直线的距离公式,可得d=|3-1-1|12+12=22.故选C.-25-3.(2019河南八市重点高中高三五联)已知圆x2+y2-2x+2y+a=0截直线x+y-4=0所得弦的长度小于6,则实数a的取值范围为()C.(-15,+∞)D.(-15,2)答案:DA.(2-17,2+17)B.(2-17,2)解析:由题意知,圆的方程为(x-1)2+(y+1)2=2-a,则圆心为(1,-1),半径为2-𝑎,则2-a0,解得a2.圆心到直线x+y-4=0的距离为d=|1-1-4|2=22,∴22-𝑎-86,解得a-15,综上所述:a∈(-15,2).故选D.-26-4.(2019安徽合肥高三第三次教学质量检测)已知直线l:x-3y-a=0与圆C:(x-3)2+(y+3)2=4交于点M,N,点P在圆C上,且∠MPN=π3,则实数a的值等于()A.2或10B.4或8C.6±22D.6±23答案:B解析:由∠MPN=π3,可得∠MCN=2∠MPN=2π3