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8.2不等式选讲(二选一)-2-高考命题规律1.每年必考考题,二选一选作题中的第2个(2017年以前为三选一).2.解答题,选作题,10分,中低档难度.3.全国高考有3种命题角度,分布如下表.2020年高考必备2015年2016年2017年2018年2019年Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅲ卷Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅲ卷Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅲ卷Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅲ卷命题角度1含绝对值不等式的图象与解法242323命题角度2绝对值不等式中的最值与参数范围问题242423232323命题角度3不等式的证明2424232323-3-含绝对值不等式的图象与解法高考真题体验·对方向1.(2018全国Ⅲ·23)设函数f(x)=|2x+1|+|x-1|.(1)画出y=f(x)的图像;(2)当x∈[0,+∞)时,f(x)≤ax+b,求a+b的最小值.-4-解:(1)f(x)=-3𝑥,𝑥-12,𝑥+2,-12≤𝑥1,3𝑥,𝑥≥1.y=f(x)的图象如图所示.-5-(2)由(1)知,y=f(x)的图象与y轴交点的纵坐标为2,且各部分所在直线斜率的最大值为3,故当且仅当a≥3且b≥2时,f(x)≤ax+b在[0,+∞)成立,因此a+b的最小值为5.-6-2.(2017全国Ⅰ·23)已知函数f(x)=-x2+ax+4,g(x)=|x+1|+|x-1|.(1)当a=1时,求不等式f(x)≥g(x)的解集;(2)若不等式f(x)≥g(x)的解集包含[-1,1],求a的取值范围.解:(1)当a=1时,不等式f(x)≥g(x)等价于x2-x+|x+1|+|x-1|-4≤0.①当x-1时,①式化为x2-3x-4≤0,无解;当-1≤x≤1时,①式化为x2-x-2≤0,从而-1≤x≤1;当x1时,①式化为x2+x-4≤0,从而1x≤-1+172.所以f(x)≥g(x)的解集为𝑥-1≤𝑥≤-1+172.(2)当x∈[-1,1]时,g(x)=2.所以f(x)≥g(x)的解集包含[-1,1],等价于当x∈[-1,1]时f(x)≥2.又f(x)在[-1,1]的最小值必为f(-1)与f(1)之一,所以f(-1)≥2且f(1)≥2,得-1≤a≤1.所以a的取值范围为[-1,1].-7-3.(2016全国Ⅰ·24)已知函数f(x)=|x+1|-|2x-3|.(1)在图中画出y=f(x)的图象;(2)求不等式|f(x)|1的解集.-8-解:(1)f(x)=𝑥-4,𝑥≤-1,3𝑥-2,-1𝑥≤32,-𝑥+4,𝑥32,y=f(x)的图象如图所示.(2)由f(x)的表达式及图象,当f(x)=1时,可得x=1或x=3;当f(x)=-1时,可得x=13或x=5,故f(x)1的解集为{x|1x3};f(x)-1的解集为𝑥𝑥13或𝑥5.所以|f(x)|1的解集为𝑥𝑥13或1𝑥3或𝑥5.-9-典题演练提能·刷高分1.设函数f(x)=|2x-4|+1.(1)画出函数y=f(x)的图象;(2)若不等式f(x)≤ax的解集非空,求a的取值范围.-10-解:(1)由于f(x)=-2𝑥+5,𝑥2,2𝑥-3,𝑥≥2,则y=f(x)的图象如图所示:(2)由函数y=f(x)与函数y=ax的图象可知,当且仅当a≥12或a-2时,函数y=f(x)与函数y=ax的图象有交点,故不等式f(x)≤ax的解集非空时,a的取值范围是(-∞,-2)∪12,+∞.-11-2.已知函数f(x)=|x-4|+|x-1|-3.(1)求不等式f(x)≤2的解集;(2)若直线y=kx-2与函数f(x)的图象有公共点,求k的取值范围.解:(1)由f(x)≤2,得𝑥≤1,2-2𝑥≤2或1𝑥4,0≤2或𝑥≥4,2𝑥-8≤2,解得0≤x≤5,故不等式f(x)≤2的解集为[0,5].-12-(2)f(x)=|x-4|+|x-1|-3=2-2𝑥,𝑥≤1,0,1𝑥4,2𝑥-8,𝑥≥4,作出函数f(x)的图象,如图所示,直线y=kx-2过定点C(0,-2),当此直线经过点B(4,0)时,k=12;当此直线与直线AD平行时,k=-2.故由图可知,k∈(-∞,-2)∪12,+∞.-13-3.已知函数f(x)=|x+1|-2|x|.(1)求不等式f(x)≤-6的解集;(2)若f(x)的图象与直线y=a围成的图形的面积不小于14,求实数a的取值范围.解:(1)f(x)=|x+1|-2|x|=𝑥-1,𝑥-1,3𝑥+1,-1≤𝑥≤0,1-𝑥,𝑥0.则不等式f(x)≤-6等价于𝑥-1,𝑥-1≤-6或-1≤𝑥≤0,3𝑥+1≤-6或𝑥0,1-𝑥≤-6,解得x≤-5或x≥7.故不等式f(x)≤-6的解集为{x|x≤-5或x≥7}.-14-(2)作出函数f(x)的图象,如图.若f(x)的图象与直线y=a围成的图形是三角形,则当a=-2时,△ABC的面积取得最大值×4×3=6,∴f(x)的图象与直线y=a围成图形的面积不小于14,该图形一定是四边形,即a-2.∵△ABC的面积是6,∴梯形ABED的面积不小于8.∵AB=4,D(1+a,a),E(1-a,a),DE=-2a,12∴12×(4-2a)×(-2-a)≥14-6=8,a2≥12.又a-2,则a≤-23,故实数a的取值范围是(-∞,-23].-15-4.已知函数f(x)=|2x-1|+2|x+2|.(1)求函数f(x)的最小值;(2)解不等式f(x)8.解:(1)因为f(x)=|2x-1|+2|x+2|≥|(2x-1)-2(x+2)|=5,所以f(x)=-4𝑥-3,𝑥-2,5,-2≤𝑥≤12,4𝑥+3,𝑥12,(2)当x-2时,由-4x-38,解得x-114,即-114x-2;当-2≤x≤12时,58恒成立,即-2≤x≤12;当x12时,由4x+38,解得x54,即12x54,所以原不等式的解集为-114,54.-16-5.已知函数f(x)=|2x|-|x+3|.(1)若对于任意的实数x,都有f(x)≥2m2-7m成立,求m的取值范围;(2)若g(x)=ax,方程f(x)=g(x)有两个不同的实数解,求a的取值范围.解:(1)由于f(x)=|2x|-|x+3|=3-𝑥,𝑥-3,-3𝑥-3,-3≤𝑥≤0,𝑥-3,𝑥0,所以f(x)的最小值为f(0)=-3.又因为对任意的实数x,都有f(x)≥2m2-7m成立,只需2m2-7m≤-3,即2m2-7m+3≤0,解得12≤m≤3,故m的取值范围为12,3.-17-(2)方程f(x)=g(x)有两个不同的实数解,即函数y=f(x)与y=g(x)的图象有两个不同的交点,作出这两个函数图象,由图象可知,a的取值范围是[-1,1)∪{-2}.-18-6.已知关于x的不等式4𝑥+95-𝑥≥m在x∈(0,5)时恒成立.(1)求m的最大值;(2)当m取得最大值时,求不等式|x-m|+|x+2|≤9的解集.-19-解:(1)4𝑥+95-𝑥=15[x+(5-x)]4𝑥+95-𝑥=154+9+9𝑥5-𝑥+4(5-𝑥)𝑥≥15(13+12)=5,当且仅当9𝑥5-𝑥=4(5-𝑥)𝑥⇒x=2时取等号,因为4𝑥+95-𝑥≥m在x∈(0,5)时恒成立,所以m的最大值为5.(2)根据(1)可知m的最大值为5,所以不等式左边可以化为|x-5|+|x+2|=3-2𝑥,𝑥-2,7,-2≤𝑥≤5,2𝑥-3,𝑥5,由|x-5|+|x+2|≤9可以得到所求不等式的解集为{x|-3≤x≤6}.-20-绝对值不等式中的最值与参数范围问题高考真题体验·对方向1.(2019全国Ⅱ·23)已知f(x)=|x-a|x+|x-2|(x-a).(1)当a=1时,求不等式f(x)0的解集;(2)若x∈(-∞,1)时,f(x)0,求a的取值范围.解:(1)当a=1时,f(x)=|x-1|x+|x-2|(x-1).当x1时,f(x)=-2(x-1)20;当x≥1时,f(x)≥0.所以,不等式f(x)0的解集为(-∞,1).(2)因为f(a)=0,所以a≥1.当a≥1,x∈(-∞,1)时,f(x)=(a-x)x+(2-x)(x-a)=2(a-x)(x-1)0.所以,a的取值范围是[1,+∞).-21-2.(2018全国Ⅰ·23)已知f(x)=|x+1|-|ax-1|.(1)当a=1时,求不等式f(x)1的解集;(2)若x∈(0,1)时不等式f(x)x成立,求a的取值范围.解:(1)当a=1时,f(x)=|x+1|-|x-1|,即f(x)=-2,𝑥≤-1,2𝑥,-1𝑥1,2,𝑥≥1.故不等式f(x)1的解集为𝑥𝑥12.(2)当x∈(0,1)时|x+1|-|ax-1|x成立等价于当x∈(0,1)时|ax-1|1成立.若a≤0,则当x∈(0,1)时|ax-1|≥1;若a0,|ax-1|1的解集为0x2𝑎,所以2𝑎≥1,故0a≤2.综上,a的取值范围为(0,2].-22-3.(2018全国Ⅱ·23)设函数f(x)=5-|x+a|-|x-2|.(1)当a=1时,求不等式f(x)≥0的解集;(2)若f(x)≤1,求a的取值范围.解:(1)当a=1时,f(x)=2𝑥+4,𝑥≤-1,2,-1𝑥≤2,-2𝑥+6,𝑥2.可得f(x)≥0的解集为{x|-2≤x≤3}.(2)f(x)≤1等价于|x+a|+|x-2|≥4.而|x+a|+|x-2|≥|a+2|,且当x=2时等号成立.故f(x)≤1等价于|a+2|≥4.由|a+2|≥4可得a≤-6或a≥2.所以a的取值范围是(-∞,-6]∪[2,+∞).-23-4.(2017全国Ⅲ·23)已知函数f(x)=|x+1|-|x-2|.(1)求不等式f(x)≥1的解集;(2)若不等式f(x)≥x2-x+m的解集非空,求m的取值范围.解:(1)f(x)=-3,𝑥-1,2𝑥-1,-1≤𝑥≤2,3,𝑥2.当x-1时,f(x)≥1无解;当-1≤x≤2时,由f(x)≥1得,2x-1≥1,解得1≤x≤2;当x2时,由f(x)≥1解得x2.所以f(x)≥1的解集为{x|x≥1}.-24-(2)由f(x)≥x2-x+m得m≤|x+1|-|x-2|-x2+x.而|x+1|-|x-2|-x2+x≤|x|+1+|x|-2-x2+|x|=-|𝑥|-322+54≤54,且当x=32时,|x+1|-|x-2|-x2+x=54.故m的取值范围为-∞,54.-25-典题演练提能·刷高分1.(2019山东烟台、菏泽高三5月高考适应性练习)已知函数f(x)=|2x+m-1|+|2x-3|.(1)当m=2时,求不等式f(x)≤6的解集;(2)若f(x)≤|2x-6|的解集包含区间-12,32,求m的取值范围.解:(1)当m=2时,只需解不等式|2x+1|+|2x-3|≤6.当x-12时,不等式化为-(2x+1)-(2x-3)≤6,解得-1≤x-12;当-12≤x≤32时,不等式化为(2x+1)-(2x-3)≤6,恒成立,解得-12≤x≤32;当x32时,不等式等价于(2x+1)+(2x-3)≤6,解得32x≤2,综上,不等式的解集为{x|-1≤x≤2}.-26-(2)因为|2x+m-1|+|2x-3|≤|2x-6|的解集包含区间-12,32,所以当x∈-12,32时,|2x+m-1|+|2x-3|≤|2x-6|成立,也就是|2x+m-1|-(2x-3)≤-(2x-6),即|2x+m-1|≤3成立.解上述不等式得-3≤2x+m-1≤3,即-1-𝑚2≤x≤2-𝑚2.由已知条件-12,32⊆-1-𝑚2,2-𝑚2,所以-12≥-1-𝑚2,32≤2-𝑚2,解得-1≤m≤1.所以m的取值范围是𝑚|-1≤𝑚≤1.-27-3.已知函数f(x)=|x-1|-a(a∈R).(1)若f(x)的最小值不小于3,求a的最大值;(2)若g(x)=f(x)+2|x+a|+