搜索
8.1坐标系与参数方程(二选一)-2-高考命题规律1.每年必考考题,二选一选作题中的第1个(2017年以前为三选一).2.解答题,选作题,10分,中低档难度.3.全国高考有2种命题角度,分布如下表.-3-2020年高考必备2015年2016年2017年2018年2019年Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅲ卷Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅲ卷Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅲ卷Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅲ卷命题角度1极坐标与直角坐标、参数方程与普通方程的互化23222222222222命题角度2极坐标与参数方程的综合应用23232323222222-4-极坐标与直角坐标、参数方程与普通方程的互化高考真题体验·对方向1.(2019全国Ⅰ·22)在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为𝑥=1-𝑡21+𝑡2,𝑦=4𝑡1+𝑡2(t为参数).以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为2ρcosθ+3ρsinθ+11=0.(1)求C和l的直角坐标方程;(2)求C上的点到l距离的最小值.-5-解:(1)因为-11-𝑡21+𝑡2≤1,且x2+𝑦22=1-𝑡21+𝑡22+4𝑡2(1+𝑡2)2=1,所以C的直角坐标方程为x2+𝑦24=1(x≠-1).l的直角坐标方程为2x+3y+11=0.(2)由(1)可设C的参数方程为𝑥=cos𝛼,𝑦=2sin𝛼(α为参数,-παπ).C上的点到l的距离为|2cos𝛼+23sin𝛼+11|7=4cos𝛼-π3+117.当α=-2π3时,4cos𝛼-π3+11取得最小值7,故C上的点到l距离的最小值为7.-6-2.(2018全国Ⅰ·22)在直角坐标系xOy中,曲线C1的方程为y=k|x|+2.以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ2+2ρcosθ-3=0.(1)求C2的直角坐标方程;(2)若C1与C2有且仅有三个公共点,求C1的方程.-7-解:(1)由x=ρcosθ,y=ρsinθ得C2的直角坐标方程为(x+1)2+y2=4.(2)由(1)知C2是圆心为A(-1,0),半径为2的圆.由题设知,C1是过点B(0,2)且关于y轴对称的两条射线.记y轴右边的射线为l1,y轴左边的射线为l2,由于B在圆C2的外面,故C1与C2有且仅有三个公共点等价于l1与C2只有一个公共点且l2与C2有两个公共点,或l2与C2只有一个公共点且l1与C2有两个公共点.当l1与C2只有一个公共点时,A到l1所在直线的距离为2,所以|-𝑘+2|𝑘2+1=2,故k=-43或k=0.经检验,当k=0时,l1与C2没有公共点;当k=-43时,l1与C2只有一个公共点,l2与C2有两个公共点.当l2与C2只有一个公共点时,A到l2所在直线的距离为2,所以|𝑘+2|𝑘2+1=2,故k=0或k=43,经检验,当k=0时,l1与C2没有公共点;当k=43时,l2与C2没有公共点.综上,所求C1的方程为y=-43|x|+2.-8-3.(2018全国Ⅱ·22)在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为𝑥=2cos𝜃,𝑦=4sin𝜃(θ为参数),直线l的参数方程为𝑥=1+𝑡cos𝛼,𝑦=2+𝑡sin𝛼(t为参数).(1)求C和l的直角坐标方程;(2)若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(0,2),求l的斜率.解:(1)曲线C的直角坐标方程为𝑥24+𝑦216=1.当cosα≠0时,l的直角坐标方程为y=tanα·x+2-tanα,当cosα=0时,l的直角坐标方程为x=1.-9-(2)将l的参数方程代入C的直角坐标方程,整理得关于t的方程(1+3cos2α)t2+4(2cosα+sinα)t-8=0.①因为曲线C截直线l所得线段的中点(1,2)在C内,所以①有两个解,设为t1,t2,则t1+t2=0.又由①得t1+t2=-4(2cos𝛼+sin𝛼)1+3cos2𝛼,故2cosα+sinα=0,于是直线l的斜率k=tanα=-2.-10-4.(2018全国Ⅲ·22)在平面直角坐标系xOy中,☉O的参数方程为𝑥=cos𝜃,𝑦=sin𝜃(θ为参数),过点(0,-2)且倾斜角为α的直线l与☉O交于A,B两点.(1)求α的取值范围;(2)求AB中点P的轨迹的参数方程.解:(1)☉O的直角坐标方程为x2+y2=1.当α=π2时,l与☉O交于两点.当α≠π2时,记tanα=k,则l的方程为y=kx-2,l与☉O交于两点当且仅当21+𝑘21,解得k-1或k1,即α∈π4,π2或α∈π2,3π4.综上,α的取值范围是π4,3π4.-11-(2)l的参数方程为𝑥=𝑡cos𝛼,𝑦=-2+𝑡sin𝛼t为参数,π4α3π4.设A,B,P对应的参数分别为tA,tB,tP,则tP=𝑡𝐴+𝑡𝐵2,且tA,tB满足t2-22tsinα+1=0.于是tA+tB=22sinα,tP=2sinα.又点P的坐标(x,y)满足𝑥=𝑡𝑃cos𝛼,𝑦=-2+𝑡𝑃sin𝛼.所以点P的轨迹的参数方程是𝑥=22sin2𝛼,𝑦=-22-22cos2𝛼α为参数,π4α3π4.-12-5.(2017全国Ⅰ·22)在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为𝑥=3cos𝜃,𝑦=sin𝜃,(θ为参数),直线l的参数方程为𝑥=𝑎+4𝑡,𝑦=1-𝑡,(t为参数).(1)若a=-1,求C与l的交点坐标;(2)若C上的点到l距离的最大值为17,求a.解:(1)曲线C的普通方程为𝑥29+y2=1.当a=-1时,直线l的普通方程为x+4y-3=0.由𝑥+4𝑦-3=0,𝑥29+𝑦2=1,解得𝑥=3,𝑦=0或𝑥=-2125,𝑦=2425.从而C与l的交点坐标为(3,0),-2125,2425.-13-(2)直线l的普通方程为x+4y-a-4=0,故C上的点(3cosθ,sinθ)到l的距离为d=|3cos𝜃+4sin𝜃-𝑎-4|17.当a≥-4时,d的最大值为𝑎+917.由题设得𝑎+917=17,所以a=8;当a-4时,d的最大值为-𝑎+117.由题设得-𝑎+117=17,所以a=-16.综上,a=8或a=-16.-14-6.(2017全国Ⅱ·22)在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C1的极坐标方程为ρcosθ=4.(1)M为曲线C1上的动点,点P在线段OM上,且满足|OM|·|OP|=16,求点P的轨迹C2的直角坐标方程;(2)设点A的极坐标为2,π3,点B在曲线C2上,求△OAB面积的最大值.解:(1)设P的极坐标为(ρ,θ)(ρ0),M的极坐标为(ρ1,θ)(ρ10).由题设知|OP|=ρ,|OM|=ρ1=4cos𝜃.由|OM|·|OP|=16得C2的极坐标方程ρ=4cosθ(ρ0).因此C2的直角坐标方程为(x-2)2+y2=4(x≠0).-15-(2)设点B的极坐标为(ρB,α)(ρB0).由题设知|OA|=2,ρB=4cosα,于是△OAB面积S=12|OA|·ρB·sin∠AOB=4cosα·sin𝛼-π3=2sin2𝛼-π3-32≤2+3.当α=-π12时,S取得最大值2+3.所以△OAB面积的最大值为2+3.-16-典题演练提能·刷高分1.(2019山西晋城高三第三次模拟考试)已知平面直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(α为参数).以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求曲线C的极坐标方程;(2)过点(-2,1)的直线l与曲线C交于A,B两点,且|AB|=2,求直线l的方程.𝑥=2+3cos𝛼,𝑦=1+3sin𝛼-17-解:(1)消去参数α,可得曲线C的普通方程为(x-2)2+(y-1)2=9,即x2+y2-4x-2y-4=0.由𝑥=𝜌cos𝜃,𝑦=𝜌sin𝜃(θ为参数)得曲线C的极坐标方程为ρ2-4ρcosθ-2ρsinθ-4=0.(2)显然直线l的斜率存在,否则无交点.设直线l的方程为y-1=k(x+2),即kx-y+2k+1=0.而|AB|=2,则圆心到直线l的距离d=𝑟2-(𝐴𝐵2)2=9-1=22.又d=|4𝑘|𝑘2+1,所以|4𝑘|𝑘2+1=22,解得k=±1.所以直线l的方程为x+y+1=0或x-y+3=0.-18-2.(2019辽宁葫芦岛高三第二次模拟考试)在直角坐标系xOy中,A(2,0),B(0,1),以O为极点,x轴的正半轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为4ρ2-12=ρ2cos2θ.(1)求曲线C的直角坐标方程;(2)动点P是曲线C在第一象限的点,当四边形OAPB的面积最大时,求点P的直角坐标.-19-解:(1)由4ρ2-12=ρ2cos2θ及𝜌cos𝜃=𝑥,𝜌sin𝜃=𝑦,得4(x2+y2)-12=x2,整理得𝑥24+𝑦23=1.故曲线C的直角坐标方程是𝑥24+𝑦23=1.(2)由动点P是曲线C在第一象限的点,设点P(2cosθ,3sinθ)0θπ2.设四边形OAPB的面积为S,则S=S△OAP+S△OBP=12×2×3sinθ+12×1×2cosθ=2sinθ+π6.所以当θ=π3时,S最大,此时点P1,32.-20-3.在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为𝑥=𝑡2,𝑦=2𝑡(t为参数),以原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ=5cosθ.(1)写出曲线C1的极坐标方程和C2的直角坐标方程;(2)记曲线C1和C2在第一象限内的交点为A,点B在曲线C1上,且∠AOB=π2,求△AOB的面积.解:(1)由题C1:y2=4x,ρ2sin2θ=4ρcosθ,即ρsin2θ=4cosθ,C2:x2+y2=5x.(2)联立y2=4x和x2+y2=5x,得xA=1,yA=2,设B𝑚24,m,由OA⊥OB,𝑚𝑚24=-12,得m=-8,B(16,-8),S△AOB=12|OA|·|OB|=12×5×85=20.-21-4.已知曲线C1的极坐标方程是ρ=4sinθ,以极点为原点,极轴为x轴正方向建立平面直角坐标系,曲线C2的参数方程是𝑥=12(𝑡+1𝑡),𝑦=12(𝑡-1𝑡)(t为参数).(1)将曲线C2的参数方程化为普通方程;(2)求曲线C1与曲线C2交点的极坐标.-22-解:(1)由曲线C2的参数方程得t=12(x+y),1𝑡=12(x-y).两式相乘可得曲线C2的普通方程为𝑥22−𝑦22=1.(2)由ρ=4sinθ得ρ2=4ρsinθ,故曲线C1的直角坐标为x2+y2=4y.解方程组𝑥22-𝑦22=1,𝑥2+𝑦2=4𝑦,得𝑥=3,𝑦=1或𝑥=-3,𝑦=1.由𝑥=3,𝑦=1得ρ=𝑥2+𝑦2=2,sinθ=12,cosθ=32,故θ=π6,因此对应点的极坐标为2,π6.同理得𝑥=-3,𝑦=1,对应点的极坐标为2,5π6,故所求交点的极坐标为2,π6与2,5π6.-23-5.已知直线l的参数方程为𝑥=12+22𝑡,𝑦=12-22𝑡(t为参数),椭圆C的参数方程为𝑥=2cos𝛼,𝑦=sin𝛼(α为参数).在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,点A的极坐标为2,π3.(1)求椭圆C的直角坐标方程和点A在直角坐标系下的坐标.(2)直线l与椭圆C交于P,Q两点,求△APQ的面积.解:(1)由𝑥=2cos𝛼,𝑦=sin𝛼得𝑥24+y2=1.因为点A的极坐标为2,π3,所以x=2cosπ3=1,y=2sinπ3=3.∴A在直角坐标系下的坐标为(1,3).-24-(2)将𝑥=12+22𝑡,𝑦=12-22𝑡,代入𝑥24+y2=1,化简得10t2-62t-11=0,设此方程两根为t1,t2,则t1+t2=325,t1t2=-1110.∴|PQ|=(𝑡1+𝑡2)2-4𝑡1𝑡2=825.因为直线l的一般方程为x+y-1=0,所以点A