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第1讲集合与常用逻辑用语近五年高考试题统计与命题预测年份卷别题号考查角度命题预测2019Ⅰ1集合的交集运算从题量上看,通常是1个考查集合的小题(5分),个别年份1个考查集合的小题(5分)+1个常用逻辑用语小题(5分);从题序上看,题目多集中在前2个题的位置,难度属于低档题,相对简单;从命题特点上看,考查集合的题目主要是集合的交、并、补运算为主,以不等式的解法为载体,有时考查到函数的性质,解题时可采用数形结合的方法;考查常用逻辑用语的题目通常考查全特称命题的否定或真值判断,其载体是其他的数学知识点.Ⅱ1,7集合的交集运算;充要条件的判断Ⅲ1集合的交集运算2018Ⅰ2集合的补集运算Ⅱ2集合的表示方法Ⅲ1集合的交集运算2017Ⅰ1,3集合的交并运算;命题真假判断Ⅱ2集合的交集运算Ⅲ1集合的概念及交集运算2016Ⅰ1集合的交集运算Ⅱ2集合的并集运算Ⅲ1集合的交集运算2015Ⅰ3全特称命题的否定Ⅱ1集合的交集运算1.(2019全国Ⅰ,理1)已知集合M={x|-4x2},N={x|x2-x-60},则M∩N=()A.{x|-4x3}B.{x|-4x-2}C.{x|-2x2}D.{x|2x3}解析:由题意得N={x|-2x3},则M∩N={x|-2x2},故选C.答案:C2.(2019全国Ⅱ,理1)设集合A={x|x2-5x+60},B={x|x-10},则A∩B=()A.(-∞,1)B.(-2,1)C.(-3,-1)D.(3,+∞)解析:由题意,得A={x|x2,或x3},B={x|x1},所以A∩B={x|x1},故选A.答案:A3.(2019全国Ⅲ,理1)已知集合A={-1,0,1,2},B={x|x2≤1},则A∩B=()A.{-1,0,1}B.{0,1}C.{-1,1}D.{0,1,2}解析:A={-1,0,1,2},B={x|-1≤x≤1},则A∩B={-1,0,1}.故选A.答案:A4.(2019天津,理1)设集合A={-1,1,2,3,5},B={2,3,4},C={x∈R|1≤x3},则(A∩C)∪B=()A.{2}B.{2,3}C.{-1,2,3}D.{1,2,3,4}解析:A∩C={1,2},(A∩C)∪B={1,2,3,4},故选D.答案:D5.(2019浙江,1)已知全集U={-1,0,1,2,3},集合A={0,1,2},B={-1,0,1},则(∁UA)∩B=()A.{-1}B.{0,1}C.{-1,2,3}D.{-1,0,1,3}解析:∁UA={-1,3},则(∁UA)∩B={-1}.答案:A6.(2019浙江,5)设a0,b0,则“a+b≤4”是“ab≤4”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案:A解析:当a0,b0时,a+b≥2𝑎𝑏,若a+b≤4,则2𝑎𝑏≤a+b≤4,所以ab≤4,充分性成立;当a=1,b=4时,满足ab≤4,但此时a+b=54,必要性不成立.综上所述,“a+b≤4”是“ab≤4”的充分不必要条件.7.(2019天津,理3)设x∈R,则“x2-5x0”是“|x-1|1”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析:由x2-5x0,得0x5.由|x-1|1,得0x2.故“x2-5x0”是“|x-1|1”的必要不充分条件.答案:BA.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案:C8.(2019北京,理7)设点A,B,C不共线,则“𝐴𝐵与𝐴𝐶的夹角为锐角”是“|𝐴𝐵+𝐴𝐶||𝐵𝐶|”的()解析:∵A,B,C三点不共线,∴|𝐴𝐵+𝐴𝐶||𝐵𝐶|⇔|𝐴𝐵+𝐴𝐶||𝐴𝐵−𝐴𝐶|⇔|𝐴𝐵+𝐴𝐶|2|𝐴𝐵−𝐴𝐶|2⇔𝐴𝐵·𝐴𝐶0⇔𝐴𝐵与𝐴𝐶的夹角为锐角.故“𝐴𝐵与𝐴𝐶的夹角为锐角”是“|𝐴𝐵+𝐴𝐶||𝐵𝐶|”的充分必要条件,故选C.9.(2019江苏,1)已知集合A={-1,0,1,6},B={x|x0,x∈R},则A∩B=.解析:由题知A∩B={1,6}.答案:{1,6}一、集合的概念及其运算集合的运算性质及重要结论1.A∪A=A,A∪⌀=A,A∪B=B∪A;2.A∩A=A,A∩⌀=⌀,A∩B=B∩A;3.A∩(∁UA)=⌀,A∪(∁UA)=U;4.A∩B=A⇔A⊆B,A∪B=A⇔B⊆A.二、充分、必要条件的判断1.充分、必要条件的判断;2.由充分、必要条件确定参数的值(范围).判断充分、必要条件的方法:(1)定义法:直接判断“若p,则q”与“若q,则p”的真假,并注意和图示相结合,例如“若p,则q”为真,则p是q的充分条件;(2)等价法:利用p⇒q与¬q⇒¬p,q⇒p与¬p⇒¬q,p⇔q与¬q⇔¬p的等价关系进行判断;(3)集合法:如果A⊆B,则A是B的充分条件或B是A的必要条件;如果A=B,则A是B的充要条件.三、命题真假的判断与否定1.四种命题的关系(1)两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性;(2)两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性没有关系;2.全(特)称命题及其否定(1)全称命题p:∀x∈M,p(x).它的否定¬p:∃x0∈M,¬p(x0);(2)特称命题p:∃x0∈M,p(x0).它的否定¬p:∀x∈M,¬p(x).考点1考点2考点3集合的概念及其运算例1(1)(2018全国Ⅰ,理2)已知集合A={x|x2-x-20},则∁RA=()A.{x|-1x2}B.{x|-1≤x≤2}C.{x|x-1}∪{x|x2}D.{x|x≤-1}∪{x|x≥2}(2)(2018全国Ⅱ,理2)已知集合A={(x,y)|x2+y2≤3,x∈Z,y∈Z},则A中元素的个数为()A.9B.8C.5D.4解析:(1)解一元二次不等式x2-x-20,可得x-1或x2,则A={x|x-1或x2},所以∁RA={x|-1≤x≤2}.(2)当x=-1时,y=0或y=1或y=-1,当x=0时,y=1或y=-1或y=0,当x=1时,y=0或y=1或y=-1.故集合A中共有9个元素.答案:(1)B(2)A考点1考点2考点3考点1考点2考点3对应训练1(1)(2018北京,文1)已知集合A={x||x|2},B={-2,0,1,2},则A∩B=()A.{0,1}B.{-1,0,1}C.{-2,0,1,2}D.{-1,0,1,2}(2)(2018天津,理1)设全集为R,集合A={x|0x2},B={x|x≥1},则A∩(∁RB)=()A.{x|0x≤1}B.{x|0x1}C.{x|1≤x2}D.{x|0x2}A.1B.3C.7D.31(3)若x∈A,则1𝑥∈A,就称A是“伙伴关系”集合,集合M=-1,0,12,2,3的所有非空子集中具有“伙伴关系”的集合的个数是()考点1考点2考点3解析:(1)∵A={x||x|2}={x|-2x2},B={-2,0,1,2},∴A∩B={0,1}.(2)∵B={x|x≥1},∴∁RB={x|x1}.∵A={x|0x2},∴A∩(∁RB)={x|0x1}.故选B.答案:(1)A(2)B(3)B(3)具有伙伴关系的元素组是-1,12,2,所以具有伙伴关系的集合有3个:{-1},12,2,-1,12,2.考点1考点2考点3充分、必要条件的判断例2(1)(2018北京,文4)设a,b,c,d是非零实数,则“ad=bc”是“a,b,c,d成等比数列”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件(2)(2018浙江,6)已知平面α,直线m,n满足m⊄α,n⊂α,则“m∥n”是“m∥α”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件(3)已知P={x|x2-8x-20≤0},非空集合S={x|1-m≤x≤1+m}.若x∈P是x∈S的必要条件,求m的取值范围.考点1考点2考点3(1)解析:ad=bca,b,c,d成等比数列,例如1×9=3×3;a,b,c,d成等比数列ad=bc.故选B.答案:B(2)解析:当m⊄α,n⊂α时,由线面平行的判定定理可知,m∥n⇒m∥α;但反过来不成立,即m∥α不一定有m∥n,m与n还可能异面.故选A.答案:A(3)解:由x2-8x-20≤0,得-2≤x≤10,∴P={x|-2≤x≤10}.∵x∈P是x∈S的必要条件,则S⊆P.又∵S为非空集合,∴1-m≤1+m,解得m≥0.综上,m的取值范围是[0,3].⇒𝑏𝑎=𝑑𝑐⇒∴1-𝑚≥-2,1+𝑚≤10,解得m≤3.考点1考点2考点3【迁移探究1】本例(3)条件不变,若x∈P是x∈S的必要不充分条件,求m的取值范围.解:由题意知,P={x|-2≤x≤10},又S⫋P,解得0≤m≤3或0≤m3,∴0≤m≤3,故m的取值范围是[0,3].∴1-𝑚≤1+𝑚,1-𝑚≥-2,1+𝑚10或1-𝑚≤1+𝑚,1-𝑚-2,1+𝑚≤10,考点1考点2考点3【迁移探究2】本例(3)条件不变,若x∈P的必要条件是x∈S,求m的取值范围.解:由例知P={x|-2≤x≤10},若x∈P的必要条件是x∈S,即x∈S是x∈P的必要条件,∴P⊆S,故m的取值范围是[9,+∞).∴1-𝑚≤1+𝑚,1-𝑚≤-2,1+𝑚≥10,解得m≥9.考点1考点2考点3【迁移探究3】本例(3)条件不变,问是否存在实数m,使x∈P是x∈S的充要条件?并说明理由.解:由例题知P={x|-2≤x≤10}.若x∈P是x∈S的充要条件,则P=S,∴这样的m不存在.∴1-𝑚=-2,1+𝑚=10,∴𝑚=3,𝑚=9,考点1考点2考点3考点1考点2考点3对应训练2(1)(2018北京,理6)设a,b均为单位向量,则“|a-3b|=|3a+b|”是“a⊥b”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件(2)(2018天津,理4)设x∈R,则“𝑥-1212”是“x31”的()考点1考点2考点3解析:(1)由|a-3b|=|3a+b|,得(a-3b)2=(3a+b)2.∵a,b均为单位向量,∴1-6a·b+9=9+6a·b+1.∴a·b=0,故a⊥b,反之也成立.故选C.答案:(1)C(2)A(2)由𝑥-1212,可得0x1.由x31,可得x1.所以“𝑥-1212”是“x31”的充分而不必要条件.故选A.考点1考点2考点3命题真假的判断与否定例3(1)(2016浙江,理4)命题“∀x∈R,∃n∈N*,使得n≥x2”的否定形式是()A.∀x∈R,∃n∈N*,使得nx2B.∀x∈R,∀n∈N*,使得nx2C.∃x∈R,∃n∈N*,使得nx2D.∃x∈R,∀n∈N*,使得nx2(2)(2019衡水调研)已知命题p:∀x∈R,log2(x2+x+a)0恒成立,命题q:∃x0∈[-2,2],2a≤,若命题p和q都成立,则实数a的取值范围为.2𝑥0考点1考点2考点3解析:(1)由含量词命题的否定格式,可知首先改写量词,而n≥x2的否定为nx2.故选D.(2)当命题p成立时,x2+x+a1恒成立,即x2+x+a-10恒成立,∴Δ=1-4(a-1)0,解得a54.当命题q成立时,2a≤(2𝑥0)max,x0∈[-2,2],∴a≤2.故54a≤2,∴a的取值范围是54,2.答案:(1)D(2)54,2考点1考点2考点3考点1考点2考点3对应训练3D.∀x1∈[0,+∞),∃x2∈[0,+∞),f(x1)f(x2)(2)(2015全国Ⅰ,理3)设命题p:∃n∈N,n22n,则¬p为()A.∀n∈N,n22nB.∃n∈N,n2≤2nC.∀n