搜索
1.2线性规划题专项练-2-1.对不等式Ax+By+C0(或0),当B(Ax+By+C)0时,该不等式表示的区域为直线Ax+By+C=0的上方;当B(Ax+By+C)0时,区域为直线Ax+By+C=0的下方.2.常见目标函数的几何意义(3)z=(x-a)2+(y-b)2:z表示可行域内的点(x,y)和点(a,b)间的距离的平方.(1)z=ax+by(ab≠0):z表示直线y=-𝑎𝑏x+𝑧𝑏在y轴上的截距的b倍;(2)z=𝑦-𝑏𝑥-𝑎:z表示可行域内的点(x,y)和点(a,b)连线的斜率;-3-一、选择题二、填空题1.设集合A={(x,y)|x-y≥1,ax+y4,x-ay≤2},则()A.对任意实数a,(2,1)∈AB.对任意实数a,(2,1)∉AC.当且仅当a0时,(2,1)∉AD.当且仅当a≤时,(2,1)∉A32答案解析解析关闭若(2,1)∈A,则有2-1≥1,2𝑎+14,2-𝑎≤2,化简得𝑎32,𝑎≥0.即a32.所以当且仅当a≤32时,(2,1)∉A,故选D.答案解析关闭D-4-一、选择题二、填空题2.(2019浙江卷,3)若实数x,y满足约束条件𝑥-3𝑦+4≥0,3𝑥-𝑦-4≤0,𝑥+𝑦≥0,则z=3x+2y的最大值是()A.-1B.1C.10D.12答案解析解析关闭在平面直角坐标系内画出题中的不等式组表示的平面区域为以(-1,1),(1,-1),(2,2)为顶点的三角形区域(包含边界),由图易得当直线z=3x+2y经过平面区域内的点(2,2)时,z=3x+2y取得最大值zmax=3×2+2×2=10.答案解析关闭C-5-一、选择题二、填空题3.(2019天津卷,文2)设变量x,y满足约束条件则目标函数z=-4x+y的最大值为()A.2B.3C.5D.6𝑥+𝑦-2≤0,𝑥-𝑦+2≥0,𝑥≥-1,𝑦≥-1,答案解析解析关闭画出可行域如图,平移目标函数z=-4x+y可知过点A时取得最大值,由𝑥=-1,𝑥-𝑦+2=0,得A(-1,1).∴zmax=-4×(-1)+1=5.故选C.答案解析关闭C-6-一、选择题二、填空题4.(2019四川成都七中高三模拟,文6)设x,y满足约束条件则z=2y-x的最小值为()A.1B.2C.3D.4𝑥-𝑦+1≤0,𝑥+𝑦-1≤0,𝑥+2𝑦+1≥0,答案解析解析关闭画出约束条件所表示的可行域,如图(阴影部分)所示.目标函数z=2y-x可化为直线y=12x+𝑧2,结合图象可得当直线y=12x+𝑧2过点A时,此时在y轴上的截距最小,此时目标函数取得最小值,又由𝑥-𝑦+1=0,𝑥+2𝑦+1=0,解得A(-1,0),所以目标函数的最小值为zmin=2×0-(-1)=1.故选A.答案解析关闭A-7-一、选择题二、填空题5.(2019吉林长春实验中学高三模拟,理6)已知实数x,y满足𝑥+𝑦≥1,𝑥2+𝑦2≤1,则2x+y的取值范围是()A.[1,2]B.[1,+∞)C.(0,5)D.[1,5]答案解析解析关闭设2x+y=b,则只需求直线2x+y=b在y轴上的截距范围.画出可行域如图中弓形部分所示,当直线与圆相切时,截距最大,且为5,当直线过点(0,1)时截距最小,且为1,所以2x+y的取值范围是[1,5].故选D.答案解析关闭D-8-一、选择题二、填空题6.(2019天津和平区高三模拟,文3)设x,y满足约束条件𝑥-𝑦-2≤0,2𝑥-𝑦+3≥0,𝑥+𝑦≤0,则𝑦+4𝑥+6的取值范围是()A.-13,1B.[-3,1]C.(-∞,-3]∪[1,+∞)D.-37,1答案解析解析关闭画出不等式组表示的平面区域如图所示,目标函数z=𝑦+4𝑥+6表示可行域内的点与点P(-6,-4)之间连线的斜率,数形结合可知目标函数在点C(-1,1)处取得最大值1+4-1+6=1.目标函数在点A(-5,-7)处取得最小值-7+4-5+6=-3,故目标函数的取值范围是[-3,1].故选B.答案解析关闭B-9-一、选择题二、填空题7.(2019四川绵阳三诊,文4)已知变量x,y满足则x2+y2的最大值为()A.10B.5C.4D.2𝑥≥0,|𝑦|≤1,𝑥+𝑦-2≤0,答案解析解析关闭作出变量x,y满足𝑥≥0,|𝑦|≤1,𝑥+𝑦-2≤0所对应的可行域(如图阴影部分),由𝑥+𝑦-2=0,𝑦=-1,解得A(3,-1).而z=x2+y2表示可行域内的点到原点距离的平方,由数形结合可得最大距离为OA=32+(-1)2=10,即z=x2+y2的最大值为10.故选A.答案解析关闭A-10-一、选择题二、填空题8.(2019河南鹤壁高中模拟,文4)已知A(2,1),设P(x,y)为可行域𝑥≥0,3𝑥+2𝑦≤7,4𝑥-𝑦≤2内一点,则𝑂𝑃·𝑂𝐴的最大值为()A.-2B.2C.4D.5答案解析解析关闭由题意作出其平面区域,由3𝑥+2𝑦=7,4𝑥-𝑦=2,解得M(1,2).𝑂𝑃·𝑂𝐴=z=2x+y,由线性规划知识知经过点M时,z取得最大值,此时x=1,y=2时,z=2x+y有最大值2×1+2=4,故选C.答案解析关闭C-11-一、选择题二、填空题9.(2019安徽皖南八校联考,理8)已知x,y满足约束条件若目标函数z=3x+y的最小值为-5,则z的最大值为()A.2B.3C.4D.5𝑥-2𝑦+4≥0,𝑥+𝑦+𝑎≥0,2𝑥+𝑦-2≤0,答案解析解析关闭画出x,y满足的可行域如下图:将z=3x+y变形为y=-3x+z,其中z表示直线的截距,可得在直线x-2y+4=0与直线x+y+a=0的交点A处,使目标函数z=3x+y取得最小值-5,当过点B时,目标函数z=3x+y取得最大值,故由3𝑥+𝑦=-5,𝑥-2𝑦+4=0,解得𝑥=-2,𝑦=1,代入x+y+a=0得a=1,由𝑥+𝑦+1=0,2𝑥+𝑦-2=0,得B(3,-4).当过点B(3,-4)时,目标函数z=3x+y取得最大值,最大值为5.故选D.答案解析关闭D-12-一、选择题二、填空题10.已知实数x,y满足约束条件𝑥+𝑦-1≥0,𝑥-𝑦+1≥0,2𝑥-𝑦-2≤0,若z=mx+y,z的取值范围为集合A,且A⊆13,6,则实数m的取值范围是()A.13,23B.-119,23C.-119,13D.23,6答案解析解析关闭作出不等式组表示的平面区域,如图中阴影部分所示,其中A(1,0),B(0,1),C(3,4),不论m0还是m0,z=mx+y的最值一定在顶点处取得,所以13≤𝑚≤6,13≤3𝑚+4≤6,解得m∈13,23,故选A.答案解析关闭A-13-一、选择题二、填空题11.已知实数x,y满足约束条件2𝑥-𝑦+2≥0,𝑥-2𝑦-2≤0,𝑥+𝑦-2≤0,若z=x-ay(a0)的最大值为4,则a=()A.2B.32C.3D.4答案解析解析关闭作出可行域如图所示,由2𝑥-𝑦+2=0,𝑥-2𝑦-2=0,解得A(-2,-2).由图得B(2,0),化目标函数z=x-ay(a0)为y=1𝑎x-1𝑎z,当直线y=1𝑎x-1𝑎z过A或B时,直线在y轴上的截距最小,z有最大值.把A(-2,-2)代入z=x-ay,z=-2+2a=4,得a=3,符合题意;把B(2,0)代入得z=2≠4.∴a=3,故选C.答案解析关闭C-14-一、选择题二、填空题12.已知函数f(x)=ax+b,若0f(1)2,-1f(-1)1,则2a-b的取值范围是()A.-32,52B.32,52C.-52,72D.52,72答案解析解析关闭函数f(x)=ax+b,若0f(1)2,-1f(-1)1,可得0𝑎+𝑏2,-1𝑏-𝑎1的可行域如图所示.令z=2a-b,结合可行域可知z=2a-b经过A,B两点时,z取得最值.由𝑎+𝑏=0,𝑏-𝑎=1,可得A-12,12,由𝑎+𝑏=2,𝑏-𝑎=-1,可得B32,12,2a-b的最大值为3-12=52,最小值为-1-12=-32.因为A,B都不在可行域内,所以2a-b的取值范围是-32,52,故选A.答案解析关闭A-15-一、选择题二、填空题13.(2019全国卷2,文13)若变量x,y满足约束条件则z=3x-y的最大值是.2𝑥+3𝑦-6≥0,𝑥+𝑦-3≤0,𝑦-2≤0,答案解析解析关闭画出可行域为图中阴影部分,z=3x-y表示直线3x-y-z=0的纵截距的相反数.当直线3x-y-z=0过点C(3,0)时,z取得最大值9.答案解析关闭9-16-一、选择题二、填空题14.(2019广东广州高三模拟,理14)已知关于x,y的不等式组表示的平面区域内存在点P(x0,y0),满足x0-2y0=2,则m的取值范围是.2𝑥-𝑦+1≥0,𝑥+𝑚≤0,𝑦+2≥0,答案解析解析关闭作出x,y的不等式组2𝑥-𝑦+1≥0,𝑥+𝑚≤0,𝑦+2≥0,对应的可行域如图所示.交点C的坐标为(-m,-2),直线x-2y=2的斜率为12,斜截式方程为y=12x-1.要使平面区域内存在点P(x0,y0)满足x0-2y0=2,则点C(-m,-2)必在直线x-2y=2的下方,即-2≤-12m-1,解得m≤2,并且A在直线的上方,即A(-m,1-2m),可得1-2m≥-12m-1,解得m≤43,故m的取值范围是-∞,43.答案解析关闭-∞,43-17-一、选择题二、填空题15.已知实数x,y满足2𝑥-𝑦-2≥0,𝑥+2𝑦+2≥0,𝑥-𝑦≥0,若z=3x-2y取得最小值时的最优解(x,y)满足ax+by=2(ab0),则𝑎+4𝑏𝑎𝑏的最小值为.答案解析解析关闭作可行域如图所示,则直线z=3x-2y过点A(2,2)时z取最小值,此时最优解为(2,2),即2a+2b=2,a+b=1,∴𝑎+4𝑏𝑎𝑏=1𝑏+4𝑎=1𝑏+4𝑎(a+b)=5+𝑎𝑏+4𝑏𝑎≥5+2𝑎𝑏·4𝑏𝑎=9,当且仅当a=2b时取等号,即𝑎+4𝑏𝑎𝑏的最小值为9.答案解析关闭9-18-一、选择题二、填空题16.已知实数x,y满足𝑥≥0,𝑦≥0,𝑥3+𝑦4≤1,则𝑥+2𝑦+3𝑥+1的取值范围是.答案解析解析关闭目标函数𝑥+2𝑦+3𝑥+1=1+2·𝑦+1𝑥+1,表示动点P(x,y)与定点M(-1,-1)连线斜率k的两倍加1.由图可知,当点P在A(0,4)点处时k最大,最大值为11.当点P在B(3,0)点处时,k最小,最小值为32.从而𝑥+2𝑦+3𝑥+1=1+2·𝑦+1𝑥+1的取值范围是32,11.答案解析关闭32,11