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5.4.2空间中的垂直与几何体的体积-2-考向一考向二考向三考向四垂直关系的证明例1(2019全国卷2,文17)如图,长方体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形,点E在棱AA1上,BE⊥EC1.(1)证明:BE⊥平面EB1C1;(2)若AE=A1E,AB=3,求四棱锥E-BB1C1C的体积.-3-考向一考向二考向三考向四(1)证明由已知得B1C1⊥平面ABB1A1,BE⊂平面ABB1A1,故B1C1⊥BE.又BE⊥EC1,所以BE⊥平面EB1C1.(2)解由(1)知∠BEB1=90°.由题设知Rt△ABE≌Rt△A1B1E,所以∠AEB=∠A1EB1=45°,故AE=AB=3,AA1=2AE=6.作EF⊥BB1,垂足为F,则EF⊥平面BB1C1C,且EF=AB=3.所以,四棱锥E-BB1C1C的体积V=×3×6×3=18.13-4-考向一考向二考向三考向四解题心得证明线面垂直或面面垂直,一般都会要证线线垂直,证明线线垂直的方法有:(1)通过计算,运用勾股定理寻求线线垂直;(2)利用面面垂直寻求线面垂直,从而得到线线垂直;(3)应用等腰(等边)三角形三线合一性质,即三角形底边的中线同时是高和角分线,得到线线垂直;(4)应用两条平行线的性质,有一条与一个面中的直线垂直,则另一条也与平面中的直线垂直.-5-考向一考向二考向三考向四对点训练1如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,平面PAD⊥平面ABCD,PA⊥PD,PA=PD,E,F分别为AD,PB的中点.(1)求证:PE⊥BC;(2)求证:平面PAB⊥平面PCD;(3)求证:EF∥平面PCD.-6-考向一考向二考向三考向四证明(1)∵PA=PD,且E为AD的中点,∴PE⊥AD.∵底面ABCD为矩形,∴BC∥AD,∴PE⊥BC.(2)∵底面ABCD为矩形,∴AB⊥AD.∵平面PAD⊥平面ABCD,∴AB⊥平面PAD.∴AB⊥PD.又PA⊥PD,PA∩AB=A,∴PD⊥平面PAB.∵PD⊂平面PCD,∴平面PAB⊥平面PCD.-7-考向一考向二考向三考向四(3)如图,取PC的中点G,连接FG,GD.∵F,G分别为PB和PC的中点,∴FG∥BC,且FG=BC.∵四边形ABCD为矩形,且E为AD的中点,∴ED∥BC,ED=BC,∴ED∥FG,且ED=FG,∴四边形EFGD为平行四边形,∴EF∥GD.又EF⊄平面PCD,GD⊂平面PCD,∴EF∥平面PCD.1212-8-考向一考向二考向三考向四证明垂直关系及求体积例2(2019山东潍坊二模,文17)如图,四棱锥M-ABCD中,MB⊥平面ABCD,四边形ABCD是矩形,AB=MB,E,F分别为MA,MC的中点.(1)求证:平面BEF⊥平面MAD;(2)若BC=2AB=2,求三棱锥E-ABF的体积.3-9-考向一考向二考向三考向四(1)证明∵MB⊥平面ABCD,AD⊂平面ABCD,∴MB⊥AD.∵四边形ABCD是矩形,∴AD⊥AB.又AB⊂平面MAB,MB⊂平面MAB,AB∩MB=B,∴AD⊥平面MAB.又BE⊂平面MAB,∴AD⊥BE.∵AB=MB,E是MA的中点,∴BE⊥MA.又AD⊂平面MAD,MA⊂平面MAD,AD∩MA=A,∴BE⊥平面MAD.又BE⊂平面BEF,∴平面BEF⊥平面MAD.-10-考向一考向二考向三考向四(2)由(1)知AD⊥平面MAB,又AD∥BC,∴BC⊥平面MAB,∵F是MC的中点,∴F到平面MAB的距离d=12BC=3.∵E是MA的中点,∴S△ABE=12S△MAB=12×12×3×3=34,∴VE-ABF=VF-ABE=13S△ABE·d=13×34×3=34.解题心得证明面面垂直一般先证线面垂直,然后说明另一平面经过垂线.-11-考向一考向二考向三考向四对点训练2(2019河北衡水中学下学期四调,文18)如图,在四棱锥P-ABCD中,侧面PCD⊥底面ABCD,PD⊥CD,E,F分别为PC,PA的中点,底面是直角梯形,AB∥CD,∠ADC=90°,AB=AD=PD=2,CD=4.(1)求证:平面PBC⊥平面PBD.(2)求三棱锥P-EFB的体积.-12-考向一考向二考向三考向四(1)证明在直角梯形ABCD中,过点B作BH⊥CD于点H(图略).在△BCH中,有BH=CH=2,所以∠BCH=45°.又在Rt△DAB中,有AD=AB=2,所以∠ADB=45°.所以∠BDC=45°,所以∠DBC=90°,所以BC⊥BD.因为PD⊥CD,平面PCD⊥平面ABCD,平面PCD∩平面ABCD=CD,PD⊂平面PCD,所以PD⊥平面ABCD,所以PD⊥BC.又因为BD∩PD=D,BD⊂平面PBD,PD⊂平面PBD,所以BC⊥平面PBD.又BC⊂平面PBC,所以平面PBC⊥平面PBD.-13-考向一考向二考向三考向四(2)解因为AB∥CD,且AB⊂平面PAB,CD⊄平面PAB,所以CD∥平面PAB,在Rt△PDA中,由AD=PD=2,可得D到PA的距离为2,即D到平面PAB的距离为2.所以C到平面PAB的距离为2.又E为PC的中点,可得E到平面PAB的距离为22.易知PA=22,在Rt△PAB中,由AB=2,且F为PA的中点,可得S△PBF=12S△PAB=2.所以VP-EFB=VE-PBF=13×2×22=13.-14-考向一考向二考向三考向四折叠问题中的垂直及距离例3(2019湖北八校联考一,文19)如图,在边长为3的正方形ABCD中,点E,F分别在AB,BC上(如图①),且BE=BF,将△AED,△DCF分别沿DE,DF折起,使A,C两点重合于点A'(如图②).(1)求证:A'D⊥EF;(2)当BF=BC时,求点A'到平面DEF的距离.13-15-考向一考向二考向三考向四(1)证明由四边形ABCD是正方形及折叠方式,得A'E⊥A'D,A'F⊥A'D,∵A'E∩A'F=A',∴A'D⊥平面A'EF.又EF⊂平面A'EF,∴A'D⊥EF.(2)解∵BE=BF=13BC=1,∴A'E=A'F=2,EF=2,A'D=3,∴S△A'EF=72,∴DE=DF=13,∴S△DEF=52.设点A'到平面DEF的距离为d,∵V三棱锥A'-DEF=V三棱锥D-A'EF,∴13·d·S△DEF=13·A'D·S△A'EF,解得d=375.-16-考向一考向二考向三考向四解题心得平面图形翻折后成为空间图形,翻折后还在同一个平面上的线线关系不发生变化,不在同一个平面上的可能发生变化.解决这类问题就是要根据这些变与不变,去研究翻折以后的空间图形中的线面关系和各类几何量的度量值.-17-考向一考向二考向三考向四对点训练3(2019山西吕梁一模,文19)如图①,已知直角梯形ABCD,AB∥CD,∠DAB=90°,AB=4,AD=CD=2,E为AB的中点,沿EC将梯形ABCD折起(如图②),使∠BED=90°.(1)证明:BE⊥平面AECD;(2)求点E到平面BCD的距离.-18-考向一考向二考向三考向四(1)证明由已知可得,△BCE为直角三角形,所以BE⊥CE.又∠BED=90°,所以BE⊥ED.又CE∩ED=E,所以BE⊥平面AECD.(2)解因为BE⊥平面AECD,AE⊂平面AECD,所以BE⊥AE.又因为AE⊥CE,CE⊂平面BCE,BE⊂平面BCE,BE∩CE=E,所以AE⊥平面BCE.又因为DC∥AE,所以DC⊥平面BCE.又因为BC⊂平面BCE,所以DC⊥BC.在Rt△BCE中,BC=22+22=22,设点E到平面BCD的距离为d,由VE-BCD=VB-ECD,则13×12×2×22d=13×12×2×2×2,所以d=2.-19-考向一考向二考向三考向四证垂直关系与求空间角例4(2019山西长治一模,文18)如图,直三棱柱ABC-A1B1C1的底面是边长为2的正三角形,E,F分别是BC,CC1的中点.(1)证明:平面AEF⊥平面B1BCC1;(2)若三棱锥F-AEC的体积为,求直线A1C与平面A1ABB1所成的角.3324-20-考向一考向二考向三考向四(1)证明由题意可知,CC1⊥平面ABC,∵AE⊂平面ABC,∴CC1⊥AE.∵△ABC是正三角形且E是BC的中点,∴AE⊥BC,∵BC∩CC1=C,∴AE⊥平面B1BCC1.又AE⊂平面AEF,∴平面AEF⊥平面B1BCC1.(2)解由题意可知,VF-AEC=13×S△AEC×FC=13×12×3×32×23×FC=324,解得FC=62.如图,设线段AB的中点为G,连接CG,A1G,则CG⊥AB.∵平面A1ABB1⊥平面ABC,且平面A1ABB1∩平面ABC=AB,∴CG⊥平面A1ABB1,∴∠CA1G即为直线A1C与平面A1ABB1所成的角,∵A1G=(6)2+(3)2=3,∴在Rt△CA1G中,tan∠CA1G=𝐶𝐺𝐴1𝐺=33=1,∴∠CA1G=45°.-21-考向一考向二考向三考向四解题心得求异面直线所成的角、线与面所成的角的方法是一作,二证,三求.异面直线所成的角一般利用平行线转化为同一平面内的两条直线所成的角;线与面所成的角一般找到直线在平面内的射影,转化为直线与直线在平面内的射影所成的角.-22-考向一考向二考向三考向四对点训练4如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,四边形A1ABB1为菱形,四边形BCC1B1为矩形,若AB⊥BC且AB=4,BC=3,∠A1AB=60°.(1)求证:平面CA1B⊥平面A1ABB1;(2)求直线A1C与平面BCC1B1所成的角的正切值.-23-考向一考向二考向三考向四(1)证明∵四边形BCC1B1为矩形,∴B1B⊥CB.又AB⊥CB,B1B∩AB=B,∴CB⊥平面A1ABB1.又CB⊂平面CA1B,∴平面CA1B⊥平面A1ABB1.-24-考向一考向二考向三考向四(2)解过点A1作A1D⊥B1B于点D,连接DC,∵BC⊥平面A1ABB1,∴BC⊥A1D.∵BC∩BB1=B,∴A1D⊥平面BCC1B1.∴∠A1CD为直线A1C与平面BCC1B1所成的角.在矩形BCC1B1中,DC=13,∵四边形A1ABB1是菱形,∠A1AB=60°,AB=4,∴A1D=23,∴tan∠A1CD=𝐴1𝐷𝐶𝐷=2313=23913.故直线A1C与平面BCC1B1所成的角的正切值为23913.