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5.3热点小专题二球与多面体的内切、外接-2-一、考情分析近几年高考对于组合体的考查,与球相关的外接与内切问题为高频考点,主要考查球与几何体的切接问题,在高考中主要的题型是选择题或者填空题,基本上都是中等难度的试题.要求学生有较强的空间想象能力和准确的计算能力,教学中要注重对学生直观想象,数学运算和数学建模等核心的培养.-3-二、必备知识整合1.球体的体积与表面积:①V球=πR3;②S球面=4πR2.2.球与多面体的接、切(1)定义1:若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上,则称这个多面体是这个球的内接多面体,这个球是这个多面体的外接球.(2)定义2:若一个多面体的各面都与一个球的球面相切,则称这个多面体是这个球的外切多面体,这个球是这个多面体的内切球.(3)棱切:球与一个几何体各条棱相切.3.球与正方体的内切和外接(1)当球与正方体内切时,球的直径长等于正方体的棱长;(2)当球与正方体外接时,球的直径长等于正方体的体对角线长.4.当球与长方体外接时,球的直径长等于长方体的体对角线长.43-4-热点一热点二热点拓展球与棱柱的外接问题例1一个六棱柱的底面是正六边形,其侧棱垂直于底面,已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上,且该六棱柱的体积为,底面周长为3,则这个球的体积为.98答案解析解析关闭设正六棱柱的底面边长为x,高为h,则有6𝑥=3,6×34𝑥2ℎ=98,解得𝑥=12,ℎ=3.∴正六棱柱的底面正六边形的外接圆的半径r=12,球心到底面正六边形的距离d=32.∴正六棱柱外接球的半径R=𝑟2+𝑑2=1.∴V球=4π3.答案解析关闭4π3-5-热点一热点二热点拓展解题心得本题运用公式R2=r2+d2求球的半径,该公式是求球的半径的常用公式.-6-热点一热点二热点拓展对点训练1设三棱柱的侧棱垂直于底面,所有棱的长都为a,顶点都在一个球面上,则该球的表面积为()A.πa2B.73πa2C.113πa2D.5πa2答案解析解析关闭如图,O1,O分别为上、下底面的中心,D为O1O的中点,则DB为球的半径,则r=DB=𝑂𝐷2+𝑂𝐵2=𝑎24+𝑎23=7𝑎212,∴S表=4πr2=4π×7𝑎212=73πa2.答案解析关闭B-7-热点一热点二热点拓展球与棱锥的外接问题(多维探究)方法一补形法求球的半径例2(1)(2019全国卷1,理12)已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上,PA=PB=PC,△ABC是边长为2的正三角形,E,F分别是PA,AB的中点,∠CEF=90°,则球O的体积为()(2)(2019福建漳州质检二,理15)已知正四面体A-BCD的外接球的体积为8π,则这个四面体的表面积为.A.86πB.46πC.26πD.6π6答案(1)D(2)163-8-热点一热点二热点拓展解析(1)设PA=PB=PC=2x.∵E,F分别为PA,AB的中点,∴EF∥PB,且EF=12PB=x.∵△ABC为边长为2的等边三角形,∴CF=3.又∠CEF=90°,∴CE=3-𝑥2,AE=12PA=x.在△AEC中,由余弦定理可知cos∠EAC=𝑥2+4-(3-𝑥2)2×2·𝑥.作PD⊥AC于点D,∵PA=PC,∴D为AC的中点,cos∠EAC=𝐴𝐷𝑃𝐴=12𝑥.∴𝑥2+4-3+𝑥24𝑥=12𝑥.-9-热点一热点二热点拓展∴2x2+1=2.∴x2=12,即x=22.∴PA=PB=PC=2.又AB=BC=AC=2,∴PA⊥PB⊥PC.∴2R=2+2+2=6.∴R=62.∴V=43πR3=43π×623=6π.故选D.-10-热点一热点二热点拓展(2)将正四面体ABCD放在一个正方体内,设正方体的棱长为a,如下图所示,设正四面体ABCD的外接球的半径为R,则43πR3=86π,得R=6.正四面体ABCD的外接球和正方体的外接球是同一个球,则有3a=2R=26,所以a=22.而正四面体ABCD的每条棱长均为正方体的面对角线长,所以,正四面体ABCD的棱长为2a=4,因此,这个正四面体的表面积为4×12×42×sinπ3=163.-11-热点一热点二热点拓展解题心得一般地,若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直,且其长度分别为a、b、c,则就可以将这个三棱锥补成一个长方体,于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为R,则有2R=𝑎2+𝑏2+𝑐2.-12-热点一热点二热点拓展对点训练2(1)(2019山东德州一模,理8)已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体外接球的表面积为()A.143πB.7πC.11πD.14π-13-热点一热点二热点拓展(2)(2019山东实验等四校联考,理6)某三棱锥的三视图如图所示,则此三棱锥的外接球表面积是()A.16π3B.28π3C.11πD.32π3-14-热点一热点二热点拓展解析(1)该几何体为三棱锥,补形为长方体,其外接球的直径为2R=(3)2+22+22=11,故该几何体外接球的表面积为4πR2=11π.(2)三棱锥的直观图如图所示,由三视图可知直观图中PC⊥平面ABC,AC=BC=3+1=2=AB,所以△ABC是正三角形,将三棱锥补形为三棱柱,则三棱锥与三棱柱有相同的外接球,所以球心为三棱柱两底面中心连线的中点,设△ABC的外心为O1,球心为O,连接OO1,OC,O1C,则O1C=23×3=233,所以OC2=2332+12=73,所以S球=4π×73=28π3.答案(1)C(2)B-15-热点一热点二热点拓展方法二体积法求球的半径例3正四面体的棱长为a,则其内切球和外接球的半径是多少?解如图所示,设点O是内切球的球心,正四面体棱长为a.由图形的对称性知,点O也是外接球的球心.设内切球半径为r,外接球半径为R.正四面体的表面积S表=4×34a2=3a2,正四面体的体积VA-BCD=13×34a2×AE=312a2×𝐴𝐵2-𝐵𝐸2=312a2×𝑎2-(33𝑎)2=212a3.∵13S表·r=VA-BCD,∴r=3𝑉𝐴-𝐵𝐶𝐷𝑆表=612a.在Rt△BEO中,BO2=BE2+EO2,即R2=33a2+r2,得R=64a.-16-热点一热点二热点拓展解题心得1.正四面体的内切球的半径:根据球心到各个面的距离相等把正四面体分解成四个正三棱锥,且正四面体的体积等于四个正三棱锥体积之和,从而求出球心到正四面体面的距离,即内切球半径.2.正四面体外接球的半径:外接球的球心到正四面体的每一个顶点的距离都相等,所以计算出内切球半径后再将分解出来的小的正三棱锥的棱长计算出来即可.3.正四面体内切球与外接球半径的联系:内切球半径+外接球半径=正四面体的高.-17-热点一热点二热点拓展对点训练3(2019山师附中考前模拟,理14)在三棱锥P-ABC中,AB=5,BC=3,CA=4,三个侧面与底面所成的角均为60°,三棱锥的内切球的表面积为.答案解析解析关闭设顶点在底面上的射影为H,H是△ABC的内心,内切圆半径r=1,三个侧面与底面所成的角均为60°,则△PAB,△PAC,△PBC的高PD=PE=PF=2,PH=3,所以三棱锥的体积V=13×12×4×3×3=23,设内切球的半径为R,球心与三棱锥各顶点的连线把三棱锥分成四个小三棱锥,则有1312(3+4+5)×2+12×3×4×R=23,R=33,S=4πR2=4π3.答案解析关闭4π3-18-热点一热点二热点拓展方法三寻求轴截面圆求球半径例4正四棱锥S-ABCD的底面边长和各侧棱长都为,点S,A,B,C,D都在同一球面上,则此球的体积为.2答案解析解析关闭设正四棱锥的底面中心为O1,外接球的球心为O,如图所示.由球的截面的性质,可得OO1⊥平面ABCD.又SO1⊥平面ABCD,∴球心O必在SO1所在的直线上.∴△ASC的外接圆就是外接球的一个轴截面圆,外接圆的半径就是外接球的半径.在△ASC中,由SA=SC=2,AC=2,得SA2+SC2=AC2,∴△ASC是以AC为斜边的直角三角形.∴点O与O1重合.∴𝐴𝐶2=1是外接圆的半径,也是外接球的半径.故V球=43π.答案解析关闭43π-19-热点一热点二热点拓展解题心得根据题意,我们可以选择最佳角度找出含有正棱锥特征元素的外接球的一个轴截面圆,于是该圆的半径就是所求的外接球的半径.本题提供的这种思路是探求正棱锥外接球半径的通解通法,该方法的实质就是通过寻找外接球的一个轴截面圆,从而把立体几何问题转化为平面几何问题来研究.这种等价转化的数学思想方法值得我们学习.-20-热点一热点二热点拓展对点训练4(2019四川宜宾二模,理9)已知三棱锥P-ABC的四个顶点都在半径为2的球面上,AB=BC=CA=2,PA⊥平面ABC,则三棱锥P-ABC的体积为()A.6B.22C.94D.832答案解析解析关闭如图,取BC的中点D,连接AD,则AD=(22)2-(2)2=6.设等边三角形ABC的中心为G,则AG=263.又球O的半径为2,则OG=22-2632=233,则PA=433.∴三棱锥P-ABC的体积为V=13×12×22×6×433=83.故选D.答案解析关闭D-21-热点一热点二热点拓展方法四确定球心位置法例5(1)(2019陕西咸阳一模,理10)四面体ABCD的四个顶点都在球O的表面上,AB=2,BC=CD=1,∠BCD=90°,AB⊥平面BCD,则球O的表面积为()A.6πB.5πC.4πD.3π(2)(2019湖南六校联考,文16)已知四棱锥S-ABCD的三视图如图所示,若该四棱锥的各个顶点都在球O的球面上,则球O的表面积等于.答案(1)A(2)1015π-22-热点一热点二热点拓展解析(1)由于AB⊥平面BCD,故AB⊥BD,AB⊥CD,而CD⊥BC,故CD⊥平面ABC,所以CD⊥AC,所以三角形ABD和三角形ACD为有公共斜边的直角三角形,设斜边AD的中点为O,则有OA=OB=OC=OD,即O为外接球的球心,AD为球的直径.AD2=BC2+CD2+AB2=6,所以球的表面积为4π·𝐴𝐷22=π·AD2=6π,故选A.-23-热点一热点二热点拓展(2)由该四棱锥的三视图知,该四棱锥的直观图如图.因为△SAB是一个锐角三角形,其外接圆的圆心在三角形内,设为O1,矩形ABCD的外接圆的圆心为其对角线的交点O2,设四棱锥外接球的球心为O,E为AB的中点,则OO1⊥平面SAB,OO2⊥平面ABCD,则OB为球的半径R.设r1为△SAB外接圆的半径,r2为矩形ABCD外接圆的半径,L=AB,则r1=O1B,r2=O2B,又平面SAB⊥平面ABCD,可得O1E2=𝑟12−𝐿24,O1E=OO2,所以R2=O𝑂22+O2B2,所以R2=𝑟12+𝑟22−𝐿24,SE=9-4=5.由相交弦定理易求得△SAB外接圆的半径,即SE×(2r1-SE)=BE2,所以r1=925,2r2=42+22=25.所以R2=8120-4+5=10120,所以S=4πR2=1015π.-24-热点一热点二热点拓展解题心得由球的对称性可知,球心与任意一个不过球心的截面圆的圆心的连线垂直该截面圆,经常由此性质来确定球的球心位置.-25-热点一热点二热点拓展对点训练5在矩形ABCD中,AB=4,BC=3,沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角B-AC-D,则四面体ABCD的外接球的体积为()A.12512πB.1259πC.1256πD.1253π答案解析解析关闭设矩形对角线的交点为O,则由矩形对角线互相平分,可知OA=OB=OC=OD,∴点O到四面体的四个顶点A,B,C,D的距离相等,即点O为四面体的外接球的球心,如图所示.∴外接球的半径R=OA=52.故V球=43πR3=1256π.故选C.答案解析关闭C-26-热点一热点二热点拓展球与其他几何体的内切、外接例6如图,在圆柱O1O2内有一个球O,该球与圆柱的上、下底面及母线均相切.记圆柱O1O2的体积为V1,球O的体积为V2,则的值是.𝑉1𝑉2答案解析解析关闭设球O的半径为r,则圆柱O1O2