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5.2空间关系及空间角与距离专项练-2-1.直线、平面平行的判定及其性质(1)线面平行的判定定理:a⊄α,b⊂α,a∥b⇒a∥α.(2)线面平行的性质定理:a∥α,a⊂β,α∩β=b⇒a∥b.(3)面面平行的判定定理:a⊂β,b⊂β,a∩b=P,a∥α,b∥α⇒α∥β.(4)面面平行的性质定理:α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b⇒a∥b.2.直线、平面垂直的判定及其性质(1)线面垂直的判定定理:m⊂α,n⊂α,m∩n=P,l⊥m,l⊥n⇒l⊥α.(2)线面垂直的性质定理:a⊥α,b⊥α⇒a∥b.(3)面面垂直的判定定理:a⊂β,a⊥α⇒α⊥β.(4)面面垂直的性质定理:α⊥β,α∩β=l,a⊂α,a⊥l⇒a⊥β.-3-3.空间角的求法(1)定义法求空间角求空间角的大小,一般是根据相关角(异面直线所成的角、直线和平面所成的角、二面角)的定义,把空间角转化为平面角来求解.(2)向量法求空间角利用空间向量来求解,首先根据几何体的结构特征建立空间直角坐标系,把直线的方向向量与平面的法向量求出来,然后进行坐标运算,要注意所求的角与两向量夹角之间的关系.-4-4.空间中点到平面的距离的求法(1)定义法:过点向平面作垂线,点与垂足的距离.(2)“等积法”:求解点到平面的距离常转化为锥体的高,利用三棱锥体积公式求点到平面的距离.因为三棱锥的特殊性——任意一个面都可以作为其底面,所以可通过换底法把距离问题转化为体积和面积的有关计算.(3)“向量法”:求解点到平面的距离,可转化为向量在平面的法向量上射影的长.-5-一、选择题二、填空题1.(2019北京顺义统考二,理6)已知m,n是两条不同直线,α,β是两个不同平面,则()A.若m⊥α,α⊥β,则m∥βB.若m∥α,n⊥α,则m⊥nC.若m⊂α,n⊂α,m∥β,n∥β,则α∥βD.若m∥α,n∥α,则m∥n答案解析解析关闭选项A中,m∥β或m⊂β,故A错;易知选项B正确;选项C中,没有m,n相交的条件,故C错;选项D中,m,n的关系也可以相交或异面,故D错.故选B.答案解析关闭B-6-一、选择题二、填空题2.(2019全国卷2,理7)设α,β为两个平面,则α∥β的充要条件是()A.α内有无数条直线与β平行B.α内有两条相交直线与β平行C.α,β平行于同一条直线D.α,β垂直于同一平面答案解析解析关闭由面面平行的判定定理知,“α内有两条相交直线与β平行”是“α∥β”的充分条件.由面面平行的性质知,“α内有两条相交直线与β平行”是“α∥β”的必要条件,故选B.答案解析关闭B-7-一、选择题二、填空题3.如图,在下列四个正方体中,A,B为正方体的两个顶点,M,N,Q为所在棱的中点,则在这四个正方体中,直线AB与平面MNQ不平行的是()答案解析解析关闭选项B中,AB∥MQ,且MQ⊂平面MNQ,AB⊄平面MNQ,则AB∥平面MNQ;选项C中,AB∥MQ,且MQ⊂平面MNQ,AB⊄平面MNQ,则AB∥平面MNQ;选项D中,AB∥NQ,且NQ⊂平面MNQ,AB⊄平面MNQ,则AB∥平面MNQ,故排除选项B,C,D.故选A.答案解析关闭A-8-一、选择题二、填空题4.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱CD的中点,则()A.A1E⊥DC1B.A1E⊥BDC.A1E⊥BC1D.A1E⊥AC答案解析解析关闭连接B1C,BC1,A1E,则B1C⊥BC1.∵CD⊥平面BB1C1C,BC1⊂平面BB1C1C,∴CD⊥BC1.∵B1C∩CD=C,∴BC1⊥平面A1B1CD.∵A1E⊂平面A1B1CD,∴A1E⊥BC1.故选C.答案解析关闭C-9-一、选择题二、填空题5.(2019四川成都二模,理6)已知a,b是两条异面直线,直线c与a,b都垂直,则下列说法正确的是()A.若c⊂平面α,则a⊥αB.若c⊥平面α,则a∥α,b∥αC.存在平面α,使得c⊥α,a⊂α,b∥αD.存在平面α,使得c∥α,a⊥α,b⊥α答案解析解析关闭由a,b是两条异面直线,直线c与a,b都垂直可知,在A中,若c⊂平面α,则a与α相交、平行或a⊂α,故A错误;在B中,若c⊥平面α,则a,b与平面α平行或a,b中有一条在平面α内,故B错误;在C中,由线面垂直的性质得,存在平面α,使得c⊥α,a⊂α,b∥α,故C正确;在D中,若存在平面α,使得c∥α,a⊥α,b⊥α,则a∥b,与已知a,b是两条异面直线矛盾,故D错误.答案解析关闭C-10-一、选择题二、填空题6.已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ABC=120°,AB=2,BC=CC1=1,则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为()A.32B.155C.105D.33答案C-11-一、选择题二、填空题解析方法一:如图,取AB,BB1,B1C1的中点M,N,P,连接MN,NP,PM,可知AB1与BC1所成的角等于MN与NP所成的角.取BC的中点Q,连接PQ,QM,则可知△PQM为直角三角形.在△ABC中,AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos∠ABC由题意可知BC1=2,AB1=5,则MN=12AB1=52,NP=12BC1=22.=4+1-2×2×1×-12=7,即AC=7.又CC1=1,所以PQ=1,MQ=12AC=72.在△MQP中,可知MP=𝑀𝑄2+𝑃𝑄2=112.在△PMN中,cos∠PNM=𝑀𝑁2+𝑁𝑃2-𝑃𝑀22·𝑀𝑁·𝑁𝑃=522+222-11222×52×22=-105.-12-一、选择题二、填空题又异面直线所成角的范围为0,π2,故所求角的余弦值为105.方法二:把三棱柱ABC-A1B1C1补成四棱柱ABCD-A1B1C1D1,四边形ABCD为平行四边形如图,连接C1D,BD,则AB1与BC1所成的角为∠BC1D.由题意可知BC1=2,BD=22+12-2×2×1×cos60°=3,C1D=AB1=5.可知B𝐶12+BD2=C1D2,所以cos∠BC1D=25=105,故选C.-13-一、选择题二、填空题7.在△ABC中,AB=9,AC=15,∠BAC=120°,它所在平面外一点P到△ABC三个顶点的距离都是14,则点P到平面ABC的距离为()A.6B.7C.8D.12答案解析解析关闭设P在平面ABC上的射影为O,∵PA=PB=PC,∴OA=OB=OC,即O是△ABC的外心.设△ABC的外接圆的半径为R,在△ABC中,由余弦定理知BC=21.由正弦定理知2R=21sin120°=143,∴R=OA=73,则PO=7.答案解析关闭B-14-一、选择题二、填空题8.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=1,AA1=,则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为()A.15B.56C.55D.223答案解析解析关闭以DA,DC,DD1为轴建立空间直角坐标系如图,则D1(0,0,3),A(1,0,0),D(0,0,0),B1(1,1,3).所以𝐴𝐷1=(-1,0,3),𝐷𝐵1=(1,1,3).设异面直线AD1与DB1所成的角为θ,则cosθ=𝐴𝐷1·𝐷𝐵1|𝐴𝐷1||𝐷𝐵1|=22×5=55.故异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为55.答案解析关闭C-15-一、选择题二、填空题9.(2019全国卷3,理8)如图,点N为正方形ABCD的中心,△ECD为正三角形,平面ECD⊥平面ABCD,M是线段ED的中点,则()A.BM=EN,且直线BM,EN是相交直线B.BM≠EN,且直线BM,EN是相交直线C.BM=EN,且直线BM,EN是异面直线D.BM≠EN,且直线BM,EN是异面直线答案B-16-一、选择题二、填空题解析如图,连接BD,BE.在△BDE中,N为BD的中点,M为DE的中点,∴BM,EN是相交直线,排除选项C,D.作EO⊥CD于点O,连接ON.作MF⊥OD于点F,连接BF.∵平面CDE⊥平面ABCD,平面CDE∩平面ABCD=CD,EO⊥CD,EO⊂平面CDE,∴EO⊥平面ABCD.同理,MF⊥平面ABCD.-17-一、选择题二、填空题∴△MFB与△EON均为直角三角形.设正方形ABCD的边长为2,易知EO=3,ON=1,MF=32,BF=22+94=52,则EN=3+1=2,BM=34+254=7,∴BM≠EN.故选B.-18-一、选择题二、填空题10.平面α过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A,α∥平面CB1D1,α∩平面ABCD=m,α∩平面ABB1A1=n,则m,n所成角的正弦值为()A.32B.22C.33D.13答案A解析(方法一)∵α∥平面CB1D1,平面ABCD∥平面A1B1C1D1,α∩平面ABCD=m,平面CB1D1∩平面A1B1C1D1=B1D1,∴m∥B1D1.∵α∥平面CB1D1,平面ABB1A1∥平面DCC1D1,α∩平面ABB1A1=n,平面CB1D1∩平面DCC1D1=CD1,∴n∥CD1.∴B1D1,CD1所成的角等于m,n所成的角,即∠B1D1C等于m,n所成的角.∵△B1D1C为正三角形,∴∠B1D1C=60°,∴m,n所成的角的正弦值为.32-19-一、选择题二、填空题(方法二)由题意画出图形如图,将正方体ABCD-A1B1C1D1平移,补形为两个全等的正方体如图,易证平面AEF∥平面CB1D1,所以平面AEF即为平面α,m即为AE,n即为AF,所以AE与AF所成的角即为m与n所成的角.因为△AEF是正三角形,所以∠EAF=60°,故m,n所成角的正弦值为.32-20-一、选择题二、填空题11.(2019浙江卷,8)设三棱锥V-ABC的底面是正三角形,侧棱长均相等,P是棱VA上的点(不含端点).记直线PB与直线AC所成的角为α,直线PB与平面ABC所成的角为β,二面角P-AC-B的平面角为γ,则()A.βγ,αγB.βα,βγC.βα,γαD.αβ,γβ答案解析解析关闭如图,G为AC中点,点V在底面ABC上的投影为点O,则点P在底面ABC上的投影点D在线段AO上,过点D作DE垂直AE,易得PE∥VG,过点P作PF∥AC交VG于点F,过点D作DH∥AC,交BG于点H,则α=∠BPF,β=∠PBD,γ=∠PED,所以cosα=𝑃𝐹𝑃𝐵=𝐸𝐺𝑃𝐵=𝐷𝐻𝑃𝐵𝐵𝐷𝑃𝐵=cosβ,所以αβ,因为tanγ=𝑃𝐷𝐸𝐷𝑃𝐷𝐵𝐷=tanβ,所以γβ.故选B.答案解析关闭B-21-一、选择题二、填空题12.(2019山西运城二模,理11)如图,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,P,Q分别是棱A1D1,AB,BC的中点,若经过点M,P,Q的平面与平面CDD1C1的交线为l,则l与直线QB1所成角的余弦值为()A.33B.105C.54D.32答案解析解析关闭取C1D1的中点E,则平面PQEM是经过点M,P,Q的平面,延长PQ,交DC的延长线于点F,则EF是经过点M,P,Q的平面与平面CDD1C1的交线l.以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,如图.则E0,12,1,F0,32,0,Q12,1,0,B1(1,1,1),𝐸𝐹=(0,1,-1),𝑄𝐵1=12,0,1.设l与直线QB1所成的角为θ,则cosθ=|𝐸𝐹·𝑄𝐵1||𝐸𝐹||𝑄𝐵1|=12·54=105,故l与直线QB1所成角的余弦值为105.答案解析关闭B-22-一、选择题二、填空题13.已知三棱锥P-ABC的顶点P、A、B、C在球O的表面上,△ABC是边长为的等边三角形,如果球O的表面积为36π,那么P到平面ABC距离的最大值为.3答案解析解析关闭△ABC是边长为3的等边三角形,外接圆的半径为1,球O的表面积为36π,球的半径为3,∴球心O到平面ABC的距离为9-1=22,∴P到平面ABC距离的最大值为3+22.答案解析关闭3+22-23-一、选择题二、填空题14.(2019福建漳州质检二,理8改编)如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB和A1D1的中点分别