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5.1几何体的三视图与面积、体积专项练-2-1.空间几何体的三视图(1)几何体的摆放位置不同,其三视图一般也不同.(2)几何体的三视图的关系:正侧一样高,正俯一样长,侧俯一样宽.2.空间几何体的两组常用公式(1)柱体、锥体的侧面积及表面积公式:①S圆柱侧=2πrl(r为底面半径,l为母线长);②S圆锥侧=πrl(r为底面半径,l为母线长);③S圆柱表=2πr(r+l)(r为底面半径,l为母线长);④S圆锥表=πr(r+l)(r为底面半径,l为母线长).(2)柱体、锥体的体积公式:①V柱体=Sh(S为底面面积,h为高);②V锥体=Sh(S为底面面积,h为高).13-3-一、选择题二、填空题1.(2019山东潍坊三模,理4)某几何体的三视图(如图),则该几何体的体积是()A.23π+6B.116πC.113πD.23+6π答案解析解析关闭由三视图知几何体是左边为圆锥的一半,右边为圆柱的一半的组合体,且圆锥与圆柱的底面圆的直径为2,圆柱的高为3,圆锥的高为2,故几何体的体积V=V半圆柱+V半圆锥=12π×12×3+12×13×π×12×2=116π.答案解析关闭B-4-一、选择题二、填空题2.中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来,构件的凸出部分叫榫头,凹进部分叫卯眼,图中木构件右边的小长方体是榫头.若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体,则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是()答案解析解析关闭根据三视图原则,从上往下看,看不见的线画虚线,则A正确.答案解析关闭A-5-一、选择题二、填空题3.(2019湖南六校联考,理4)一个几何体的三视图如图所示,这个几何体的体积为8,则俯视图中三角形的高x等于()A.2B.3C.4D.1答案解析解析关闭如图所示,该几何体为四棱锥,体积为V=13×12×(2+4)×2·x=8,解得x=4.答案解析关闭C-6-一、选择题二、填空题4.(2019浙江卷,4)祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家,他提出的“幂势既同,则积不容异”称为祖暅原理,利用该原理可以得到柱体的体积公式V柱体=Sh,其中S是柱体的底面积,h是柱体的高.若某柱体的三视图如图所示(单位:cm),则该柱体的体积(单位:cm3)是()A.158B.162C.182D.324答案解析解析关闭由三视图得,该棱柱的高为6,底面五边形可以看作是由两个直角梯形组合而成,其中一个上底为4,下底为6,高为3,另一个的上底为2,下底为6,高为3,则该棱柱的体积为2+62×3+4+62×3×6=162.答案解析关闭B-7-一、选择题二、填空题5.某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如下图.圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A,圆柱表面上的点N在侧视图上的对应点为B,则在此圆柱侧面上,从M到N的路径中,最短路径的长度为()C.3D.2A.217B.25答案解析解析关闭如图所示,易知N为𝐶𝐷的中点,将圆柱的侧面沿母线MC剪开,展平为矩形MCC'M',易知CN=14CC'=4,MC=2,则从M到N的最短路径为MN.答案解析关闭B-8-一、选择题二、填空题6.(2019山东菏泽一模,理7)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是()A.πB.2πC.3πD.6π答案解析解析关闭由三视图可知,该几何体是一个大圆锥中挖去一个小圆锥后剩下的几何体,且大圆锥与被挖去的小圆锥共底面,大圆锥的底面圆半径为3,高为(23)2-(3)2=3,被挖去的小圆锥的底面圆半径为3,高为22-(3)2=1,所以该几何体的体积为V=13×π×(3)2×3-13×π×(3)2×1=2π,故选B.答案解析关闭B-9-一、选择题二、填空题7.(2019陕西第二次质检,理9)某三棱锥的三视图如图所示,其俯视图是一个等腰直角三角形,在此三棱锥的六条棱中,最长棱的长度为()A.2B.22C.6D.2答案解析解析关闭几何体的直观图如图所示,由题意,可知PA⊥底面ABC,△ABC是等腰直角三角形,AB⊥BC,则PC是最长的棱,PC=4+4=22.故选B.答案解析关闭B-10-一、选择题二、填空题8.(2019山西晋城二模,理6)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为()A.240B.264C.274D.282答案B-11-一、选择题二、填空题解析(法一)由几何体的三视图可知,几何体的直观图如图所示,延长BE交DF于点A,其中AB=AD=DD1=6,AE=3,AF=4,所以表面积S=36×5+3×6+×2+4×6+30=264.(法二)由题意可知,几何体是五棱柱,底面可看作是边长为6的正方形与一个直角三角形组成,如图,则该几何体的表面积为(10+6+6+3+5)×6+2×6×6+3×4=264.故选B.3×42-12-一、选择题二、填空题9.某多面体的三视图如图所示,其中正视图和侧视图都由正方形和等腰直角三角形组成,正方形的边长为2,俯视图为等腰直角三角形,该多面体的各个面中有若干个是梯形,这些梯形的面积之和为()A.10B.12C.14D.16答案解析解析关闭由三视图可还原出几何体的直观图如图所示.该五面体中有两个侧面是全等的直角梯形,且直角梯形的上底长为2,下底长为4,高为2,则S梯=(2+4)×2×12=6,所以这些梯形的面积之和为12.答案解析关闭B-13-一、选择题二、填空题10.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为()A.3+62+26B.3+62+46C.63+46D.53+46答案解析解析关闭该几何体为三棱锥,如图,底面三角形BCD为顶角为120°的等腰三角形,侧棱AC⊥底面BCD,BC=CD=2,BD=23,AC=26,AB=AD=27,表面积为12×2×26+12×2×26+12×2×2sin120°+12×(27)2-(3)2×23=46+63,故选C.答案解析关闭C-14-一、选择题二、填空题11.(2019山师附中考前模拟,理6)某几何体的三视图如图所示,其中正视图是边长为4的正三角形,俯视图是由边长为4的正三角形和一个半圆构成,则该几何体的体积为()A.8+43π3B.8+23π3C.4+43π3D.8+83π3答案解析解析关闭由题意可知,该几何体是一个组合体,前半部分是一个高为23,底面是边长为4的等边三角形的三棱锥,后半部分是一个底面半径为2的半圆锥,则其体积为V=13×34×42×23+12×13π×4×23=8+43π3.答案解析关闭A-15-一、选择题二、填空题12.设A,B,C,D是同一个半径为4的球的球面上四点,△ABC为等边三角形且其面积为9,则三棱锥D-ABC体积的最大值为()A.123B.183C.243D.5433答案解析解析关闭由△ABC为等边三角形且面积为93,设△ABC边长为a,则S=12a·32a=93,解得a=6,则△ABC的外接圆半径r=23×32a=234.设球的半径为R,球心为O,△ABC外接圆的圆心为O1,如图,OO1=𝑅2-𝑟2=42-(23)2=2.当点D,O,O1在同一直线上,且点D,O1在点O两侧时,三棱锥D-ABC的体积最大,此时VD-ABC=13S△ABC·(R+OO1)=13×93×6=183.故选B.答案解析关闭B-16-一、选择题二、填空题13.(2019北京卷,理11)某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得,其三视图如图所示.如果网格纸上小正方形的边长为1,那么该几何体的体积为.答案解析解析关闭在正方体中还原该几何体,如图所示.该几何体的体积V=43-12×(2+4)×2×4=40.答案解析关闭40-17-一、选择题二、填空题14.(2019江苏卷,9)如图,长方体ABCD-A1B1C1D1的体积是120,E为CC1的中点,则三棱锥E-BCD的体积是.答案解析解析关闭∵长方体ABCD-A1B1C1D1的体积为120,∴AB·BC·CC1=120.∵E为CC1的中点,CC1⊥底面ABCD,∴CE为三棱锥E-BCD的底面BCD上的高,CE=12CC1,∴VE-BCD=13×12CD·BC·CE=13×12AB·BC·12CC1=112AB·BC·CC1=112×120=10.答案解析关闭10-18-一、选择题二、填空题15.(2019全国卷3,理16)学生到工厂劳动实践,利用3D打印技术制作模型.如图,该模型为长方体ABCD-A1B1C1D1挖去四棱锥O-EFGH后所得的几何体,其中O为长方体的中心,E,F,G,H分别为所在棱的中点,AB=BC=6cm,AA1=4cm.3D打印所用原料密度为0.9g/cm3.不考虑打印损耗,制作该模型所需原料的质量为g.答案解析解析关闭由题意得,四棱锥O-EFGH的底面积为4×6-4×12×2×3=12(cm2),点O到平面BB1C1C的距离为3cm,则此四棱锥的体积为V1=13×12×3=12(cm3).又长方体ABCD-A1B1C1D1的体积为V2=4×6×6=144(cm3),则该模型的体积为V=V2-V1=144-12=132(cm3).故其质量为0.9×132=118.8(g).答案解析关闭118.8-19-一、选择题二、填空题16.已知圆锥的顶点为S,母线SA,SB所成角的余弦值为78,SA与圆锥底面所成的角为45°.若△SAB的面积为515.则该圆锥的侧面积为.答案解析解析关闭设O为底面圆的圆心.连接OA,SO.∵cos∠ASB=78,∴sin∠ASB=1-782=158.∴S△ASB=12×AS·BS·sin∠ASB=515.∴SA2=80.∴SA=45.∵SA与圆锥底面所成的角为45°,SO垂直底面,∴SO=OA=22SA=210.∴S圆锥侧=π×210×45=402π.答案解析关闭402π