搜索
4.2.2求数列的通项及前n项和-2-考向一考向二考向三求数列的通项及错位相减求和例1(2019天津卷,文18)设{an}是等差数列,{bn}是等比数列,公比大于0.已知a1=b1=3,b2=a3,b3=4a2+3.(1)求{an}和{bn}的通项公式;(2)设数列{cn}满足求a1c1+a2c2+…+a2nc2n(n∈N*).cn=1,𝑛为奇数,𝑏𝑛2,𝑛为偶数,解(1)设等差数列{an}的公差为d,等比数列{bn}的公比为q.依题意,得3𝑞=3+2𝑑,3𝑞2=15+4𝑑.解得𝑑=3,𝑞=3,故an=3+3(n-1)=3n,bn=3×3n-1=3n.所以,{an}的通项公式为an=3n,{bn}的通项公式为bn=3n.-3-考向一考向二考向三(2)a1c1+a2c2+…+a2nc2n=(a1+a3+a5+…+a2n-1)+(a2b1+a4b2+a6b3+…+a2nbn)=n×3+𝑛(𝑛-1)2×6+(6×31+12×32+18×33+…+6n×3n)=3n2+6(1×31+2×32+…+n×3n).记Tn=1×31+2×32+…+n×3n,①则3Tn=1×32+2×33+…+n×3n+1,②②-①得,2Tn=-3-32-33-…-3n+n×3n+1=-3(1-3𝑛)1-3+n×3n+1=(2𝑛-1)3𝑛+1+32.所以,a1c1+a2c2+…+a2nc2n=3n2+6Tn=3n2+3×(2𝑛-1)3𝑛+1+32=(2𝑛-1)3𝑛+2+6𝑛2+92(n∈N*).-4-考向一考向二考向三解题心得若已知数列为等差或等比数列,求其通项是利用等差、等比数列通项公式,或通过变形转换成等差、等比数列求通项;如果数列{an}与数列{bn}分别是等差数列和等比数列,那么数列{an·bn}的前n项和采用错位相减法来求.-5-考向一考向二考向三对点训练1(2019山东烟台高三3月诊断性测试)已知等差数列{an}的公差是1,且a1,a3,a9成等比数列.(1)求数列{an}的通项公式;(2)求数列𝑎𝑛2𝑎𝑛的前n项和Tn.-6-考向一考向二考向三解(1)因为{an}是公差为1的等差数列,且a1,a3,a9成等比数列,所以𝑎32=a1a9,即(a1+2)2=a1(a1+8),解得a1=1.所以an=a1+(n-1)d=1+(n-1)×1=n.(2)Tn=1×121+2×122+3×123+…+n×12𝑛,12Tn=1×122+2×123+…+(n-1)×12𝑛+n×12𝑛+1,两式相减,得12Tn=121+122+123+…+12𝑛-n×12𝑛+1,所以12Tn=12-12𝑛+11-12-n×12𝑛+1=1-12𝑛−𝑛2𝑛+1.所以Tn=2-2+𝑛2𝑛.-7-考向一考向二考向三求数列的通项及裂项求和例2(2019辽宁丹东高三总复习质量测试)数列{an}中,a1=1,an+1=an+2n+1.(1)求{an}的通项公式;(2)设bn=14𝑎𝑛-1,求数列{bn}的前n项和.-8-考向一考向二考向三解(1)因为an+1=an+2n+1,所以当n≥2时,an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=1+3+…+(2n-1)=n2.由于a1=1满足an=n2,所以{an}的通项公式为an=n2.(2)因为bn=14𝑛2-1=1212𝑛-1−12𝑛+1,所以数列{bn}的前n项和为Tn=b1+b2+…+bn=121-13+13−15+…+12𝑛-1−12𝑛+1=121-12𝑛+1=𝑛2𝑛+1.-9-考向一考向二考向三解题心得对于已知等式中含有an,Sn的求数列通项的题目,一般有两种解题思路,一是消去Sn得到f(an)=0,求出an;二是消去an得到g(Sn)=0,求出Sn,再求an.把数列的通项拆成两项之差,求和时中间的项能够抵消,从而求得其和.注意抵消后所剩余的项一般前后对称.-10-考向一考向二考向三对点训练2已知{an}是公差不为零的等差数列,满足a3=7,且a2,a4,a9成等比数列.(1)求数列{an}的通项公式;(2)设数列{bn}满足bn=an·an+1,求数列的前n项和Sn.1𝑏𝑛-11-考向一考向二考向三解(1)设数列{an}的公差为d,且d≠0,由题意得𝑎42=𝑎2𝑎9,𝑎3=7,即(7+𝑑)2=(7-𝑑)(7+6𝑑),𝑎1+2𝑑=7,解得𝑑=3,𝑎1=1,∴an=3n-2.(2)由(1)得bn=an·an+1=(3n-2)(3n+1),∴1𝑏𝑛=1313𝑛-2-13𝑛+1,Sn=1𝑏1+1𝑏2+…+1𝑏𝑛=131-14+14−17+…+13𝑛-2−13𝑛+1=131-13𝑛+1=𝑛3𝑛+1.-12-考向一考向二考向三求数列的通项及分项求和例3(2019天津卷,理19)设{an}是等差数列,{bn}是等比数列.已知a1=4,b1=6,b2=2a2-2,b3=2a3+4.(1)求{an}和{bn}的通项公式;(2)设数列{cn}满足c1=1,cn=1,2𝑘𝑛2𝑘+1,𝑏𝑘,𝑛=2𝑘,其中k∈N*.①求数列{𝑎2𝑛(𝑐2𝑛-1)}的通项公式;②求∑𝑖=12𝑛aici(n∈N*).-13-考向一考向二考向三解(1)设等差数列{an}的公差为d,等比数列{bn}的公比为q.依题意得6𝑞=6+2𝑑,6𝑞2=12+4𝑑,解得𝑑=3,𝑞=2,故an=4+(n-1)×3=3n+1,bn=6×2n-1=3×2n.所以,{an}的通项公式为an=3n+1,{bn}的通项公式为bn=3×2n.(2)①𝑎2𝑛(𝑐2𝑛-1)=𝑎2𝑛(bn-1)=(3×2n+1)(3×2n-1)=9×4n-1.所以,数列{𝑎2𝑛(𝑐2𝑛-1)}的通项公式为𝑎2𝑛(𝑐2𝑛-1)=9×4n-1.-14-考向一考向二考向三②∑𝑖=12𝑛aici=∑𝑖=12𝑛[ai+ai(ci-1)]=∑𝑖=12𝑛ai+∑𝑖=1𝑛a2i(𝑐2𝑖-1)=2n×4+2𝑛(2𝑛-1)2×3+∑𝑖=1𝑛(9×4i-1)=(3×22n-1+5×2n-1)+9×4(1-4n)1-4-n=27×22n-1+5×2n-1-n-12(n∈N*).-15-考向一考向二考向三解题心得若能把一个数列的通项分成一部分是等差数列通项,另一部分是等比数列,则其前n项和分成了两个数列的前n项和,分别求和后相加即可;同理,若一个数列的前n项和不好求,对其通项变形后,如果能分成两个部分,每一部分的前n项和能求,则问题得到解决.-16-考向一考向二考向三对点训练3已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2an-1(n∈N*).(1)求数列{an}的通项公式;(2)若bn=lgan,求数列{an+bn}的前n项和Tn.-17-考向一考向二考向三解(1)由Sn=2an-1(n∈N),可得S1=2a1-1,∴a1=2a1-1.∴a1=1.∵S2=2a2-1,∴a1+a2=2a2-1,∴a2=2.∵数列{an}是等比数列,∴数列{an}的通项公式为an=2n-1.(2)由(1)知,bn=lgan=(n-1)lg2,∴数列{bn+an}的前n项和Tn=(b1+a1)+(b2+a2)+…+(bn+an)=(0+1)+(lg2+2)+…+[(n-1)·lg2+2n-1]=[lg2+2lg2+…+(n-1)lg2]+(1+2+…+2n-1)∴公比q=𝑎2𝑎1=2,=𝑛(𝑛-1)2lg2+2n-1.