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4.1数列小题专项练-2-1.若数列{an}的前n项和为Sn,则an=𝑆1,𝑛=1,𝑆𝑛-𝑆𝑛-1,𝑛≥2.2.等差数列的通项an=a1+(n-1)d,可推广为an=am+(n-m)d,前n项和Sn=𝑛(𝑎1+𝑎𝑛)2=na1+𝑛(𝑛-1)2d.若m+n=p+q,则am+an=ap+aq.3.等比数列的通项an=a1qn-1,可推广为an=am·qn-m,且m+n=p+q,则am·an=ap·aq;前n项和Sn=𝑛𝑎1,𝑞=1,𝑎1(1-𝑞𝑛)1-𝑞,𝑞≠1.-3-一、选择题二、填空题1.(2019四川广元万达中学、八二一中学高一下学期期中考试)设数列{an}中,已知a1=1,an=1+1𝑎𝑛-1(n1),则a3=()A.85B.53C.32D.2答案解析解析关闭因为a1=1,an=1+1𝑎𝑛-1(n1),所以a2=1+1𝑎1=2,a3=1+1𝑎2=32.故选C.答案解析关闭C-4-一、选择题二、填空题2.(2019四川百校高三模拟冲刺)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且S7=28,则a4=()A.4B.7C.8D.14答案解析解析关闭S7=7(𝑎1+𝑎7)2=7a4=28,故a4=4.故选A.答案解析关闭A-5-一、选择题二、填空题3.(2019四川绵阳高三下学期第三次诊断性考试)已知{an}是正项等比数列,且a1a8=4a5,a4与2a6的等差中项为18,则a5=()A.2B.4C.8D.16答案解析解析关闭设正项等比数列{an}的公比为q,且q0,∵a1a8=4a5,a4与2a6的等差中项为18,∴𝑎12𝑞7=4𝑎1𝑞4,𝑎4+2𝑎6=36,即𝑎12𝑞7=4𝑎1𝑞4,𝑎1(𝑞3+2𝑞5)=36,解得𝑎1=12,𝑞=2,则a5=a1q4=8.故选C.答案解析关闭C-6-一、选择题二、填空题4.(2019东北三省三校高三第三次模拟)等比数列{an}的各项均为正数,a1=1,a1+a2+a3=7,则a3+a4+a5=()A.14B.21C.28D.63答案解析解析关闭设等比数列的公比为q.∵a1=1,a1+a2+a3=7,∴a1(1+q+q2)=1+q+q2=7,即q2+q-6=0,解得q=2或q=-3.又an0,∴q=2.∴a3+a4+a5=q2(a1+a2+a3)=4×7=28.故选C.答案解析关闭C-7-一、选择题二、填空题5.(2019河北保定高三第二次模拟考试)等比数列{an}中,若an0,a2a4=1,a1+a2+a3=7,则公比q=()C.2D.4A.14B.12答案解析解析关闭设等比数列{an}的首项为a1,公比为q,且q0.由题意可得𝑎2𝑎4=𝑎1𝑞·𝑎1𝑞3=1,𝑎1+𝑎2+𝑎3=𝑎1+𝑎1𝑞+𝑎1𝑞2=7,解得q=12.故选B.答案解析关闭B-8-一、选择题二、填空题6.各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn,若S4=10,S12=130,则S8=()A.-30B.40C.40或-30D.40或-50答案解析解析关闭由等比数列的性质,得S4,S8-S4,S12-S8成等比数列,故(S8-10)2=10×(130-S8),整理可得(S8+30)(S8-40)=0,故S8=40.答案解析关闭B-9-一、选择题二、填空题7.(2019内蒙古高三一模)《九章算术》第三章“衰分”介绍比例分配问题:“衰分”是按比例递减分配的意思,通常称递减的比例(百分比)为“衰分比”.如:甲、乙、丙、丁衰分得100,60,36,21.6个单位,递减的比例为40%.今共有粮m(m0)石,按甲、乙、丙、丁的顺序进行“衰分”,已知丙衰分得80石,乙、丁衰分所得的和为164石,则“衰分比”与m的值分别为()A.20%369B.80%369C.40%360D.60%365答案解析解析关闭设“衰分比”为a,甲衰分得b石.由题意得𝑏(1-𝑎)2=80,𝑏(1-𝑎)+𝑏(1-𝑎)3=164,𝑏+80+164=𝑚,解得𝑏=125,𝑎=20%,𝑚=369.故选A.答案解析关闭A-10-一、选择题二、填空题8.已知数列{an}满足an+1-an=2,a1=-5,则|a1|+|a2|+…+|a6|=()A.9B.15C.18D.30答案解析解析关闭∵an+1-an=2,a1=-5,∴数列{an}是公差为2的等差数列.∴an=-5+2(n-1)=2n-7,∴Sn=𝑛(-5+2𝑛-7)2=n2-6n.令an=2n-7≥0,解得n≥72.当n≤3时,|an|=-an;当n≥4时,|an|=an.则|a1|+|a2|+…+|a6|=-a1-a2-a3+a4+a5+a6=S6-2S3=62-6×6-2(32-6×3)=18.答案解析关闭C-11-一、选择题二、填空题9.(2019福建厦门外国语学校高三最后一模)已知公差d≠0的等差数列{an}满足a1=1,且a2,a4-2,a6成等比数列,若正整数m,n满足m-n=10,则am-an=()A.30B.20C.10D.5或40答案解析解析关闭设等差数列的公差为d.因为a2,a4-2,a6成等比数列,所以(𝑎4-2)2=a2a6,即(𝑎1+3𝑑-2)2=(a1+d)(a1+5d),即(3d-1)2=(1+d)(1+5d),解得d=0或d=3.因为公差d≠0,所以d=3.所以am-an=a1+(m-1)d-a1-(n-1)d=(m-n)d=10d=30.故选A.答案解析关闭A-12-一、选择题二、填空题10.当n为正整数时,定义函数N(n)表示n的最大奇因数.如N(3)=3,N(10)=5,…,S(n)=N(1)+N(2)+N(3)+…+N(2n),则S(5)=()A.342B.345C.341D.346答案解析解析关闭由题设知,N(2n)=N(n),N(2n-1)=2n-1,∴S(n)=[1+3+5+…+(2n-1)]+[N(2)+N(4)+N(6)+…+N(2n)]=4n-1+[N(2)+N(4)+N(6)+…+N(2n)],∴S(n)=4n-1+S(n-1)(n≥1).又S1=N(1)=1,∴S(n)=4n-1+4n-2+…+41+40+1=4𝑛+23,∴S(5)=45+23=342.答案解析关闭A-13-一、选择题二、填空题11.已知等差数列{an},{bn},其前n项和分别为Sn,Tn,若𝑆𝑛𝑇𝑛=3𝑛2𝑛+1,则𝑎1+𝑎2+𝑎14+𝑎19𝑏1+𝑏3+𝑏17+𝑏19的值为()A.2719B.1813C.107D.1713答案解析解析关闭由题意,得a1+a2+a14+a19=2(a8+a10)=4a9,同理b1+b3+b17+b19=4b10.∵𝑆𝑛𝑇𝑛=3𝑛2𝑛+1,∴可设Sn=kn×3n=3kn2,Tn=kn×(2n+1).∴a9=S9-S8=3k×17,b10=T10-T9=39k.∴𝑎1+𝑎2+𝑎14+𝑎19𝑏1+𝑏3+𝑏17+𝑏19=𝑎9𝑏10=3𝑘×1739𝑘=1713.答案解析关闭D-14-一、选择题二、填空题12.(2019河南重点高中高三4月联合质量检测)已知数列{an}满足,若b5为数列{bn}中唯一最小项,则实数λ的取值范围是()A.(8,9)B.(8,10)C.(9,10)D.(9,11)a1=-12,2anan+1+an+3an+1+2=0,设bn=𝑛-𝜆𝑎𝑛+1答案解析解析关闭因为2anan+1+an+3an+1+2=0,所以2anan+1+2an+2an+1+2=an-an+1.所以2(an+1)(an+1+1)=(an+A1)-(an+1+1).又因为a1=-12,所以an+1≠0,所以1𝑎𝑛+1+1−1𝑎𝑛+1=2.数列1𝑎𝑛+1为等差数列,且首项为1𝑎1+1=2,公差为2,则1𝑎𝑛+1=2+2(n-1)=2n,所以an=12𝑛-1.所以bn=2n(n-λ)=2n2-2λn,要使b5为数列𝑏𝑛的唯一最小项,则𝜆2∈92,112,所以λ∈(9,11).故选D.答案解析关闭D-15-一、选择题二、填空题13.(2019吉林长春北师大附中高三第四次模拟考试)已知等比数列{an}的前n项和为Sn,满足a1=1,S3=3,则Sn=.答案解析解析关闭由题意知,当q≠1时,S3=𝑎1(1-𝑞3)1-𝑞=(1-𝑞)(1+𝑞+𝑞2)1-𝑞=3,解得q=-2,此时Sn=1-(-2)𝑛3;当q=1时,a1=1,S3=3,满足题意,则此时Sn=n.综上,Sn=1-(-2)𝑛3或Sn=n.答案解析关闭1-(-2)𝑛3或n-16-一、选择题二、填空题14.(2019北京昌平区高三5月综合练习)设数列{an}的前n项和为Sn,且∀n∈N*,an+1an,Sn≥S6.请写出一个满足条件的数列{an}的通项公式an=.答案解析解析关闭∀n∈N*,an+1an,则数列{an}是递增的,∀n∈N*,Sn≥S6,即S6最小,只要前6项均为负数第7项为正数,或前5项为负数第6项为0,即可,所以满足条件的数列{an}的一个通项公式可取an=n-6(n∈N*)(答案不唯一).答案解析关闭n-6(n∈N*)(答案不唯一)-17-一、选择题二、填空题15.设Sn为等差数列{an}的前n项和,若{an}的前2017项中的奇数项的和为2018,则S2017的值为.答案解析解析关闭∵{an}的前2017项中的奇数项的和为2018,∴10092(a1+a2017)=2018,∴a1+a2017=4.因此S2017=20172(a1+a2017)=4034.答案解析关闭4034-18-一、选择题二、填空题16.已知正项数列{an}的前n项和为Sn,若{an}和都是等差数列,且公差相等,则a2=.{𝑆𝑛}答案解析解析关闭设数列{an}的公差为d(d0),又{𝑆𝑛}也是公差为d的等差数列,则𝑆2=2𝑎1+𝑑=𝑎1+d,两边平方得2a1+d=a1+2d𝑎1+d2,①𝑆3=3𝑎1+3𝑑=𝑎1+2d,两边平方得3a1+3d=a1+4d𝑎1+4d2,②②-①得a1=-2d+2d𝑎1+3d2,③把③代入①得d(2d-1)=0.所以d=0或d=12.当d=0时,a1=0,不合题意,当d=12时,代入③解得a1=14.所以a2=a1+d=34.答案解析关闭34