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3.1三角函数小题专项练-2-1.三角函数的定义:已知角α终边上的一点P(x,y),令|OP|=r,则sinα=𝑦𝑟,cosα=𝑥𝑟,tanα=𝑦𝑥(x≠0).2.同角三角函数的基本关系:(1)平方关系cos2α+sin2α=1;(2)商数关系sin𝛼cos𝛼=tanα.-3-3.三角函数的图象与性质(1)正弦函数y=sinx的对称轴方程为x=π2+kπ,k∈Z;余弦函数y=cosx的对称轴方程为x=kπ,k∈Z.正弦函数y=sinx的对称中心为(kπ,0),k∈Z;余弦函数y=cosx的对称中心为π2+𝑘π,0,k∈Z.(2)周期性:f(x)=Asin(ωx+φ)和f(x)=Acos(ωx+φ)的最小正周期为2π|𝜔|;y=Atan(ωx+φ)的最小正周期为π|𝜔|.4.三角函数的图象向左或向右平移φ(φ0)个单位长度,得到的三角函数式为将原式中的x分别变为x+φ和x-φ.-4-一、选择题二、填空题1.(2019河南郑州高三质检,理4)已知cos2019π2+α=12,α∈π2,π,则cosα=()A.12B.-12C.-32D.32答案解析解析关闭因为cos2019π2+α=12,由诱导公式可得,cos2019π2+α=cos3π2+α=sinα=12.又因为α∈π2,π,所以cosα=-1-sin2𝛼=-32,故选C.答案解析关闭C-5-一、选择题二、填空题2.(2019重庆一中高三一模,文10)将函数f(x)=23sin(π-x)·sinx+π2+2sin2x-1图象向左平移φ(φ0)个单位后图象关于点π3,0中心对称,则φ的值可能为()A.π6B.3π4C.7π12D.2π3答案解析解析关闭由题意可得:f(x)=23sin(π-x)sinx+π2+2sin2x-1=3sin2x-cos2x=2sin2x-π6,将函数f(x)图象向左平移φ个单位后,得到y=2sin2x-π6+2φ,又平移后图象关于点π3,0中心对称,所以2×π3−π6+2φ=kπ,k∈Z,因此φ=-π4+𝑘π2,k∈Z.又因为φ0,所以-π4+𝑘π20,k∈Z,即k12,k∈Z.观察4个选项知,当k=2时,φ=3π4.故选B.答案解析关闭B-6-一、选择题二、填空题3.已知函数f(x)=12sin2x+32cos2x,把函数f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再把所得到的曲线向左平移π6个单位长度,得到函数g(x)的图象,则函数g(x)的对称中心是()A.2𝑘π+π6,0,k∈ZB.2𝑘π+π2,0,k∈ZC.𝑘π+π2,0,k∈ZD.𝑘π+π4,0,k∈Z答案解析解析关闭函数f(x)=12sin2x+32cos2x=sin2𝑥+π3.由题意得g(x)=sin𝑥+π2=cosx,所以函数g(x)的对称中心是𝑘π+π2,0,k∈Z.故选C.答案解析关闭C-7-一、选择题二、填空题4.(2019广东潮州高三二模)函数y=2sin(ωx+φ)(ω0,0φπ)的部分图象如图所示,则函数f(x)的单调递增区间为()A.kπ-π6,kπ+π3,k∈ZB.kπ-π3,kπ+π3,k∈ZC.kπ-π3,kπ+π6,k∈ZD.kπ-π6,kπ+π6,k∈Z答案解析解析关闭根据函数y=2sin(ωx+φ)(ω0,0φπ)的部分图象,可得34T=34×2π𝜔=11π12−π6=3π4,解得ω=2.由于点π6,2在函数图象上,可得2sin2×π6+φ=2,可得2×π6+φ=2kπ+π2,k∈Z,解得φ=2kπ+π6,k∈Z,由于0φπ,可得φ=π6,即y=2sin2x+π6.令2kπ-π2≤2x+π6≤2kπ+π2,k∈Z,解得kπ-π3≤x≤kπ+π6,k∈Z,则函数f(x)的单调递增区间为kπ-π3,kπ+π6,k∈Z.故选C.答案解析关闭C-8-一、选择题二、填空题5.(2019天津卷,文7)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A0,ω0,|φ|π)是奇函数,且f(x)的最小正周期为π,将y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),所得图象对应的函数为g(x).若gπ4=2,则f3π8=()A.-2B.-2C.2D.2答案解析解析关闭已知函数为奇函数,且|φ|π,故φ=0.f(x)的最小正周期为π,∴2π𝜔=π.∴ω=2.f(x)=Asin2x.∴g(x)=Asinx.由gπ4=2,得Asinπ4=2,∴A=2.∴f(x)=2sin2x.∴f3π8=2sin3π4=2,故选C.答案解析关闭C-9-一、选择题二、填空题6.已知A,B,C,D是函数y=sin(ωx+φ)ω0,0φπ2在一个周期内的图象上的四个点,如图所示,A-π6,0,B为y轴上的点,C为图象上的最低点,E为该图象的一个对称中心,B与D关于点E对称,𝐶𝐷在x轴上的投影为π12,则()A.ω=2,φ=π3B.ω=2,φ=π6C.ω=12,φ=π3D.ω=12,φ=π6答案解析解析关闭由题意可知𝑇4=π6+π12=π4,∴T=π,ω=2ππ=2.又sin2-π6+φ=0,0φπ2,∴φ=π3,故选A.答案解析关闭A-10-一、选择题二、填空题7.(2019四川双流中学高三一模)已知函数y=2tanωx+π3的最小正周期为π2,将函数y=2sinωx+π6(ω0)的图象沿x轴向右平移π4个单位,得到函数y=f(x)的图象,则函数f(x)在-π4,π4的值域为()A.[-3,2]B.[-2,2]C.[-1,1]D.[-2,1]答案解析解析关闭因为函数y=2tanωx+π3的最小正周期为π2,所以T=π|𝜔|=π2(ω0),解得ω=2,函数y=2sin2x+π6的图象沿x轴向右平移π4个单位,得到函数y=f(x)的图象,所以有y=f(x)=2sin2x-π4+π6=2sin2x-π3.∵x∈-π4,π4,∴2x-π3∈-56π,π6,∴sin2x-π3∈-1,12,因此函数f(x)在-π4,π4的值域为[-2,1],故选D.答案解析关闭D-11-一、选择题二、填空题8.(2019全国卷1,理11)关于函数f(x)=sin|x|+|sinx|有下述四个结论:①f(x)是偶函数②f(x)在区间内单调递增③f(x)在[-π,π]有4个零点④f(x)的最大值为2其中所有正确结论的编号是()A.①②④B.②④C.①④D.①③π2,π答案解析解析关闭因为函数f(x)的定义域为R,关于原点对称,且f(-x)=sin|-x|+|sin(-x)|=sin|x|+|sinx|=f(x),所以f(x)为偶函数,故①正确;当π2xπ时,f(x)=2sinx,它在区间π2,π内单调递减,故②错误;当0≤x≤π时,f(x)=2sinx,它有两个零点0和π;当-π≤x≤0时,f(x)=sin(-x)-sinx=-2sinx,它有两个零点-π和0.故f(x)在区间[-π,π]上有3个零点-π,0和π,故③错误;当x∈[2kπ,2kπ+π](k∈N*)时,f(x)=2sinx;当x∈(2kπ+π,2kπ+2π](k∈N*)时,f(x)=sinx-sinx=0.又f(x)为偶函数,所以f(x)的最大值为2,故④正确;综上可知①④正确,故选C.答案解析关闭C-12-一、选择题二、填空题9.(2019山东淄博部分学校高三段考,文11)若f(x)=cosx-sinx在-𝑚2,2m上是减函数,则m的最大值是()A.π8B.π4C.π2D.3π8答案解析解析关闭∵f(x)=cosx-sinx,∴f(x)=2cosx+π4.令2kπ≤x+π4≤2kπ+π(k∈Z),解得2kπ-π4≤x≤2kπ+3π4(k∈Z),则函数f(x)的单调减区间为𝑥|2𝑘π-π4≤𝑥≤2𝑘π+3π4(𝑘∈Z).∵f(x)在-𝑚2,2m上是减函数,则m0,当k=0时,函数f(x)的单调减区间为𝑥|-π4≤𝑥≤3π4,∴-𝑚2≥-π4,2𝑚≤3π4,解得0m≤3π8,故选D.答案解析关闭D-13-一、选择题二、填空题10.(2019全国卷2,理9)下列函数中,以π2为周期且在区间π4,π2单调递增的是()A.f(x)=|cos2x|B.f(x)=|sin2x|C.f(x)=cos|x|D.f(x)=sin|x|答案解析解析关闭y=|cos2x|的图象为,由图知y=|cos2x|的周期为π2,且在区间π4,π2内单调递增,符合题意;y=|sin2x|的图象为,由图知它的周期为π2,但在区间π4,π2内单调递减,不符合题意;因为y=cos|x|=cosx,所以它的周期为2π,不符合题意;y=sin|x|的图象为,由图知其不是周期函数,不符合题意.故选A.答案解析关闭A-14-一、选择题二、填空题11.已知函数f(x)=2cosx·(sinx-cosx)+1的定义域为[a,b],值域为-2,22,则b-a的值不可能是()A.5π12B.π2C.7π12D.π答案解析解析关闭f(x)=2cosx(sinx-cosx)+1=2sinxcosx-2cos2x+1=2sin2x-π4,∵a≤x≤b,∴2a-π4≤2x-π4≤2b-π4,又-2≤2sin2𝑥-π4≤22,即-1≤sin2𝑥-π4≤12,在正弦函数y=sinx的一个周期内,要满足上式,则(2b-2a)max=π6−-7π6=4π3,(2b-2a)min=π6−-π2=2π3,故π3≤b-a≤2π3,故b-a的值不可能是π,故选D.答案解析关闭D-15-一、选择题二、填空题12.(2019全国卷3,理12)设函数f(x)=sin𝜔𝑥+π5(ω0),已知f(x)在[0,2π]有且仅有5个零点,下述四个结论:①f(x)在(0,2π)有且仅有3个极大值点②f(x)在(0,2π)有且仅有2个极小值点其中所有正确结论的编号是()A.①④B.②③C.①②③D.①③④③f(x)在0,π10单调递增④ω的取值范围是125,2910答案解析解析关闭∵f(x)=sin𝜔𝑥+π5(ω0)在区间[0,2π]上有且仅有5个零点,∴5π≤2πω+π56π,解得125≤𝜔2910,故④正确.画出f(x)的图象(图略),由图易知①正确,②不正确.当0xπ10时,π5ωx+π5𝜔π10+π5,又125≤𝜔2910,∴𝜔π10+π529π100+20π100=49π100π2,∴③正确.综上可知①③④正确.故选D.答案解析关闭D-16-一、选择题二、填空题13.若函数y=sinωx在区间[0,2π]上单调递增,则实数ω的取值范围是.答案解析解析关闭由y=sinωx,知其图象过原点,若ω0,则函数在区间[0,2π]上不可能单调递增,∴ω0.由题意,ωx∈[0,2ωπ]⊂-π2,π2,∴02ωπ≤π2,即0𝜔≤14.答案解析关闭0,14-17-一、选择题二、填空题14.设函数f(x)=cos𝜔𝑥-π6(ω0).若f(x)≤fπ4对任意的实数x都成立,则ω的最小值为.答案解析解析关闭∵对任意x∈R都有f(x)≤fπ4,∴fπ4=1,即cos𝜔·π4-π6=1.∴𝜔π4−π6=2kπ,k∈Z.∵ω0,∴当k=0时,ω取得最小值,即𝜔π4=π6,ω=23.故ω的最小值为23.答案解析关闭23-18-一、选择题二、填空题15.(2019全国卷1,文15)函数f(x)=sin2𝑥+3π2-3cosx的最小值为.答案解析解析关闭f(x)=sin2𝑥+3π2-3cosx=-cos2x-3cosx=-2cos2x-3cosx+1=-2cos𝑥+342+178.∵-1≤cosx≤1,∴当cosx=1时,f(x)min=-4.故函数f(x)的最小值是-4.答案解析关闭-4-19-一、选择题二、填空题16.(2019河北衡水高三模拟,文15)已知函数f(x)=2sin2x+π6,若实数x1,x2满足x1-x2≠π2+kπ,k∈Z,f(