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第1讲等差数列与等比数列近五年高考试题统计与命题预测年份卷别题号考查角度命题预测2019Ⅰ9,14等差、等比数列的通项公式及前n项和公式从题量上看,通常是1~2道考查等差数列与等比数列的客观题(5分/题),或1道等差数列与等比数列的主观题(12分);从题序上看,客观题属于中等偏易的题目;主观题处在17题的位置,相对简单;从命题特点上看,等差数列、等比数列的判定及其通项公式在考查基本运算、基本概念的同时,也注重对函数与方程、等价转化、分类讨论等数学思想的考查;对等差数列、等比数列的性质考查主要是求解数列的等差中项、等比中项、通项公式和前n项和的最大、最小值等问题.Ⅱ19等差、等比数列的证明与综合Ⅲ5,14等比数列基本量的计算;等差数列基本量的计算2018Ⅰ4,14等差数列基本量的计算;an与Sn关系的应用Ⅱ17等差数列基本量的计算、和的最值问题Ⅲ17等比数列的通项公式及前n项和公式年份卷别题号考查角度命题预测2017Ⅰ4等差数列的通项公式、前n项和公式Ⅱ3等比数列的概念、前n项和公式、数学文化Ⅲ9,14等差数列的前n项和公式、通项公式及等比中项;等比数列的通项公式2016Ⅰ3,15等差数列的基本运算;等比数列的运算Ⅱ——Ⅲ——2015Ⅰ——Ⅱ4等比数列的通项及求和1.(2019全国Ⅰ,理9)记Sn为等差数列{an}的前n项和.已知S4=0,a5=5,则()A.an=2n-5B.an=3n-10C.Sn=2n2-8nD.Sn=n2-2n答案:A12解析:由题意可知,𝑆4=4𝑎1+4×32·𝑑=0,𝑎5=𝑎1+4𝑑=5,解得𝑎1=-3,𝑑=2.故an=2n-5,Sn=n2-4n,故选A.2.(2019全国Ⅲ,理5)已知各项均为正数的等比数列{an}的前4项和为15,且a5=3a3+4a1,则a3=()A.16B.8C.4D.2解析:设等比数列{an}的公比为q(q0),所以a3=a1q2=1×22=4.故选C.答案:C则𝑎1(1-𝑞4)1-𝑞=15,𝑎1𝑞4=3𝑎1𝑞2+4𝑎1,解得𝑎1=1,𝑞=2,3.(2019全国Ⅰ,理14)记Sn为等比数列{an}的前n项和.若a1=13,𝑎42=a6,则S5=.解析:设等比数列{an}的公比为q,则a4=a1q3=13q3,a6=a1q5=13q5.∵𝑎42=a6,∴19q6=13q5.∵q≠0,∴q=3.∴S5=𝑎1(1-𝑞5)1-𝑞=13(1-35)1-3=1213.答案:12134.(2019全国Ⅲ,理14)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a1≠0,a2=3a1,则𝑆10𝑆5=.解析:设等差数列{an}的公差为d.∵a1≠0,a2=3a1,∴a1+d=3a1,即d=2a1.∴𝑆10𝑆5=10𝑎1+10×92𝑑5𝑎1+5×42𝑑=100𝑎125𝑎1=4.答案:45.(2019北京,理10)设等差数列{an}的前n项和为Sn.若a2=-3,S5=-10,则a5=,Sn的最小值为.解析:等差数列{an}中,由S5=5a3=-10,得a3=-2,又a2=-3,公差d=a3-a2=1,a5=a3+2d=0,由等差数列{an}的性质得当n≤5时,an≤0,当n≥6时,an大于0,所以Sn的最小值为S4或S5,即为-10.答案:0-106.(2019江苏,8)已知数列{an}(n∈N*)是等差数列,Sn是其前n项和.若a2a5+a8=0,S9=27,则S8的值是.解析:∵{an}为等差数列,设公差为d,a2a5+a8=0,S9=27,整理②得a1+4d=3,即a1=3-4d,③把③代入①解得d=2,∴a1=-5.∴S8=8a1+28d=16.答案:16∴(𝑎1+𝑑)(𝑎1+4𝑑)+𝑎1+7𝑑=0,①9𝑎1+9×82𝑑=27,②一、等差、等比数列的基本运算1.通项公式等差数列:an=a1+(n-1)d;等比数列:an=a1·qn-1.2.求和公式等差数列:Sn=𝑛(𝑎1+𝑎𝑛)2=na1+𝑛(𝑛-1)2d;等比数列:Sn=𝑎1(1-𝑞𝑛)1-𝑞=𝑎1-𝑎𝑛𝑞1-𝑞(q≠1),或Sn=na1(q=1).3.性质等差数列等比数列性质若m,n,p,q∈N*,且m+n=p+q,则am+an=ap+aq若m,n,p,q∈N*,且m+n=p+q,则am·an=ap·aqan=am+(n-m)dan=amqn-mSm,S2m-Sm,S3m-S2m,…仍成等差数列Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…仍成等比数列(此时{an}的公比q≠-1)二、等差、等比数列的判定与证明证明数列{an}是等差数列或等比数列的方法(1)证明数列{an}是等差数列的两种基本方法:①利用定义,证明an+1-an(n∈N*)为一常数;②利用等差中项,即证明2an=an-1+an+1(n≥2).(2)证明{an}是等比数列的两种基本方法:①利用定义,证明𝑎𝑛+1𝑎𝑛(n∈N*)为一常数;②利用等比中项,即证明𝑎𝑛2=an-1an+1(n≥2).考点1考点2考点3等差、等比数列基本运算(基本元思想)例1(1)(2018全国Ⅰ,理4)记Sn为等差数列{an}的前n项和,若3S3=S2+S4,a1=2,则a5=()A.-12B.-10C.10D.12(2)(2019天津和平区质检)已知等比数列{an}满足a1=1,a3·a5=4(a4-1),则a7的值为()A.2B.4C.D.6(3)(2018全国Ⅱ,理17)记Sn为等差数列{an}的前n项和,已知a1=-7,S3=-15.①求{an}的通项公式;②求Sn,并求Sn的最小值.92考点1考点2考点3(1)解析:因为3S3=S2+S4,所以3S3=(S3-a3)+(S3+a4),即S3=a4-a3.设公差为d,则3a1+3d=d,又由a1=2,得d=-3,所以a5=a1+4d=-10.答案:B(2)解析:根据等比数列的性质,得a3a5=,∴=4(a4-1),即(a4-2)2=0,解得a4=2.又∵a1=1,a1a7==4,∴a7=4.答案:B(3)解:①设{an}的公差为d,由题意得3a1+3d=-15.由a1=-7得d=2.所以{an}的通项公式为an=2n-9.②由①得Sn=n2-8n=(n-4)2-16.所以当n=4时,Sn取得最小值,最小值为-16.𝑎42𝑎42𝑎42考点1考点2考点3考点1考点2考点3对应训练1(1)(2018北京,理9)设{an}是等差数列,且a1=3,a2+a5=36,则{an}的通项公式为.(2)等比数列{an}中各项均为正数,Sn是其前n项和,且满足2S3=8a1+3a2,a4=16,则S4=()A.9B.15C.18D.30(3)(2018全国Ⅲ,理17)等比数列{an}中,a1=1,a5=4a3.①求{an}的通项公式;②记Sn为{an}的前n项和,若Sm=63,求m.考点1考点2考点3(1)解析:∵{an}为等差数列,设公差为d,∴a2+a5=2a1+5d=36.∵a1=3,∴d=6.∴an=3+(n-1)×6=6n-3.答案:an=6n-3(2)解析:设数列{an}的公比为q(q0),答案:D则2𝑆3=2(𝑎1+𝑎1𝑞+𝑎1𝑞2)=8𝑎1+3𝑎1𝑞,𝑎1𝑞3=16,解得q=2,a1=2,所以S4=2(1-24)1-2=30.考点1考点2考点3(3)解:①设{an}的公比为q,由题设得an=qn-1.由已知得q4=4q2,解得q=0(舍去),q=-2或q=2.故an=(-2)n-1或an=2n-1.由Sm=63得(-2)m=-188,此方程没有正整数解.若an=2n-1,则Sn=2n-1.由Sm=63得2m=64,解得m=6.综上,m=6.②若an=(-2)n-1,则Sn=1-(-2)𝑛3.考点1考点2考点3等差、等比数列的判定与证明例2(1)(2018全国Ⅰ,理14)记Sn为数列{an}的前n项和.若Sn=2an+1,则S6=.(2)(2018全国Ⅰ,文17)已知数列{an}满足a1=1,nan+1=2(n+1)an.设①求b1,b2,b3;②判断数列{bn}是否为等比数列,并说明理由;③求{an}的通项公式.(3)(2019广东省级名校联考)已知Sn是数列{an}的前n项和,且满足Sn-2an=n-4.①证明:{Sn-n+2}为等比数列;②求数列{Sn}的前n项和Tn.bn=𝑎𝑛𝑛.考点1考点2考点3(1)解析:∵Sn=2an+1,①∴Sn-1=2an-1+1(n≥2).②①-②,得an=2an-2an-1,即an=2an-1(n≥2).又S1=2a1+1,∴a1=-1.答案:-63∴{an}是以-1为首项,2为公比的等比数列,则S6=-1(1-26)1-2=-63.考点1考点2考点3(2)解:①由条件可得an+1=2(𝑛+1)𝑛an.将n=1代入得,a2=4a1,而a1=1,所以a2=4.将n=2代入得,a3=3a2,所以a3=12.从而b1=1,b2=2,b3=4.②{bn}是首项为1,公比为2的等比数列.由条件可得𝑎𝑛+1𝑛+1=2𝑎𝑛𝑛,即bn+1=2bn,又b1=1,所以{bn}是首项为1,公比为2的等比数列.③由②可得𝑎𝑛𝑛=2n-1,所以an=n·2n-1.考点1考点2考点3(3)①证明:因为an=Sn-Sn-1(n≥2),所以Sn-2(Sn-Sn-1)=n-4(n≥2),则Sn=2Sn-1-n+4(n≥2),所以Sn-n+2=2[Sn-1-(n-1)+2](n≥2),又由题意知a1-2a1=-3,所以a1=3,则S1-1+2=4,所以{Sn-n+2}是首项为4,公比为2的等比数列.②解:由①知Sn-n+2=2n+1,所以Sn=2n+1+n-2,于是Tn=(22+23+…+2n+1)+(1+2+…+n)-2n=4(1-2𝑛)1-2+𝑛(𝑛+1)2-2n=2𝑛+3+𝑛2-3𝑛-82.考点1考点2考点3考点1考点2考点3对应训练2(1)(2016浙江,理6)如图,点列{An},{Bn}分别在某锐角的两边上,且|AnAn+1|=|An+1An+2|,An≠An+2,n∈N*,|BnBn+1|=|Bn+1Bn+2|,Bn≠Bn+2,n∈N*.(P≠Q表示点P与Q不重合)若dn=|AnBn|,Sn为△AnBnBn+1的面积,则()(2)(2016全国Ⅲ,理17)已知数列{an}的前n项和Sn=1+λan,其中λ≠0.①证明{an}是等比数列,并求其通项公式;A.{Sn}是等差数列B.{𝑆𝑛2}是等差数列C.{dn}是等差数列D.{𝑑𝑛2}是等差数列②若S5=3132,求λ.考点1考点2考点3(1)解析:如图,延长AnA1,BnB1交于P,过An作对边BnBn+1的垂线,其长度记为h1,过An+1作对边Bn+1Bn+2的垂线,其长度记为h2,设此锐角为θ,则h2=|PAn+1|sinθ,h1=|PAn|sinθ,∴h2-h1=sinθ(|PAn+1|-|PAn|)=|AnAn+1|sinθ.∴Sn+1-Sn=|BnBn+1||AnAn+1|sinθ.∵|BnBn+1|,|AnAn+1|,sinθ均为定值,∴Sn+1-Sn为定值.∴{Sn}是等差数列.故选A.答案:A则Sn=12|BnBn+1|×h1,Sn+1=12|Bn+1Bn+2|×h2.∴Sn+1-Sn=12|Bn+1Bn+2|h2-12|BnBn+1|h1.∵|BnBn+1|=|Bn+1Bn+2|,∴Sn+1-Sn=12|BnBn+1|(h2-h1).12考点1考点2考点3(2)解:①(等比数列的定义与通项公式)由题意得a1=S1=1+λa1,故λ≠1,a1=11-𝜆,a1≠0.由Sn=1+λan,Sn+1=1+λan+1得an+1=λan+1-λan,即an+1(λ-1)=λan.由a1≠0,λ≠0得an≠0,所以𝑎𝑛+1𝑎𝑛=𝜆𝜆-1.因此{an}是首项为