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7.3直线、圆、圆锥曲线小综合题专项练-2-1.直线与圆的位置关系根据圆心到直线的距离与圆的半径大小关系判定.2.圆与圆的位置关系有五种,即内含、内切、相交、外切、外离.判定方法是利用两圆心之间的距离与两圆半径的和、差关系.3.焦半径公式点M(x,y)在右支上,|PF1|=ex+a,|PF2|=ex-a;点M(x,y)在左支上,|PF1|=-(ex+a),|PF2|=-(ex-a).(1)设M(x,y)是椭圆𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(ab0)上的一点,其焦点为F1(-c,0),F2(c,0),则|MF1|=a+ex,|MF2|=a-ex(其中e是离心率).(2)设M(x,y)是双曲线𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(a0,b0)上的一点,其焦点为F1(-c,0),F2(c,0),e为双曲线的离心率.-3-(3)已知抛物线y2=2px(p0),C(x1,y1),D(x2,y2)为抛物线上的点,F为焦点.①焦半径|CF|=x1+𝑝2;②过焦点的弦长|CD|=x1+x2+p;③x1x2=𝑝24,y1y2=-p2.4.椭圆与双曲线中点弦斜率公式及其推论(1)设M(x,y)是椭圆𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(ab0)弦AB(AB不平行于y轴)的中点,则有kAB·kOM=-𝑏2𝑎2;(2)设M(x,y)是双曲线𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(a0,b0)弦AB(AB不平行于y轴)的中点,则有kAB·kOM=𝑏2𝑎2.-4-5.过圆及圆锥曲线上一点的切线方程(1)过圆x2+y2=r2上一点M(x0,y0)的切线方程为x0x+y0y=r2;(2)过圆(x-a)2+(y-b)2=r2上一点M(x0,y0)的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2;(3)过曲线C:Ax2+By2+Dx+Ey+F=0上的一点P(x0,y0)的切线方程为Ax0x+By0y+D·𝑥0+𝑥2+E·𝑦0+𝑦2+F=0.-5-一、选择题二、填空题1.(2019福建龙岩(漳州)高三5月月考)双曲线𝑥25−𝑦210=1的渐近线方程为()A.y=±12xB.y=±22xC.y=±2xD.y=±2x答案解析解析关闭双曲线𝑥25−𝑦210=1的渐近线方程为𝑥25−𝑦210=0,整理,得y2=2x2,解得y=±2x.故选C.答案解析关闭C-6-一、选择题二、填空题2.(2019甘肃兰州高考一诊)若双曲线𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(a0,b0)的实轴长为4,离心率为3,则其虚轴长为()A.82B.42C.22D.463答案解析解析关闭根据题意,若双曲线𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(a0,b0)的实轴长为4,即2a=4,则a=2.又由双曲线的离心率为3,则e=𝑐𝑎=3,则c=23.则b=𝑐2-𝑎2=22.则该双曲线的虚轴长2b=42.故选B.答案解析关闭B-7-一、选择题二、填空题3.抛物线y2=2px(p0)的焦点为圆x2+y2-6x=0的圆心,过圆心且斜率为2的直线l与抛物线相交于M,N两点,则|MN|=()A.30B.25C.20D.15答案解析解析关闭圆x2+y2-6x=0的圆心(3,0),焦点F(3,0),抛物线y2=12x,设M(x1,y1),N(x2,y2),直线l的方程为y=2x-6,联立𝑦2=12𝑥,𝑦=2𝑥-6,化为x2-9x+9=0,∴x1+x2=9,∴|MN|=x1+x2+p=9+6=15,故选D.答案解析关闭D-8-一、选择题二、填空题4.(2019广东韶关高考模拟测试)已知圆C:x2+y2-4x+3=0,则圆C关于直线y=-x-4的对称圆的方程是()A.(x+4)2+(y+6)2=1B.(x+6)2+(y+4)2=1C.(x+5)2+(y+7)2=1D.(x+7)2+(y+5)2=1答案解析解析关闭根据题意,设要求圆的圆心为C',其坐标为(a,b),圆C:x2+y2-4x+3=0,即(x-2)2+y2=1,故其圆心为(2,0),半径r=1,C与C'关于直线y=-x-4对称,则有𝑏-0𝑎-2=1,𝑏2=-𝑎-22-4,解得𝑎=-4,𝑏=-6,则要求圆的圆心为(-4,-6),半径r'=1,其方程为(x+4)2+(y+6)2=1.故选A.答案解析关闭A-9-一、选择题二、填空题5.已知椭圆C:𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(ab0)的左、右顶点分别为A1,A2,且以线段A1A2为直径的圆与直线bx-ay+2ab=0相切,则C的离心率为()A.63B.33C.23D.13答案解析解析关闭以线段A1A2为直径的圆的方程是x2+y2=a2.因为直线bx-ay+2ab=0与圆x2+y2=a2相切,所以圆心到该直线的距离d=2𝑎𝑏𝑏2+𝑎2=a,整理,得a2=3b2,即a2=3(a2-c2),所以𝑐2𝑎2=23,从而e=𝑐𝑎=63.故选A.答案解析关闭A-10-一、选择题二、填空题6.(2019北京丰台区高三年级第二学期综合练习二)已知A(2,3),B(-1,2),若点P(x,y)在线段AB上,则𝑦𝑥-3的最大值为()A.1B.35C.-12D.-3答案解析解析关闭设Q(3,0),则kAQ=3-02-3=-3,kBQ=2-0-1-3=-12.点P(x,y)是线段AB上的任意一点,∴𝑦𝑥-3的取值范围是-3,-12.故𝑦𝑥-3的最大值为-12.故选C.答案解析关闭C-11-一、选择题二、填空题7.已知F2,F1是双曲线𝑦2𝑎2−𝑥2𝑏2=1(a0,b0)的上、下焦点,点F2关于渐近线的对称点恰好落在以F1为圆心,|OF1|为半径的圆上,则双曲线的离心率为()A.3B.3C.2D.2答案解析解析关闭由题意,F1(0,-c),F2(0,c),一条渐近线方程为y=𝑎𝑏x,则F2到渐近线的距离为𝑏𝑐𝑎2+𝑏2=b.设F2关于渐近线的对称点为M,F2M与渐近线交于A,∴|MF2|=2b,A为F2M的中点,又O是F1F2的中点,∴OA∥F1M,∴∠F1MF2为直角,∴△MF1F2为直角三角形,∴由勾股定理得4c2=c2+4b2,∴3c2=4(c2-a2),∴c2=4a2,∴c=2a,∴e=2.故选C.答案解析关闭C-12-一、选择题二、填空题8.已知双曲线𝑥29−𝑦2𝑏2=1(b0)的左顶点为A,虚轴长为8,右焦点为F,且☉F与双曲线的渐近线相切,若过点A作☉F的两条切线,切点分别为M,N,则|MN|=()A.8B.42C.23D.43答案解析解析关闭∵2b=8,∴b=4,∵A(-3,0),∴F(5,0).∵F到双曲线的渐近线bx-ay=0的距离d=|𝑏𝑐|𝑎2+𝑏2=b,∴☉F:(x-5)2+y2=16,设MN交x轴于点E,则FE=423+5=2.∴AE=8-2=6,ME2=AE×EF=12.∴MN=2ME=43,故选D.答案解析关闭D-13-一、选择题二、填空题9.已知抛物线y2=4x,过焦点F作直线与抛物线交于点A,B(点A在x轴下方),点A1与点A关于x轴对称,若直线AB的斜率为1,则直线A1B的斜率为()A.33B.3C.22D.2答案解析解析关闭∵抛物线y2=4x上的焦点F(1,0),设A(x1,y1),B(x2,y2),A1(x1,-y1),则可设直线AB的方程为y=x-1,联立方程𝑦=𝑥-1,𝑦2=4𝑥,可得x2-6x+1=0,则有x1+x2=6,x1x2=1,直线A1B的斜率k=𝑦2-(-𝑦1)𝑥2-𝑥1=𝑦2+𝑦1𝑥2-𝑥1=𝑥1+𝑥2-2(𝑥1+𝑥2)2-4𝑥1𝑥2=22,∴直线A1B的斜率为22,故选C.答案解析关闭C-14-一、选择题二、填空题10.(2019安徽蚌埠高三年级第一次教学质量检查)已知F1,F2是椭圆𝑥24+𝑦23=1的左、右焦点,点M的坐标为-1,32,则∠F1MF2的角平分线所在直线的斜率为()A.-2B.-1C.-3D.-2答案解析解析关闭∵M-1,32,F1,F2是椭圆𝑥24+𝑦23=1的左、右焦点,F1(-1,0),∴MF1⊥x轴,∴|MF1|=32,|MF2|=52.故点F2(1,0)关于∠F1MF2的角平分线l对称的点F在线段MF1的延长线上.又|MF|=|MF2|=52,∴|FF1|=1,∴F(-1,-1),线段FF2的中点0,-12,∠F1MF2的角平分线l的斜率k=32-(-12)-1-0=-2.故选A.答案解析关闭A-15-一、选择题二、填空题11.(2019江西南昌高三二模考试)唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说:“白日登山望烽火,黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题,即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发,先到河边饮马后再回到军营,怎样走才能使总路程最短?在平面直角坐标系中,设军营所在区域为x2+y2≤1,若将军从点A(2,0)处出发,河岸线所在直线方程为x+y=3,并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营,则“将军饮马”的最短总路程为()A.10-1B.22-1C.22D.10答案解析解析关闭设点A关于直线x+y=3的对称点为A'(a,b),AA'的中点为𝑎+22,𝑏2,kAA'=𝑏𝑎-2,故𝑏𝑎-2·(-1)=-1,𝑎+22+𝑏2=3,解得𝑎=3,𝑏=1.要使从点A到军营总路程最短,即为求点A'到军营最短的距离,故“将军饮马”的最短总路程为32+12-1=10-1.故选A.答案解析关闭A-16-一、选择题二、填空题12.(2019山东济宁高三二模)已知抛物线y2=8x的焦点为F,过点F的直线与该抛物线交于A、B两点,且16≤|AB|≤24,O为坐标原点,记直线OA,OB的斜率分别为k1,k2,则1𝑘1+1𝑘2的取值范围是()A.[-2,-2]∪[2,2]B.[-2,-1]∪[1,2]C.[-2,-1]∪[1,2]D.[-2,2]答案解析解析关闭对于一般的抛物线方程y2=2px,设过焦点的直线方程为x=my+𝑝2,与抛物线方程联立,可得y2-2pmy-p2=0,设A𝑦122𝑝,y1,B𝑦222𝑝,y2,故y1+y2=2pm.则1𝑘1+1𝑘2=𝑦122𝑝·1𝑦1+𝑦222𝑝·1𝑦2=2𝑝𝑚2𝑝=m=1𝑘,其中k为直线AB的斜率,由抛物线的焦点弦公式可知:|AB|=2𝑝sin2𝜃=8sin2𝜃∈[16,24],则sin2θ∈13,12,tan2θ=1cos2𝜃-1=11-sin2𝜃-1∈12,1,故1𝑘1+1𝑘22∈[1,2],故1𝑘1+1𝑘2的取值范围是[-2,-1]∪[1,2].故选B.答案解析关闭B-17-一、选择题二、填空题13.直线y=x+1与圆x2+y2+2y-3=0交于A,B两点,则|AB|=.答案解析解析关闭圆的方程可化为x2+(y+1)2=4,故圆心C(0,-1),半径r=2,圆心到直线y=x+1的距离d=|0-(-1)+1|2=2,所以弦长|AB|=2𝑟2-𝑑2=24-2=22.答案解析关闭22-18-一、选择题二、填空题14.(2019河北衡水四月大联考)已知圆C:(x-)2+y2=r2(r0)与双曲线E:x2-y2=1的渐近线相切,则r=.2答案解析解析关闭双曲线E的渐近线方程为x±y=0.依题意,得21+1=r,即r=1.答案解析关闭1-19-一、选择题二、填空题15.(2019河南八市重点高中联盟高三5月领军考试)已知直线l1:x-2y-3=0,抛物线C:y2=4x,若过点(0,1)与直线l1垂直的直线l2与抛物线C交于M,N两点,则|MN|=.答案解析解析关闭依题意,设直线l2的方程为2x+y+m=0.将点(0,1)代入,解得m=-1,故直线l2:2x+y-1=0.联立2𝑥+𝑦-1=0,𝑦2=4𝑥,整理得y2+2y-2=0,所以|MN|=1+(1𝑘)2·|y1-y2|=1+(1𝑘)2·(𝑦1+𝑦2)2-4𝑦1𝑦2=1