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7.2热点小专题三圆锥曲线的离心率-2-一、考情分析近几年高考对于圆锥曲线的离心率的考查,特别是直接求离心率问题为高频考点,其中,一般以椭圆或双曲线为载体,主要考查直接求解离心率或离心率的取值范围问题,或通过离心率求解参数或参数的取值范围,在高考中题型以选择题或填空题为主,基本上都是中等难度的试题.要求学生有较强的推理论证能力和准确的计算能力以及数形结合的数学思想,教学中要注重对学生直观想象,数学运算和数学建模等核心素养的培养.-3-二、必备知识整合2.椭圆的离心率的取值范围e∈(0,1),双曲线的离心率的取值范围e∈(1,+∞).3.等轴双曲线是一类特殊的双曲线,等轴双曲线的离心率为e=.4.求椭圆(或双曲线)的离心率:求椭圆(或双曲线)的离心率就是要找椭圆(或双曲线)中a与c的关系,常将椭圆(或双曲线)的条件与c2=a2-b2(或c2=a2+b2)相结合,转化为关于a,c的等式(或不等式),进而化成关于e的方程(或不等式)求解.1.椭圆中,由a与b的关系可以求离心率,e=𝑐𝑎=1-(𝑏𝑎)2.双曲线中,由a与b的关系可以求离心率,e=𝑐𝑎=1+(𝑏𝑎)2.2-4-热点一热点二椭圆的离心率(1)求椭圆的离心率例1(2019广东揭阳高考二模)设F1,F2是椭圆E:𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(ab0)的左、右焦点,P为直线x=2a上一点,△F2PF1是底边为PF1的等腰三角形,且直线PF1的斜率为13,则椭圆E的离心率为()A.1013B.58C.35D.23答案解析解析关闭由题意,因为△F2PF1是底边为PF1的等腰三角形,∴|PF2|=|F2F1|.因为P为直线x=2a上一点,直线PF1的斜率为13,△PDF2是直角三角形,所以2𝑎+𝑐32+(2a-c)2=4c2,可得13e2+16e-20=0,解得e=𝑐𝑎=1013或e=-2(舍去).故选A.答案解析关闭A-5-热点一热点二解题心得本题考查了椭圆的几何性质——离心率的求解,其中求椭圆的离心率,常见的有两种方法:①求出a,c,代入公式e=;②只需要根据一个条件得到关于a,b,c的齐次式,转化为关于a,c的齐次式,然后转化为关于e的方程,即可得e的值.𝑐𝑎-6-热点一热点二对点训练1(2019甘肃兰州高考一诊)已知点F1,F2是椭圆𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(ab0)的左、右焦点,P为椭圆上的动点,动点Q在射线F1P的延长线上,且|𝑃𝑄|=|𝑃𝐹2|,若|𝑃𝑄|的最小值为1,最大值为9,则椭圆的离心率为()A.35B.13C.45D.19(2)求椭圆的离心率的取值范围答案解析解析关闭因为|𝑃𝑄|=|𝑃𝐹2|,|𝑃𝑄|的最小值为1,最大值为9,∴|PF2|的最大值为a+c=9,最小值为a-c=1,∴a=5,c=4.∴椭圆的离心率为e=𝑐𝑎=45.故选C.答案解析关闭C-7-热点一热点二例2(2019贵州凯里第一中学高二下学期期中考试)已知椭圆C:𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1,ab0,F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,若椭圆C上存在点P(x0,y0)(x0≥0)使得∠PF1F2=60°,则椭圆的离心率的取值范围为()A.22,1B.0,22C.12,1D.0,12答案解析解析关闭依据题意作出如下图象:由已知可得,当点P在椭圆的上(下)顶点处时,∠PF1F2最大,要满足椭圆C上存在点P(x0,y0)(x0≥0)使得∠PF1F2=60°,则90°(∠PF1F2)max≥60°.所以tan(∠PF1F2)max≥tan60°=3.即𝑏𝑐≥3,整理得b≥3c.又a2=b2+c2≥3c2+c2=4c2,即a2≥4c2,所以e=𝑐𝑎=𝑐2𝑎2≤14=12.所以椭圆离心率的取值范围为0,12.故选D.答案解析关闭D-8-热点一热点二解题心得椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质,求椭圆的离心率的取值范围,常见有两种方法:(1)求出a,c,代入公式e=;(2)只需要根据一个条件得到关于a,b,c的齐次式,结合b2=a2-c2转化为a,c的齐次式,然后等式(不等式)两边分别除以a2转化为关于e的方程(或不等式),解方程(或不等式)即可得e的取值范围.𝑐𝑎-9-热点一热点二对点训练2(2019福建龙岩高三5月月考)已知点F为椭圆C:𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(ab0)的左焦点,直线y=kx(k0)与C相交于M,N两点(其中M在第一象限),若|MN|=2𝑎2-𝑏2,|FM|≤3|FN|,则C的离心率的最大值是.答案解析解析关闭设右焦点为F',连接MF',NF',由椭圆对称性知四边形FMF'N为平行四边形.又|MN|=2𝑎2-𝑏2=2c=FF',故FMF'N为矩形.|FM|≤3|FN|=3|F'M|,|FM|+|F'M|=2a,即2a-|F'M|≤3|F'M|,∴|F'M|≥2𝑎3+1.又(2a-|F'M|)2+|F'M|2=4c2,故0e≤3-1.故答案为3-1.答案解析关闭3-1-10-热点一热点二双曲线的离心率(多维探究)1.求双曲线的离心率方法一直接法求离心率例3(2019湖北武汉5月模拟)已知双曲线C:𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(a0,b0)的焦距为4,其与抛物线E:y2=33x交于A,B两点,O为坐标原点,若△OAB为正三角形,则C的离心率为()A.22B.32C.2D.3答案解析解析关闭设△OAB的边长为2m,由抛物线和双曲线均关于x轴对称,可设A(3m,m),B(3m,-m),又m2=33×3m,故m=1.所以A(3,1).故3𝑎2−1𝑏2=1,又c=2,即a2+b2=4,解得a=b=2,则c=2.故e=𝑐𝑎=2.故选C.答案解析关闭C-11-热点一热点二解题心得直接法求离心率就是先直接求出a与c,然后通过比值e=求出结果.𝑐𝑎-12-热点一热点二对点训练3(2019广东深圳高级中学高三适应性考试)已知直线y=kx-1与抛物线x2=8y相切,则双曲线x2-k2y2=1的离心率为()A.5B.3C.2D.32答案解析解析关闭由𝑦=𝑘𝑥-1,𝑥2=8𝑦得x2-8kx+8=0,因为直线与抛物线相切,所以Δ=64k2-32=0,解得k2=12.所以双曲线方程为x2-𝑦22=1,可得a=1,c=3,所以离心率e=𝑐𝑎=3.故选B.答案解析关闭B-13-热点一热点二方法二通过c与a的比值求离心率例4(2019内蒙古高三一模)已知双曲线C:(a0,b0)的左、右顶点分别为A1,A2,点P是双曲线C上与A1,A2不重合的动点,若=3,则双曲线的离心率为()𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1𝑘𝑃𝐴1𝑘𝑃𝐴2A.2B.3C.4D.2答案解析解析关闭设P(x0,y0),A1(-a,0),A2(a,0).∵𝑘𝑃𝐴1𝑘𝑃𝐴2=3,∴𝑦0𝑥0+𝑎·𝑦0𝑥0-𝑎=3,即𝑦02=3𝑥02-3a2.①又𝑥02𝑎2−𝑦02𝑏2=1,②由①②可得(b2-3a2)𝑥02=a2(b2-3a2).∵x0≠±a,∴b2-3a2=0.∴b2=3a2=c2-a2.∴c=2a,即e=2.故选D.答案解析关闭D-14-热点一热点二解题心得1.椭圆(双曲线)的离心率有一个公式变形,e=𝑐𝑎=1-(𝑏𝑎)21+(𝑏𝑎)2,所以由a与b的关系可以求离心率,相反,由离心率也可以得出a与b的关系;2.圆锥曲线中的离心率的计算,关键是利用题设条件构建关于a,b,c的一个关系式.-15-热点一热点二对点训练4(2019天津武清区高三第二次月考)已知双曲线C:𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(a0,b0)的左、右焦点分别为F1,F2,O为坐标原点,P是双曲线在第一象限上的点,𝑀𝑂=𝑂𝑃,直线PF2交双曲线C于另一点N,若|PF1|=2|PF2|,且∠MF2N=120°,则双曲线C的离心率为()A.233B.7C.3D.2答案解析解析关闭已知|PF1|=2|PF2|,由双曲线的定义可得,|PF1|-|PF2|=2a,可得|PF1|=4a,|PF2|=2a,由四边形PF1MF2为平行四边形,又∠MF2N=120°,可得∠F1PF2=120°.在△PF1F2中,由余弦定理可得4c2=16a2+4a2-2·4a·2a·cos120°,即有4c2=20a2+8a2,即c2=7a2,可得c=7a,即e=𝑐𝑎=7.答案解析关闭B-16-热点一热点二方法三通过a与c的齐次式求离心率例5(2019山东烟台、菏泽高三5月高考适应性练习一)过双曲线𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(a0,b0)的右焦点与x垂直的直线与双曲线交于A,B两点,若△OAB(O为坐标原点)为等腰直角三角形,则该双曲线的离心率为()A.2B.5-1C.5+12D.5答案解析解析关闭过双曲线𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(a0,b0)的右焦点F作垂直于x轴的直线,交双曲线于A,B两点,由x=c可得y=±𝑏2𝑎,所以FA=FB=𝑏2𝑎.因为△AOB为等腰直角三角形,所以OF=FA=FB,可得c=𝑏2𝑎.即ac=c2-a2,可得e2-e-1=0,e1,解得e=1+52.故选C.答案解析关闭C-17-热点一热点二解题心得离心率e的求解中可以不求出a,c的具体值,而是得出a与c的关系,从而求得e,这种方法的步骤如下:(1)建立方程:根据已知条件得到齐次式Aa2+Bac+Cc2=0;(2)化简:同时除以a2,化简齐次式,得到关于e的一元二次方程A+Be+Ce2=0;(3)求解:解一元二次方程,求得e的值;(4)验算取舍:根据离心率的取值范围e∈(0,1)或e∈(1,+∞)进行取舍,最终的e值即为所求.-18-热点一热点二对点训练5(2019天津北辰区模拟考试)已知双曲线C:𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(a0,b0)的焦距为2c,直线l与双曲线C的一条斜率为负值的渐近线垂直且在y轴上的截距为-𝑐2𝑏;以双曲线C的右焦点为圆心,半焦距为半径的圆Ω与直线l交于M,N两点,若|MN|=253c,则双曲线C的离心率为()A.35B.53C.3D.13答案解析解析关闭双曲线的渐近线方程为y=±𝑏𝑎x,直线l与双曲线C的一条斜率为负值的渐近线垂直且在y轴上的截距为-𝑐2𝑏,故直线l的方程为y=𝑎𝑏x-𝑐2𝑏,即ax-by-c2=0.双曲线的右焦点为(c,0),其到l的距离d=|𝑎𝑐-𝑐2|𝑎2+𝑏2=c-a,半径为c的圆Ω与直线l交于M,N两点,且MN=253c,∴(c-a)2+59c2=c2,化简得5c2-18ac+9a2=0,即(c-3a)(5c-3a)=0,得c=3a或c=35a,即e=𝑐𝑎=3或e=35(舍去后者).故选C.答案解析关闭C-19-热点一热点二2.求双曲线的离心率的取值范围例6(2019江西新八校高三第二次联考)设F1,F2为椭圆C1:𝑥2𝑎12+𝑦2𝑏12=1(a1b10)与双曲线C2的公共左、右焦点,椭圆C1与双曲线C2在第一象限内交于点M,△MF1F2是以线段MF1为底边的等腰三角形,且|MF1|=2.若椭圆C1的离心率e1∈514,25,则双曲线C2的离心率e2的取值范围是.答案解析解析关闭设双曲线C2的方程为𝑥2𝑎22−𝑦2𝑏22=1(a20,b20),由题意知|MF1|=2,|F1F2|=|MF2|=2c,其中c2=𝑎22+𝑏22=𝑎12−𝑏12,又根据椭圆与双曲线的定义得|𝑀𝐹1|+|𝑀𝐹2|=2𝑎1,|𝑀𝐹1|-|𝑀𝐹2|=2𝑎2,则2+2𝑐=2𝑎1,2-2𝑐=2𝑎2,即a1-a2=2c,其中2a1,2a2分别为椭圆的长轴长和双曲线的实轴长,所以1𝑒1−1𝑒2=2.因为椭圆的离心率e1∈514,25,所以1𝑒2=1𝑒1-2∈12,45.所以e2∈54,2,即双曲线C2的离心率的取值范围是54,2.答案解析关闭54,2-20-热点