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6.3.2随机变量及其分布-2-考向一考向二考向三考向四依据频率求概率的综合问题例1某公司为了解用户对其产品的满意度,从A,B两地区分别随机调查了20个用户,得到用户对产品的满意度评分如下:A地区:6273819295857464537678869566977888827689B地区:7383625191465373648293486581745654766579(1)根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图,并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值,给出结论即可);-3-考向一考向二考向三考向四(2)根据用户满意度评分,将用户的满意度从低到高分为三个等级:记事件C:“A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级”.假设两地区用户的评价结果相互独立.根据所给数据,以事件发生的频率作为相应事件发生的概率,求C的概率.满意度评分低于70分70分到89分不低于90分满意度等级不满意满意非常满意-4-考向一考向二考向三考向四解(1)两地区用户满意度评分的茎叶图如图.通过茎叶图可以看出,A地区用户满意度评分的平均值高于B地区用户满意度评分的平均值;A地区用户满意度评分比较集中,B地区用户满意度评分比较分散.-5-考向一考向二考向三考向四(2)记CA1表示事件:“A地区用户的满意度等级为满意或非常满意”;CA2表示事件:“A地区用户的满意度等级为非常满意”;CB1表示事件:“B地区用户的满意度等级为不满意”;CB2表示事件:“B地区用户的满意度等级为满意”,则CA1与CB1独立,CA2与CB2独立,CB1与CB2互斥,C=CB1CA1∪CB2CA2.P(C)=P(CB1CA1∪CB2CA2)=P(CB1CA1)+P(CB2CA2)=P(CB1)P(CA1)+P(CB2)P(CA2).由所给数据得CA1,CA2,CB1,CB2发生的频率分别为1620,420,1020,820,故P(CA1)=1620,P(CA2)=420,P(CB1)=1020,P(CB2)=820,P(C)=1020×1620+820×420=0.48.-6-考向一考向二考向三考向四解题心得对于求由几个简单事件组合而成的复杂事件的概率,一般有两种解题方法:1.直接法:正确分析复杂事件的构成,将复杂事件转化为几个彼此互斥的事件的和事件或几个相互独立事件同时发生的事件或一独立重复试验问题,然后用相应概率公式求解.2.间接法:当复杂事件正面情况比较多,反面情况比较少,则可利用其对立事件进行求解,即“正难则反”.对于“至少”“至多”等问题往往也用这种方法求解.-7-考向一考向二考向三考向四对点训练1(2019北京卷,理17)改革开放以来,人们的支付方式发生了巨大转变.近年来,移动支付已成为主要支付方式之一.为了解某校学生上个月A,B两种移动支付方式的使用情况,从全校学生中随机抽取了100人,发现样本中A,B两种支付方式都不使用的有5人,样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下:支付金额(元)支付方式(0,1000](1000,2000]大于2000仅使用A18人9人3人仅使用B10人14人1人-8-考向一考向二考向三考向四(1)从全校学生中随机抽取1人,估计该学生上个月A,B两种支付方式都使用的概率;(2)从样本仅使用A和仅使用B的学生中各随机抽取1人,以X表示这2人中上个月支付金额大于1000元的人数,求X的分布列和数学期望;(3)已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化.现从样本仅使用A的学生中,随机抽查3人,发现他们本月的支付金额都大于2000元.根据抽查结果,能否认为样本仅使用A的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化?说明理由.-9-考向一考向二考向三考向四解(1)由题意知,样本中仅使用A的学生有18+9+3=30人,仅使用B的学生有10+14+1=25人,A,B两种支付方式都不使用的学生有5人.故样本中A,B两种支付方式都使用的学生有100-30-25-5=40人.所以从全校学生中随机抽取1人,该学生上个月A,B两种支付方式都使用的概率估计为=0.4.40100-10-考向一考向二考向三考向四(2)X的所有可能值为0,1,2.记事件C为“从样本仅使用A的学生中随机抽取1人,该学生上个月的支付金额大于1000元”,事件D为“从样本仅使用B的学生中随机抽取1人,该学生上个月的支付金额大于1000元”.由题设知,事件C,D相互独立,且P(C)=9+330=0.4,P(D)=14+125=0.6.所以P(X=2)=P(CD)=P(C)P(D)=0.24,P(X=1)=P(C𝐷∪𝐶D)=P(C)P(𝐷)+P(𝐶)P(D)=0.4×(1-0.6)+(1-0.4)×0.6=0.52,P(X=0)=P(𝐶𝐷)=P(𝐶)P(𝐷)=0.24.-11-考向一考向二考向三考向四所以X的分布列为X012P0.240.520.24故X的数学期望E(X)=0×0.24+1×0.52+2×0.24=1.(3)记事件E为“从样本仅使用A的学生中随机抽查3人,他们本月的支付金额都大于2000元”.假设样本仅使用A的学生中,本月支付金额大于2000元的人数没有变化,则由上个月的样本数据得P(E)=1C303=14060.答案示例1:可以认为有变化.理由如下:P(E)比较小,概率比较小的事件一般不容易发生.一旦发生,就有理由认为本月的支付金额大于2000元的人数发生了变化.所以可以认为有变化.答案示例2:无法确定有没有变化.理由如下:事件E是随机事件,P(E)比较小,一般不容易发生,但还是有可能发生的,所以无法确定有没有变化.-12-考向一考向二考向三考向四离散型随机变量的分布列(多维探究)类型1相互独立事件、互斥事件的概率及分布列例2某品牌服装店五一进行促销活动,店老板为了扩大品牌的知名度同时增强活动的趣味性,约定打折办法如下:有两个不透明袋子,一个袋中放着编号为1,2,3的三个小球,另一个袋中放着编号为4,5的两个小球(小球除编号外其他都相同),顾客需从两个袋中各抽一个小球,两球的编号之和即为该顾客买衣服所打的折数(如,一位顾客抽得的两个小球的编号分别为2,5,则该顾客所买的衣服打7折).要求每位顾客先确定购买衣服后再取球确定打折数.已知A,B,C三位顾客各买了一件衣服.(1)求三位顾客中恰有两位顾客的衣服打6折的概率;(2)A,B两位顾客都选了定价为2000元的一件衣服,设X为打折后两位顾客的消费总额,求X的分布列和数学期望.-13-考向一考向二考向三考向四解打5,6,7,8折的概率分别为13×2=16,23×2=13,13,16,(1)事件A为“三位顾客中恰有两位顾客打6折”,所以P(A)=C3213223=29.(2)X的可能取值为2000,2200,2400,2600,2800,3000,3200,P(X=2000)=16×16=136,P(X=2200)=16×13×2=19,P(X=2400)=16×13×2+13×13=29,P(X=2600)=13×13×2+16×16×2=518,P(X=2800)=13×13+13×16×2=29,P(X=3000)=16×13×2=19,P(X=3200)=16×16=136,-14-考向一考向二考向三考向四所以X的分布列为X2000220024002600280030003200P13619295182919136E(X)=2000×136+2200×19+2400×29+2600×518+2800×29+3000×19+3200×136=2600(元).-15-考向一考向二考向三考向四解题心得字母表示事件法:使用简洁、准确的数学语言描述解答过程是解答这类问题并得分的根本保证.引进字母表示事件可使得事件的描述简单而准确,使得问题描述有条理,不会有遗漏,也不会重复.-16-考向一考向二考向三考向四对点训练2电影公司随机收集了电影的有关数据,经分类整理得到下表:好评率是指:一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值.电影类型第一类第二类第三类第四类第五类第六类电影部数14050300200800510好评率0.40.20.150.250.20.1-17-考向一考向二考向三考向四假设所有电影是否获得好评相互独立.(1)从电影公司收集的电影中随机选取1部,求这部电影是获得好评的第四类电影的概率;(2)从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部,估计恰有1部获得好评的概率;(3)假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等.用“ξk=1”表示第k类电影得到人们喜欢,“ξk=0”表示第k类电影没有得到人们喜欢(k=1,2,3,4,5,6).写出方差Dξ1,Dξ2,Dξ3,Dξ4,Dξ5,Dξ6的大小关系.-18-考向一考向二考向三考向四解(1)设“从电影公司收集的电影中随机选取1部,这部电影是获得好评的第四类电影”为事件A,第四类电影中获得好评的电影为200×0.25=50(部).P(A)=50140+50+300+200+800+510=502000=0.025.(2)设“从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部,恰有1部获得好评”为事件B,P(B)=0.25×0.8+0.75×0.2=0.35.(3)由题意可知,定义随机变量如下:ξk=0,第𝑘类电影没有得到人们喜欢,1,第𝑘类电影得到人们喜欢,则ξk显然服从两点分布,则六类电影的分布列及方差计算如下:第一类电影:ξ110P0.40.6Dξ1=0.4×0.6=0.24;-19-考向一考向二考向三考向四第二类电影:ξ210P0.20.8Dξ2=0.2×0.8=0.16;第三类电影:ξ310P0.150.85Dξ3=0.15×0.85=0.1275;第四类电影:ξ410P0.250.75Dξ4=0.25×0.75=0.1875;-20-考向一考向二考向三考向四第五类电影:ξ510P0.20.8Dξ5=0.2×0.8=0.16;第六类电影:ξ610P0.10.9Dξ6=0.1×0.9=0.09;综上所述,Dξ1Dξ4Dξ2=Dξ5Dξ3Dξ6.-21-考向一考向二考向三考向四类型2超几何分布例3(2019北京东城一模,理16)改革开放40年来,体育产业蓬勃发展反映了“健康中国”理念的普及.下图是我国2006年至2016年体育产业年增加值及年增速图.其中条形图为体育产业年增加值(单位:亿元),折线图为体育产业年增长率(%).-22-考向一考向二考向三考向四(1)从2007年至2016年随机选择1年,求该年体育产业年增加值比前一年的体育产业年增加值多500亿元以上的概率;(2)从2007年至2016年随机选择3年,设X是选出的三年中体育产业年增长率超过20%的年数,求X的分布列与数学期望;(3)由图判断,从哪年开始连续三年的体育产业年增长率方差最大?从哪年开始连续三年的体育产业年增加值方差最大?(结论不要求证明)-23-考向一考向二考向三考向四解(1)设A表示事件“从2007年至2016年随机选择1年,该年体育产业年增加值比前一年的体育产业年增加值多500亿元以上”.由题意可知,2009年,2011年,2015年,2016年满足要求,故P(A)=410=25.(2)由题意可知,X的所有可能取值为0,1,2,3,且P(X=0)=C63C103=16;P(X=1)=C41C62C103=12;P(X=2)=C42C61C103=310;P(X=3)=C43C103=130.所以X的分布列为:X0123P1612310130故X的期望E(X)=0×16+1×12+2×310+3×130=65.(3)从2008年或2009年开始连续三年的体育产业年增长率方差最大.从2014年开始连续三年的体育产业年增加值方差最大.-24-考向一考向二考向三考向四解题心得超几何分布:一般地,在含有M件次品的N件产品中,任取n件,其中恰有X件次品,则P(X=k)=,k=0,1,…,m,其中m=min{M,n},且n≤N,M