搜索
9.1坐标系与参数方程(选修4—4)-2-年份卷别设问特点涉及知识点题目类型解题思想方法2015全国1求直线与圆的极坐标方程;求三角形面积直线,圆,极坐标,距离,三角形面积极坐标代入法,转化思想全国2求两极坐标方程交点的直角坐标;求两点距离的最值参数方程,极坐标,圆,三角函数化简,最值参数方程,极坐标方程思想,消元法,转化思想-3-年份卷别设问特点涉及知识点题目类型解题思想方法2016全国1求参数方程的极坐标方程;求半径参数方程,极坐标,直线,圆,交点参数方程,极坐标消元法,代入法,方程思想全国2求圆的极坐标方程;求直线的斜率参数方程,极坐标,直线,圆,距离,斜率参数方程,极坐标代入法,转化思想全国3参数方程、极坐标方程化为普通方程;求两点距离的最值及点的直角坐标参数方程,极坐标,椭圆,直线,点到直线的距离参数方程,极坐标消元法,代入法,转化思想-4-年份卷别设问特点涉及知识点题目类型解题思想方法2017全国1求曲线与l的交点坐标;已知点到直线距离的最值求参数参数方程,椭圆,直线,点到直线距离,三角化简,最值参数方程消元法,方程思想,转化思想全国2求轨迹的直角坐标方程;求三角形面积的最大值极坐标,圆,三角形面积,三角变换,最值极坐标消元法,代入法,转化思想全国3求曲线的普通方程;求曲线与直线交点的极径参数方程,极坐标,双曲线,直线参数方程,极坐标消元法,代入法,方程思想-5-年份卷别设问特点涉及知识点题目类型解题思想方法2018全国1由圆的极坐标方程求其普通方程;当两曲线有三个交点时,求一曲线的方程圆的极坐标方程的普通方程;点到直线的距离,直线与圆的位置关系极坐标,普通方程消元法,方程思想,转化思想全国2将曲线与直线的参数方程化为普通方程;求直线的斜率曲线与直线的参数方程,直线参数方程中参数的几何意义,直线斜率参数方程,普通方程消元法,代入法,数形结合全国3求直线倾斜角的取值范围;求直线与圆相交弦的中点的轨迹的参数方程直线与圆的参数方程,点到直线的距离公式,轨迹方程参数方程,普通方程消元法,代入法,方程思想-6-年份卷别设问特点涉及知识点题目类型解题思想方法2019全国1将椭圆的参数方程化为直角坐标方程,直线的极坐标方程化为直角坐标方程,求椭圆上的点到直线的距离的最小值参数方程、极坐标方程与直角坐标方程之间的互化,点到直线的距离极坐标与参数方程转化与化归思想,方程思想全国2直线与圆的极坐标方程,点轨迹的极坐标方程直线与圆的极坐标方程,点轨迹的极坐标方程极坐标数形结合思想全国3曲线的极坐标方程,点的极坐标圆的极坐标方程,点的极坐标极坐标数形结合思想,方程思想-7-1.极坐标与直角坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点,x轴的非负半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,设M是平面内任意一点,它的直角坐标是(x,y),极坐标为(ρ,θ),则它们之间的关系为x=ρcosθ,y=ρsinθ.另一种关系为ρ2=x2+y2,tanθ=(x≠0).2.直线的极坐标方程若直线过点M(ρ0,θ0),且此直线与极轴所成的角为α,则它的方程为ρsin(θ-α)=ρ0sin(θ0-α).几个特殊位置的直线的极坐标方程:(1)直线过极点:θ=θ0和θ=π+θ0;(2)直线过点M(a,0),且垂直于极轴:ρcosθ=a;𝑦𝑥(3)直线过M𝑏,π2,且平行于极轴:ρsinθ=b.-8-3.圆的极坐标方程若圆心为M(ρ0,θ0),半径为r,则圆的方程为ρ2-2ρ0ρcos(θ-θ0)+-r2=0.几个特殊位置的圆的极坐标方程:(1)圆心位于极点,半径为r:ρ=r;(2)圆心位于M(a,0),半径为a:ρ=2acosθ;4.曲线的参数方程在平面直角坐标系xOy中,如果曲线上任意一点的坐标(x,y)都是某个变量t的函数并且对于t的每一个允许值,上式所确定的点M(x,y)都在这条曲线上,则称上式为该曲线的参数方程,其中变量t称为参数.(3)圆心位于M𝑎,π2,半径为a:ρ=2asinθ.𝑥=𝑓(𝑡),𝑦=𝑔(𝑡),𝜌02-9-5.一些常见曲线的参数方程(1)过点P0(x0,y0),且倾斜角为α的直线的参数方程为𝑥=𝑥0+𝑡cos𝛼,𝑦=𝑦0+𝑡sin𝛼(t为参数).(2)圆的方程(x-a)2+(y-b)2=r2的参数方程为𝑥=𝑎+𝑟cos𝜃,𝑦=𝑏+𝑟sin𝜃(θ为参数).(3)椭圆方程𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(ab0)的参数方程为𝑥=𝑎cos𝜃,𝑦=𝑏sin𝜃(θ为参数).(4)抛物线方程y2=2px(p0)的参数方程为𝑥=2𝑝𝑡2,𝑦=2𝑝𝑡(t为参数).-10-6.过定点P0(x0,y0),倾斜角为α的直线参数方程的标准形式为𝑥=𝑥0+𝑡cos𝛼,𝑦=𝑦0+𝑡sin𝛼(t为参数),t的几何意义是直线上的点P到点P0(x0,y0)的数量,即|t|=|𝑃0𝑃|,t可正可负.使用该式时直线上任意两点P1,P2对应的参数分别为t1,t2,则|P1P2|=|t1-t2|,P1P2的中点对应的参数为12(t1+t2).-11-考向一考向二考向三考向四考向五曲线方程的三种形式间的转化例1(2019全国卷1,文22)在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(1)求C和l的直角坐标方程;(2)求C上的点到l距离的最小值.𝑥=1-𝑡21+𝑡2,𝑦=4𝑡1+𝑡2(t为参数).以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为2ρcosθ+3ρsinθ+11=0.-12-考向一考向二考向三考向四考向五解(1)因为-11-𝑡21+𝑡2≤1,且x2+𝑦22=1-𝑡21+𝑡22+4𝑡2(1+𝑡2)2=1,所以C的直角坐标方程为x2+𝑦24=1(x≠-1).l的直角坐标方程为2x+3y+11=0.(2)由(1)可设C的参数方程为𝑥=cos𝛼,𝑦=2sin𝛼(α为参数,-παπ).C上的点到l的距离为|2cos𝛼+23sin𝛼+11|7=4cos𝛼-π3+117.当α=-2π3时,4cos𝛼-π3+11取得最小值7,故C上的点到l距离的最小值为7.快解利用万能公式sinα=2tan𝛼21+tan2𝛼2,cosα=1-tan2𝛼21+tan2𝛼2求C的直角坐标方程.令t=tan𝛼2,则x=1-𝑡21+𝑡2=cosα,y=4𝑡1+𝑡2=2sinα,则C的直角坐标方程为x2+𝑦22=1(x≠-1),即x2+𝑦24=1(x≠-1).-13-考向一考向二考向三考向四考向五易错警示本题解答的易错点:(1)化曲线C的参数方程为直角坐标方程时,易忽视未知数x的取值范围;(2)消去参数t时,由于参数方程较为复杂,找不到消参的方法.解题心得1.无论是将参数方程化为极坐标方程,还是将极坐标方程化为参数方程,都要先化为直角坐标方程,再由直角坐标方程化为需要的方程.2.求解与极坐标方程有关的问题时,可以转化为熟悉的直角坐标方程求解.若最终结果要求用极坐标表示,则需将直角坐标转化为极坐标.-14-考向一考向二考向三考向四考向五对点训练1(2019山西晋城高三第三次模拟考试)已知平面直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(α为参数).以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求曲线C的极坐标方程;(2)过点(-2,1)的直线l与曲线C交于A,B两点,且|AB|=2,求直线l的方程.𝑥=2+3cos𝛼,𝑦=1+3sin𝛼-15-考向一考向二考向三考向四考向五解(1)消去参数α,可得曲线C的普通方程为(x-2)2+(y-1)2=9,即x2+y2-4x-2y-4=0.由𝑥=𝜌cos𝜃,𝑦=𝜌sin𝜃(θ为参数)得曲线C的极坐标方程为ρ2-4ρcosθ-2ρsinθ-4=0.(2)显然直线l的斜率存在,否则无交点.设直线l的方程为y-1=k(x+2),即kx-y+2k+1=0.而|AB|=2,则圆心到直线l的距离d=𝑟2-(𝐴𝐵2)2=9-1=22.又d=|4𝑘|𝑘2+1,所以|4𝑘|𝑘2+1=22,解得k=±1.所以直线l的方程为x+y+1=0或x-y+3=0.-16-考向一考向二考向三考向四考向五极坐标方程的应用例2(2019全国卷3,文22)如图,在极坐标系Ox中,A(2,0),B2,π4,C2,3π4,D(2,π),弧𝐴𝐵,𝐵𝐶,𝐶𝐷所在圆的圆心分别是(1,0),1,π2,(1,π),曲线M1是弧𝐴𝐵,曲线M2是弧𝐵𝐶,曲线M3是弧𝐶𝐷.(1)分别写出M1,M2,M3的极坐标方程;(2)曲线M由M1,M2,M3构成,若点P在M上,且|OP|=3,求P的极坐标.-17-考向一考向二考向三考向四考向五解(1)由题设可得,弧𝐴𝐵,𝐵𝐶,𝐶𝐷所在圆的极坐标方程分别为ρ=2cosθ,ρ=2sinθ,ρ=-2cosθ.所以M1的极坐标方程为ρ=2cosθ0≤𝜃≤π4,M2的极坐标方程为ρ=2sinθπ4≤𝜃≤3π4,M3的极坐标方程为ρ=-2cosθ3π4≤𝜃≤π.(2)设P(ρ,θ),由题设及(1)知若0≤𝜃≤π4,则2cosθ=3,解得θ=π6;若π4≤𝜃≤3π4,则2sinθ=3,解得θ=π3或θ=2π3;若3π4≤𝜃≤π,则-2cosθ=3,解得θ=5π6.综上,P的极坐标为3,π6或3,π3或3,2π3或3,5π6.-18-考向一考向二考向三考向四考向五关键点拨(1)写弧的极坐标方程时,注意标明定义域.(2)|OP|即为曲线上的点P到极点的距离,实质为点P的极径.解题心得直线与曲线相交的交点间的长度在极坐标系中易表达且形式简单,当然求解与极坐标方程有关的问题时,可以转化为熟悉的直角坐标方程求解.若最终结果要求用极坐标表示,则需将直角坐标转化为极坐标.-19-考向一考向二考向三考向四考向五对点训练2(2019辽宁葫芦岛高三第二次模拟考试)在直角坐标系xOy中,A(2,0),B(0,1),以O为极点,x轴的正半轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为4ρ2-12=ρ2cos2θ.(1)求曲线C的直角坐标方程;(2)动点P是曲线C在第一象限的点,当四边形OAPB的面积最大时,求点P的直角坐标.-20-考向一考向二考向三考向四考向五解(1)由4ρ2-12=ρ2cos2θ及𝜌cos𝜃=𝑥,𝜌sin𝜃=𝑦,得4(x2+y2)-12=x2,整理得𝑥24+𝑦23=1.故曲线C的直角坐标方程是𝑥24+𝑦23=1.(2)由动点P是曲线C在第一象限的点,设点P(2cosθ,3sinθ)0θπ2.设四边形OAPB的面积为S,则S=S△OAP+S△OBP=12×2×3sinθ+12×1×2cosθ=2sinθ+π6.所以当θ=π3时,S最大,此时点P1,32.-21-考向一考向二考向三考向四考向五参数方程的应用例3(2019河南洛阳高二5月质量检测)已知曲线C的参数方程为(1)求曲线C的普通方程;(2)直线l与曲线C交于A,B两点,求|AB|的值.𝑥=2+3cos𝜃,𝑦=3sin𝜃(θ为参数,θ∈R),直线l经过P(0,-3)且倾斜角为π4.-22-考向一考向二考向三考向四考向五解(1)由𝑥=2+3cos𝜃,𝑦=3sin𝜃(θ为参数,θ∈R),得cos𝜃=𝑥-23,sin𝜃=𝑦3,代入sin2θ+cos2θ=1中,得𝑥-232+𝑦32=1,整理得曲线C的普通方程为(x-2)2+y2=9.(2)直线l的参数方程为𝑥=22𝑡,𝑦=-3+22𝑡(t为参数,t∈R),代入(x-2)2+y2=9,整理得t2-52t+4=0.Δ=(52)2-160.设A,B对应的参数分别为t1,t2,则t1+t2=52,t1t2=4,则|AB|=|t1-t2|=(𝑡1+𝑡2)2-4𝑡1𝑡2=34.-23-考向一考向二考向三考向四考向五解题心得在过定点P0(x0,y0)的直线的参数方程中,参数t的