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第1讲函数与方程思想1.(2019全国Ⅰ,文14)记Sn为等比数列{an}的前n项和.若a1=1,S3=34,则S4=.解析:设等比数列{an}的公比为q.S3=a1+a1q+a1q2=1+q+q2=34,即q2+q+14=0.解得q=-12.故S4=𝑎1(1-𝑞4)1-𝑞=1--1241+12=58.答案:582.(2019全国Ⅲ,文14)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a3=5,a7=13,则S10=.答案:100解析:设等差数列{an}的公差为d,则𝑎3=𝑎1+2𝑑=5,𝑎7=𝑎1+6𝑑=13,解得𝑎1=1,𝑑=2.故S10=10a1+10×92d=10×1+10×92×2=100.3.(2019全国Ⅱ,文11)已知α∈0,π2,2sin2α=cos2α+1,则sinα=()A.15B.55C.33D.255解析:∵2sin2α=cos2α+1,∴4sinαcosα=2cos2α.∵α∈0,π2,∴cosα0,sinα0,∴2sinα=cosα.又sin2α+cos2α=1,∴5sin2α=1,即sin2α=15.∵sinα0,∴sinα=55.故选B.答案:B4.(2019江苏,8)已知数列{an}(n∈N*)是等差数列,Sn是其前n项和.若a2a5+a8=0,S9=27,则S8的值是.解析:∵{an}为等差数列,设公差为d,a2a5+a8=0,S9=27,整理②得a1+4d=3,即a1=3-4d,③把③代入①解得d=2,∴a1=-5.∴S8=8a1+28d=16.答案:16∴(𝑎1+𝑑)(𝑎1+4𝑑)+𝑎1+7𝑑=0,①9𝑎1+9×82𝑑=27,②1.函数与方程思想的含义思想特点联系函数思想用运动和变化的观点,分析和研究数学中的数量关系,是对函数概念的本质认识,建立函数关系或构造函数,运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题,从而使问题获得解决.经常利用的性质是单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图象变换等.方程f(x)=0的解就是函数y=f(x)的图象与x轴的交点的横坐标;函数y=f(x)也可以看作二元方程f(x)-y=0,通过方程进行研究,方程f(x)=a有解,当且仅当a属于函数f(x)的值域.方程思想分析数学问题中变量间的等量关系,建立方程或方程组,或者构造方程,通过解方程或方程组,或者运用方程的性质去分析、转化问题,使问题获得解决.方程思想是动中求静,研究运动中的等量关系.2.函数与方程的思想在解题中的应用思想应用类型函数思想(1)借助有关初等函数的性质,解有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题;(2)数列的通项与前n项和是自变量为正整数的函数,用函数的观点去处理数列问题十分重要.(3)在研究问题中通过建立函数关系式或构造中间函数,把研究的问题化为讨论函数的有关性质,达到化难为易,化繁为简的目的.思想应用类型方程思想(1)解方程或解不等式,如在三角函数求值中,把所求的量看作未知量,其余的量通过三角函数关系化为未知量的表达式,那么问题就能化为未知量的方程来解.(2)带参变数的方程或不等式的讨论,常涉及一元二次方程的判别式、根与系数的关系、区间根、区间上恒成立等知识应用;(3)需要转化为方程的讨论,如直线与二次曲线的位置关系问题,需要通过解二元方程组才能解决;(4)构造方程或不等式求解问题,如立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算,经常需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决.考点1考点2考点3函数与方程思想在不等式中的应用例1(1)设f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当x0时,f'(x)g(x)+f(x)g'(x)0,且g(-3)=0,则不等式f(x)g(x)0的解集是.(2)若a,b是正数,且满足ab=a+b+3,则ab的取值范围为.考点1考点2考点3解析:(1)设F(x)=f(x)g(x),由于f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,得F(-x)=f(-x)g(-x)=-f(x)g(x)=-F(x),即F(x)在R上为奇函数.又当x0时,F'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)0,所以x0时,F(x)为增函数.因为奇函数在对称区间上的单调性相同,所以x0时,F(x)也是增函数.因为F(-3)=f(-3)g(-3)=0=-F(3).所以,由图可知F(x)0的解集是(-∞,-3)∪(0,3).考点1考点2考点3(2)方法一(看成函数的值域):∵ab=a+b+3,∴a≠1.∴b=𝑎+3𝑎-1.而b0,∴𝑎+3𝑎-10,即a1或a-3.又a0,∴a1.故a-10.∴ab=a·𝑎+3𝑎-1=(𝑎-1)2+5(𝑎-1)+4𝑎-1=(a-1)+4𝑎-1+5≥9,当且仅当a-1=4𝑎-1,即a=3时取等号.又a3时,(a-1)+4𝑎-1+5是关于a的增函数,∴ab的取值范围是[9,+∞).考点1考点2考点3方法二(看成不等式的解集):∵a,b为正数,∴a+b≥2𝑎𝑏.又ab=a+b+3,∴ab≥2𝑎𝑏+3,即(𝑎𝑏)2-2𝑎𝑏-3≥0.解得𝑎𝑏≥3或𝑎𝑏≤-1(舍去).∴ab≥9.方法三:若ab=t,则a+b=t-3,∴a,b可看成方程x2-(t-3)x+t=0的两个正根.从而有𝛥=(𝑡-3)2-4𝑡≥0,𝑎+𝑏=𝑡-30,𝑎𝑏=𝑡0,即𝑡≤1或𝑡≥9,𝑡3,𝑡0.解得t≥9,即ab≥9.答案:(1)(-∞,-3)∪(0,3)(2)[9,+∞)考点1考点2考点3考点1考点2考点3考点1考点2考点3对应训练1(1)f(x)=ax3-3x+1对于x∈[-1,1]总有f(x)≥0成立,则a=.(2)已知函数f(x)=12x4-2x3+3m,x∈R,若f(x)+9≥0恒成立,则实数m的取值范围是()A.m≥32B.m32C.m≤32D.m32考点1考点2考点3解析:(1)若x=0,则不论a取何值,f(x)≥0显然成立;当x0即x∈(0,1]时,f(x)=ax3-3x+1≥0可化为a≥3𝑥2−1𝑥3.设g(x)=3𝑥2−1𝑥3,则g'(x)=3(1-2𝑥)𝑥4,所以g(x)在区间0,12上单调递增,在区间12,1上单调递减,因此g(x)max=g12=4,从而a≥4;当x0即x∈[-1,0)时,f(x)=ax3-3x+1≥0可化为a≤3𝑥2−1𝑥3,设g(x)=3𝑥2−1𝑥3,且g(x)在区间[-1,0)上单调递增,因此g(x)min=g(-1)=4,从而a≤4,综上a=4.考点1考点2考点3(2)因为函数f(x)=12x4-2x3+3m.所以f'(x)=2x3-6x2,令f'(x)=0得x=0或x=3,经检验知x=3是函数的一个最小值点,所以函数的最小值为f(3)=3m-272,不等式f(x)+9≥0恒成立,即f(x)≥-9恒成立,所以3m-272≥-9,解得m≥32,故选A.答案:(1)4(2)A考点1考点2考点3函数与方程思想在数列中的应用例2已知数列{an}是各项均为正数的等差数列.(1)若a1=2,且a2,a3,a4+1成等比数列,求数列{an}的通项公式an;(2)在(1)的条件下,数列{an}的前n项和为Sn,设bn=1𝑆𝑛+1+1𝑆𝑛+2+…+1𝑆2𝑛,若对任意的n∈N*,不等式bn≤k恒成立,求实数k的最小值.考点1考点2考点3解:(1)因为a1=2,𝑎32=a2·(a4+1),又因为{an}是正项等差数列,故公差d≥0,所以(2+2d)2=(2+d)(3+3d),得d=2或d=-1(舍去),所以数列{an}的通项公式an=2n.(2)因为Sn=n(n+1),bn=1𝑆𝑛+1+1𝑆𝑛+2+…+1𝑆2𝑛=1(𝑛+1)(𝑛+2)+1(𝑛+2)(𝑛+3)+…+12𝑛(2𝑛+1)=1𝑛+1−1𝑛+2+1𝑛+2−1𝑛+3+…+12𝑛−12𝑛+1=1𝑛+1−12𝑛+1=𝑛2𝑛2+3𝑛+1=12𝑛+1𝑛+3,考点1考点2考点3令f(x)=2x+1𝑥(x≥1),则f'(x)=2-1𝑥2,当x≥1时,f'(x)0恒成立,所以f(x)在[1,+∞)上是增函数,故当x=1时,[f(x)]min=f(1)=3,即当n=1时,(bn)max=16,要使对任意的正整数n,不等式bn≤k恒成立,则须使k≥(bn)max=16,所以实数k的最小值为16.考点1考点2考点3考点1考点2考点3对应训练2(2019安徽马鞍山第二中学3月模拟)《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一,改编书中一道题目如下:把60个大小相同的面包分给5个人,使毎个人所得面包个数从少到多依次成等差数列,且较少的三份之和等于较多的两份之和,则最多的一份的面包个数为()A.16B.18C.19D.20解析:由题意可得递增的等差数列{an}共5项,设公差为d,又a4+a5=a1+a2+a3,∴2a1+7d=3a1+3d,联立解得a1=8,d=2,∴最多的一份为a5=a1+4d=8+2×4=16.故选A.答案:A由题意可得总和S=5a1+5×42d=5a1+10d=60.考点1考点2考点3函数与方程思想在几何中的应用例3已知Q为椭圆C:𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(ab0)的上顶点,P423,𝑏3是椭圆C上的一点,以PQ为直径的圆经过椭圆C的右焦点F.(1)求椭圆C的方程;(2)若直线l:y=kx+m|𝑘|≤22与椭圆C相交于A,B两点,M为椭圆C上任意一点,且线段OM的中点与线段AB的中点重合,求|OM|的取值范围.考点1考点2考点3解:(1)因为F(c,0),Q(0,b),P423,𝑏3,所以𝐹𝑄=(-c,b),𝐹𝑃=423-𝑐,𝑏3,由题设可知𝐹𝑄·𝐹𝑃=0,则c2-423c+𝑏23=0.①又点P在椭圆C上,所以329𝑎2+𝑏29𝑏2=1,解得a2=4,所以b2+c2=a2=4.②①②联立解得,c2=2,b2=2,故所求椭圆的方程为𝑥24+𝑦22=1.(2)设A,B,M三点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),(x0,y0),由A,B两点在椭圆C上,则𝑥12+2𝑦12=4,𝑥22+2𝑦22=4,③④则由③-④,得(x1+x2)(x1-x2)+2(y1+y2)(y1-y2)=0.⑤由线段OM的中点与线段AB的中点重合,考点1考点2考点3则𝑥1+𝑥2=𝑥0,𝑦1+𝑦2=𝑦0,⑥⑦又k=𝑦2-𝑦1𝑥2-𝑥1,即y2-y1=k(x2-x1),⑧把⑥⑦⑧代入⑤整理,得x0=-2ky0,于是由𝑥0=-2𝑘𝑦0,𝑥02+2𝑦02=4,得𝑥02=4-2𝑦02,𝑦02=22𝑘2+1,所以|OM|2=𝑥02+𝑦02=4-𝑦02=4-22𝑘2+1.因为|k|≤22,所以1≤2k2+1≤2,有1≤22𝑘2+1≤2.所以2≤|OM|2≤3,即|OM|的取值范围为[2,3].考点1考点2考点3考点1考点2考点3对应训练3(2019湖北武汉武钢三中4月调研测试)已知椭圆Γ:𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(ab0)左顶点M-2,0,离心率为22.(1)求椭圆Γ的方程;(2)过N(1,0)的直线AB交椭圆Γ于A、B两点,当𝑀𝐴·𝑀𝐵取得最大值时,求△MAB的面积.考点1考点2考点3解:(1)由已知a=2,𝑐𝑎=22,得c=2,∴a2-b2=2,即4-b2=2,∴b2=2,∴椭圆Γ方程为𝑥24+𝑦22=1.(2)当直线AB与x轴重合时,点M与点A重合,此时𝑀𝐴=0,∴𝑀𝐴·𝑀𝐵=0,当直线AB与x轴不重合时,设直线AB的方程为x=ty+1,设A(x1,y1),B(x2,y2),由𝑥=𝑡𝑦+1,𝑥24+𝑦22=1,得(t2+2)y2+2ty-3=0,显然Δ0,∴y1+y2=-2𝑡𝑡2+2,y1·y2=-3𝑡2+