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2.2函数的零点与方程专项练-2-1.零点存在性定理:如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续曲线,且有f(a)f(b)0,那么函数y=f(x)在区间[a,b]内有零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,此时这个c就是方程f(x)=0的根.2.函数F(x)=f(x)-g(x)的零点就是方程f(x)=g(x)的根,即函数y=f(x)与y=g(x)的图象交点的横坐标.3.判断函数零点个数的方法:(1)利用零点存在性定理判断法;(2)代数法:求方程f(x)=0的实数根;(3)几何法:对于不易求根的方程,将它与函数y=f(x)的图象联系起来,利用函数的性质找出零点或利用两个函数图象的交点求解.在利用函数性质时,可用求导的方法判断函数的单调性.-3-一、选择题二、填空题1.(2019山东潍坊月考)若函数f(x)的唯一零点同时在(0,4),(0,2),(1,2),1,32内,则与f(0)符号相同的是()A.f(4)B.f(2)C.f(1)D.f32答案解析解析关闭由题意得f(x)的零点在1,32内,则f(0)与f(1)符号相同.答案解析关闭C-4-一、选择题二、填空题2.(2019山东莱芜模拟)函数f(x)=ex+lnx的零点所在的大致区间是()A.(-1,0)B.0,12C.12,1D.1,32答案解析解析关闭因为f12=e-ln20,而f18=e18-ln80,所以必在18,12内有一零点.故选B.答案解析关闭B-5-一、选择题二、填空题3.函数f(x)=2x--a的一个零点在区间(1,2)内,则实数a的取值范围是()A.(1,3)B.(1,2)C.(0,3)D.(0,2)2𝑥答案解析解析关闭由条件可知f(1)f(2)0,即(2-2-a)(4-1-a)0,即a(a-3)0,解得0a3.答案解析关闭C-6-一、选择题二、填空题4.(2019山东东营模拟)已知函数(a∈R),若函数f(x)在R上有两个零点,则a的取值范围是()A.(-∞,-1)B.(-∞,0)C.(-1,0)D.[-1,0)f(x)=e𝑥+𝑎,𝑥≤0,3𝑥-1,𝑥0答案解析解析关闭当x0时,f(x)=3x-1有一个零点x=13.当x≤0时,f(x)=ex+a=0只有一个实根,所以a=-ex(x≤0),则-1≤a0.答案解析关闭D-7-一、选择题二、填空题5.已知函数g(x)=f(x)+x+a,若g(x)存在2个零点,则a的取值范围是()A.[-1,0)B.[0,+∞)C.[-1,+∞)D.[1,+∞)f(x)=e𝑥,𝑥≤0,ln𝑥,𝑥0,答案解析解析关闭要使得方程g(x)=f(x)+x+a有两个零点,等价于方程f(x)=-x-a有两个实根,即函数y=f(x)的图象与直线y=-x-a的图象有两个交点,从图象可知,必须使得直线y=-x-a位于直线y=-x+1的下方,所以-a≤1,即a≥-1.故选C.答案解析关闭C-8-一、选择题二、填空题6.(2019河北武邑中学调研二,理4)已知实数a,b满足2a=3,3b=2,则函数f(x)=ax+x-b的零点所在的区间是()A.(-2,-1)B.(-1,0)C.(0,1)D.(1,2)答案解析解析关闭∵实数a,b满足2a=3,3b=2,∴a=log231,0b=log321.∵函数f(x)=ax+x-b,∴f(x)=(log23)x+x-log32单调递增.∵f(0)=1-log320,f(-1)=log32-1-log32=-10,∴f(x)=ax+x-b的零点所在的区间是(-1,0),故选B.答案解析关闭B-9-一、选择题二、填空题7.(2019湘赣十四校联考二,理10)已知f(x)=x+1,g(x)=lnx,若f(x1)=g(x2),则x2-x1的最小值为()A.1B.2+ln2C.2-ln2D.2答案解析解析关闭设f(x1)=g(x2)=t,所以x1=t-1,x2=et,所以x2-x1=et-t+1,令h(t)=et-t+1,则h'(t)=et-1,所以h(t)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,所以h(t)min=h(0)=2.答案解析关闭D-10-一、选择题二、填空题8.(2019湖南六校联考,理10)若x1是方程xex=1的解,x2是方程xlnx=1的解,则x1x2等于()A.eB.1C.1eD.-1答案解析解析关闭考虑到x1,x2是函数y=ex、函数y=lnx与函数y=1𝑥的图象的公共点A,B的横坐标,而Ax1,1𝑥1,Bx2,1𝑥2两点关于y=x对称,所以kAB=-1,1𝑥2-1𝑥1𝑥2-𝑥1=-1,化简得x1x2=1.答案解析关闭B-11-一、选择题二、填空题9.若关于x的方程2x3-3x2+a=0在区间[-2,2]上仅有一个实根,则实数a的取值范围为()A.(-4,0]∪[1,28)B.[-4,28]C.[-4,0)∪(1,28]D.(-4,28)答案解析解析关闭设函数f(x)=2x3-3x2+a,f'(x)=6x2-6x=6x(x-1),x∈[-2,2].令f'(x)0,则x∈[-2,0)∪(1,2],令f'(x)0,则x∈(0,1),∴f(x)在(0,1)上单调递减,在[-2,0),(1,2]上单调递增.又f(-2)=-28+a,f(0)=a,f(1)=-1+a,f(2)=4+a,∴-28+a≤0-1+a或a0≤4+a,即a∈[-4,0)∪(1,28].答案解析关闭C-12-一、选择题二、填空题10.(2019湖南六校联考,文12)已知函数f(x)=lnx-𝑎𝑥+a在x∈[1,e]上有两个零点,则实数a的取值范围是()A.e1-e,-1B.e1-e,1C.e1-e,-1D.[-1,e)答案解析解析关闭∵f'(x)=1𝑥+𝑎𝑥2=𝑥+𝑎𝑥2,x∈[1,e].当a≥-1时,f'(x)≥0,f(x)在[1,e]上单调递增,不合题意.当a≤-e时,f'(x)≤0,f(x)在[1,e]上单调递减,也不合题意.当-ea-1时,则x∈[1,-a)时,f'(x)0,f(x)在[1,-a)上单调递减;当x∈(-a,e]时,f'(x)0,f(x)在(-a,e]上单调递增.又f(1)=0,所以f(x)在x∈[1,e]上有两个零点,只需f(e)=1-𝑎e+a≥0即可,解得e1-e≤a-1.综上,a的取值范围是e1-e,-1.答案解析关闭A-13-一、选择题二、填空题11.已知函数f(x)=-x2+2ex+m-1,g(x)=x+(x0),若方程g(x)-f(x)=0有两个相异实根,则实数m的取值范围为()A.(-e2+2e+1,+∞)B.(-∞,-e2+2e+1)C.(-e2+1,2e)D.(2e-1,e2+1)𝑒2𝑥答案解析解析关闭若g(x)-f(x)=0有两个相异的实根,即函数y=g(x)与y=f(x)的图象有两个不同的交点,作出g(x)=x+e2𝑥(x0)的大致图象.∵f(x)=-x2+2ex+m-1=-(x-e)2+m-1+e2,其图象的对称轴为x=e,开口向下,最大值为m-1+e2.故当m-1+e22e,即m-e2+2e+1时,y=g(x)与y=f(x)的图象有两个交点,即g(x)-f(x)=0有两个相异实根.∴m的取值范围是(-e2+2e+1,+∞).答案解析关闭A-14-一、选择题二、填空题12.(2019浙江卷,9)设a,b∈R,函数若函数y=f(x)-ax-b恰有3个零点,则()A.a-1,b0B.a-1,b0C.a-1,b0D.a-1,b0f(x)=𝑥,𝑥0,13𝑥3-12(𝑎+1)𝑥2+𝑎𝑥,𝑥≥0.答案C-15-一、选择题二、填空题解析当x0时,由x=ax+b,得x=𝑏1-𝑎,最多一个零点取决于x=𝑏1-𝑎与0的大小,所以关键研究当x≥0时,方程13x3-12(a+1)x2+ax=ax+b的解的个数,令b=13x3-12(a+1)x2=13x2x-32(a+1)=g(x).画出三次函数g(x)的图象如图所示,-16-一、选择题二、填空题可以发现分类讨论的依据是32(a+1)与0的大小关系.①若32(a+1)0,即a-1时,x=0处为偶重零点反弹,x=32(a+1)为奇重零点穿过,显然在x≥0时g(x)单调递增,故与y=b最多只能有一个交点,不符合题意.②若32(a+1)=0,即a=-1,0处为3次零点穿过,也不符合题意.③若32(a+1)0,即a-1时,x=0处为偶重零点反弹,x=32(a+1)为奇重零点穿过,当b0时g(x)与y=b可以有两个交点,且此时要求x=𝑏1-𝑎0,故-1a1,b0,选C.-17-一、选择题二、填空题13.(2019北京朝阳一模,理12)能说明“函数f(x)的图象在区间[0,2]上是一条连续不断的曲线,若f(0)·f(2)0,则f(x)在(0,2)内无零点”为假命题的一个函数是.答案解析解析关闭f(x)=(x-1)2,f(0)=1,f(2)=1,满足f(0)·f(2)0,但f(x)在(0,2)内有零点x=1.答案解析关闭f(x)=(x-1)2(答案不唯一,合理即可)-18-一、选择题二、填空题14.(2019湘赣十四校联考二,文15)已知函数有且只有一个零点,则实数a的取值范围是.f(x)=𝑎𝑥2+2𝑥+𝑎(𝑥≤0),𝑎𝑥-3(𝑥0)答案解析解析关闭当a0时,函数y=ax-3(x0)必有一个零点,又因为-1𝑎0,故a-1𝑎2+2-1𝑎+a0,解之可得a1;若a=0时,f(x)=2𝑥(𝑥≤0),-3(𝑥0)恰有一个零点;当a0时,若x0时,则f(x)=ax-30无零点,若x≤0,则f(x)=ax2+2x+a,此时,f(x)恒小于0,所以当a0时,f(x)无零点,故答案为a=0或a1.答案解析关闭a=0或a1-19-一、选择题二、填空题15.已知f(x)是R上的偶函数,且若关于x的方程f2(x)-af(x)=0有三个不相等的实数根,则a的取值范围是.f(x)=2𝑥,0≤𝑥≤1,(12)𝑥+1,𝑥1,答案解析解析关闭f(x)是R上的偶函数,且f(x)=2𝑥,0≤𝑥≤1,(12)𝑥+1,𝑥1,作出f(x)的函数图象如图所示.由f2(x)-af(x)=0可得f(x)=0或f(x)=a,由图象可得f(x)=0只有一解x=0,故f(x)=a有两解,∴0a≤1或32≤a≤2.答案解析关闭(0,1]∪32,2-20-一、选择题二、填空题16.(2019山东菏泽一模,理16)已知函数f(x)=log2x,g(x)=𝑥+𝑎-𝑥(a0),若对∀x1∈{x|g(x)=𝑥+𝑎-𝑥},∃x2∈[4,16],使g(x1)=f(x2)成立,则实数a的取值范围是.答案解析解析关闭结合题意可得log24=2≤f(x)≤log216=4,要使得对∀x1∈{x|g(x)=𝑥+𝑎-𝑥},∃x2∈[4,16],使g(x1)=f(x2)成立,则要求g(x)的值域在[2,4]内,对g(x)求导得g'(x)=𝑎-𝑥-𝑥2·𝑥·𝑎-𝑥,当g'(x)0,解得x𝑎2,结合该函数的定义域为[0,a],可知g(x)在0,𝑎2单调递增,在𝑎2,a单调递减,故g(x)在x=𝑎2取到最大值,在x=0取到最小值,所以需要满足g𝑎2≤4,且g(0)≥2,得到𝑎2+𝑎2≤4,𝑎≥2,解得a∈[4,8].答案解析关闭[4,8]