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一、分类讨论思想-2-从近五年高考试题来看,分类讨论思想在高考试题中频繁出现,现已成为高考数学的一个热点,也是高考的难点.高考中经常会有几道题,解题思路直接依赖于分类讨论,特别在解答题中(尤其导数与函数)常有一道分类讨论求解的把关题,选择题、填空题也会出现不同情形的分类讨论题.-3-1.分类讨论的思想含义分类讨论,就是当问题所给的对象不能进行统一研究时,就需要对研究对象按某个标准分类,然后对每一类分别研究得出每一类的结论,最后综合各类结果得到整个问题的结果.实质上,分类讨论是“化整为零,各个击破,再积零为整”的数学策略.2.分类讨论的原则(1)不重不漏;(2)标准要统一,层次要分明;(3)能不分类的要尽量避免,决不无原则地讨论.3.分类讨论的常见类型(1)由数学概念而引起的分类讨论;(2)由数学运算要求而引起的分类讨论;(3)由性质、定理、公式的限制而引起的分类讨论;(4)由图形的不确定性而引起的分类讨论;(5)由参数的变化而引起的分类讨论;(6)由实际意义引起的讨论.-4-应用一由数的概念引起的分类讨论例1(2019江苏卷,13)已知tan𝛼tan𝛼+π4=-23,则sin2α+π4的值是.答案解析解析关闭由tan𝛼tan𝛼+π4=tan𝛼tan𝛼+11-tan𝛼=tan𝛼(1-tan𝛼)tan𝛼+1=-23,得3tan2α-5tanα-2=0,解得tanα=2或tanα=-13.又sin2𝛼+π4=sin2αcosπ4+cos2αsinπ4=22(sin2α+cos2α)=22×2sin𝛼cos𝛼+cos2𝛼-sin2𝛼sin2𝛼+cos2𝛼=22×2tan𝛼+1-tan2𝛼tan2𝛼+1.(*)①当tanα=2时,(*)式=22×2×2+1-2222+1=22×15=210;②当tanα=-13时,(*)式=22×2×-13+1--132-132+1=22×13-19109=210.综上所述,sin2𝛼+π4=210.答案解析关闭210-5-对点训练1(2019湖北武汉高三模拟,文1)在同一直角坐标系中,函数f(x)=xa(x≥0),g(x)=-logax的图象可能是()答案解析解析关闭当0a1时,函数f(x)=xa(x≥0)为增函数,且图象变化越来越平缓,g(x)=-logax为增函数.当a1时,函数f(x)=xa(x≥0)为增函数,且图象变化越来越快,g(x)=-logax为减函数.综上,只有D符合.答案解析关闭D-6-应用二由数学运算、性质、定理、公式引起的分类讨论例2设等比数列{an}的前n项和为Sn.若S3+S6=2S9,则数列的公比q是()A.-332B.332C.-432D.432答案解析解析关闭若q=1,则有S3=3a1,S6=6a1,S9=9a1,但a1≠0,即得S3+S6≠2S9,与题设矛盾,故q≠1.又依题意S3+S6=2S9,即𝑎1(1-𝑞3)1-𝑞+𝑎1(1-𝑞6)1-𝑞=2·𝑎1(1-𝑞9)1-𝑞,化简,得q3(2q6-q3-1)=0,即(2q3+1)(q3-1)=0.因为q≠1,所以q3-1≠0,则2q3+1=0,解得q=-432.答案解析关闭C-7-思维升华1.在中学数学中,一次函数、二次函数、指数函数、对数函数的单调性,基本不等式,等比数列的求和公式等在不同的条件下有不同的结论,或者在一定的限制条件下才成立,应根据题目条件确定是否进行分类讨论.2.有些分类讨论的问题是由运算的需要引发的.比如除以一个数时,这个数能否为零的讨论;解方程及不等式时,两边同乘一个数,这个数是零、是正数还是负数的讨论;二次方程运算中对两根大小的讨论;差值比较中的差的正负的讨论;有关去绝对值或根号问题中等价变形引发的讨论等.-8-对点训练2若关于x的不等式(a-2)x2+2(a-2)·x-40对一切x∈R恒成立,则a的取值范围是()A.(-∞,2]B.[-2,2]C.(-2,2]D.(-∞,-2)答案解析解析关闭当a-2=0即a=2时,不等式为-40,恒成立,所以a=2满足题意;当a-2≠0时,则a满足𝑎-20,𝛥0,解得-2a2.所以a的取值范围是(-2,2].答案解析关闭C-9-应用三根据字母的取值情况分类例3(2019安徽皖西南名校高三联考,理21)已知函数f(x)=ex,g(x)=2asinx-be-x(a,b∈R).(1)当a=0时,求函数h(x)=f(x)-g(x)的极小值点;(2)当b=-1时,若f(x)g(x)对一切x∈(0,π)恒成立,求实数a的取值范围.-10-解(1)当a=0时,h(x)=f(x)-g(x)=ex+be-x,则h'(x)=ex-be-x=(e𝑥)2-𝑏e𝑥.当b≤0时,h'(x)=(e𝑥)2-𝑏e𝑥≥0,所以h(x)在(-∞,+∞)内单调递增,故h(x)无极值点;当b0时,由h'(x)=(e𝑥)2-𝑏e𝑥=0,得x=12lnb,当x12lnb时,h'(x)0,所以h(x)在-∞,12lnb内单调递减;当x12lnb时,h'(x)0,所以h(x)在12lnb,+∞内单调递增.所以h(x)的极小值点为12lnb.-11-(2)当b=-1时,f(x)g(x)可化为ex2asinx+e-x,即ex-e-x-2asinx0.令p(x)=ex-e-x-2asinx.当a≤0时,对于一切x∈(0,π),有ex-e-x0,-2asinx≥0,所以p(x)0恒成立.下面考虑a0时的情况.p'(x)=ex+e-x-2acosx.当0a≤1时,对于一切x∈(0,π),有ex+e-x≥2,2acosx≤2,所以p'(x)≥0恒成立,所以p(x)在(0,π)内是增函数,所以p(x)p(0)=0,符合题意;当a1时,p'(0)=2-2a0,p'π2=eπ2+e-π20,由零点存在性定理可知,一定存在x0∈0,π2,使得p'(x0)=0,且当x∈(0,x0)时,p'(x)0,所以在(0,x0)内p(x)单调递减,从而有:x∈(0,x0)时,p(x)p(0)=0,不符合题意.综上可知,a的取值范围是(-∞,1].-12-思维升华含有参数的分类讨论问题主要包括:(1)含有参数的不等式的求解;(2)含有参数的方程的求解;(3)函数解析式中含参数的最值与单调性问题;(4)二元二次方程表示曲线类型的判定等.-13-对点训练3若函数f(x)=aex-x-2a有两个零点,则实数a的取值范围是()C.(-∞,0)D.(0,+∞)A.-∞,1eB.0,1e答案解析解析关闭函数f(x)=aex-x-2a的导函数f'(x)=aex-1,当a≤0时,f'(x)≤0恒成立,函数f(x)在R内单调,不可能有两个零点;当a0时,令f'(x)=0,得x=ln1𝑎,函数在-∞,ln1𝑎内单调递减,在ln1𝑎,+∞内单调递增,所以f(x)的最小值为fln1𝑎=1-ln1𝑎-2a=1+lna-2a.令g(a)=1+lna-2a(a0),则g'(a)=1𝑎-2,当a∈0,12时,g(a)单调递增,当a∈12,+∞时,g(a)单调递减,所以g(a)max=g12=-ln20.所以f(x)的最小值fln1𝑎0,函数f(x)=aex-x-2a有两个零点.综上实数a的取值范围是(0,+∞),故选D.答案解析关闭D-14-1.简化分类讨论的策略:(1)消去参数;(2)整体换元;(3)变更主元;(4)考虑反面;(5)整体变形;(6)数形结合;(7)缩小范围等.2.分类讨论遵循的原则是:不遗漏、不重复,科学地划分,分清主次,不越级讨论.