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一、函数与方程思想-2-函数与方程思想,渗透到中学数学的各个领域,是历年高考考查的重点和热点.一般通过函数与导数、三角函数、数列及解析几何等知识从知识运用的交汇处,从思想方法和相关能力的结合处进行考查.-3-1.函数的思想:是用运动和变化的观点,分析和研究数学中的数量关系,是对函数概念的本质认识,建立函数关系或构造函数,运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题,从而使问题获得解决.2.方程的思想:就是分析数学问题中变量间的等量关系,建立方程或方程组,或者构造方程,通过解方程或方程组,或者运用方程的性质去分析、转化问题,使问题获得解决.方程思想是动中求静,研究运动中的等量关系.3.函数思想与方程思想的联系:函数思想与方程思想密切相关,对于函数y=f(x),当y=0时,转化为方程f(x)=0,也可以把函数y=f(x)看作二元方程y-f(x)=0.函数与方程的问题可相互转化.求方程f(x)=0的解就是求函数y=f(x)的零点.求方程f(x)=g(x)的解的问题,可以转化为求函数y=f(x)-g(x)与x轴的交点问题.-4-应用一函数思想与方程思想的转换例1设函数f(x)=,g(x)=ax2+bx(a,b∈R,a≠0),若y=f(x)的图象与y=g(x)的图象有且仅有两个不同的公共点A(x1,y1),B(x2,y2),则下列判断正确的是()A.当a0时,x1+x20,y1+y20B.当a0时,x1+x20,y1+y20C.当a0时,x1+x20,y1+y20D.当a0时,x1+x20,y1+y201𝑥答案解析解析关闭在同一坐标系中分别画出两个函数的图象,当a0时,要想满足条件,如图,作出点A关于原点的对称点C,则C点坐标为(-x1,-y1).由图象知-x1x2,-y1y2,即x1+x20,y1+y20,同理当a0时,则有x1+x20,y1+y20,故答案选B.答案解析关闭B-5-思维升华求两个函数f(x),g(x)图象的交点问题通常转化为求函数F(x)=f(x)-g(x)的零点问题.而函数F(x)的零点问题也可以转化为两个函数的交点问题.-6-对点训练1(2019湖南怀化高三一模,文12)已知函数f(x)=|lnx|-ax(x0,0a1)的两个零点为x1,x2,则()A.0x1x21B.x1x2=1C.1x1x2eD.x1x2e答案解析解析关闭由题意,作出函数y=|lnx|,y=ax的图象,不妨设x1x2,则0x11x2,从而lnx10,lnx20,所以-lnx1=𝑎𝑥1,lnx2=𝑎𝑥2,故ln(x1x2)=lnx1+lnx2=-𝑎𝑥1+𝑎𝑥20,所以0x1x21.故选A.答案解析关闭A-7-应用二函数与方程思想在解三角形中的应用例2为了竖一块广告牌,要制造三角形支架,如图,要求∠ACB=60°,BC的长度大于1m,且AC比AB长m,为了稳固广告牌,要求AC越短越好,则AC最短为()A.1+32mB.2mC.(1+3)mD.(2+3)m12答案解析解析关闭设BC的长度为xm,AC的长度为ym,则AB的长度为𝑦-12m.在△ABC中,由余弦定理,得AB2=AC2+BC2-2AC·BCcos∠ACB,即𝑦-122=y2+x2-2yx×12,化简得y(x-1)=x2-14.∵x1,∴x-10,∴y=𝑥2-14𝑥-1,即y=(x-1)+34(𝑥-1)+2≥3+2,当且仅当x-1=34(𝑥-1)时,取“=”号,因此当x=1+32时,y有最小值2+3.答案解析关闭D-8-思维升华函数思想的实质是使用函数方法解决数学问题(不一定只是函数问题),构造函数解题是函数思想的一种主要体现.方程思想的本质是根据已知得出方程(组),通过解方程(组)解决问题.-9-对点训练2在△ABC中,D为BC边上一点,DC=2BD,AD=2,∠ADC=45°,若AC=2AB,则BD等于()A.2+3B.4C.2+5D.3+5答案解析解析关闭在△ADC中,AC2=AD2+DC2-2AD·DC·cos45°=2+DC2-22·DC·22=2+DC2-2DC.在△ABD中,AB2=BD2+AD2-2BD·AD·cos135°=BD2+2+22·BD·22=2+BD2+2BD.∵DC=2BD,AC=2AB,∴2(2+BD2+2BD)=2+(2BD)2-2(2BD),整理,得BD2-4BD-1=0,解得BD=2+5(BD=2-5舍去).答案解析关闭C-10-应用三函数与方程思想在不等式中的应用例3(2019安徽马鞍山二中高三模拟,文12)已知函数f(x)=-𝑥2+3𝑎𝑥-2𝑎+2e,0𝑥1,ln𝑥+e𝑥,𝑥≥1,g(x)=2ax-2a+e,若存在x0∈(0,+∞),使得f(x0)g(x0),则实数a的取值范围是()A.(-∞,1-e)B.1+e2,+∞C.(-∞,1-e)∪1+e2,+∞D.1+e2,+∞答案解析解析关闭设h(x)=f(x)-g(x),由题意知h(x)0在(0,+∞)上有解.当0x1时,-x2+ax+e0,即ax-e𝑥.设m(x)=x-e𝑥,则m(x)在(0,1)上单调递增,∴m(x)m(1)=1-e.∴a1-e.当x=1时,显然h(1)=0,不符合题意;当x1时,显然f(x)=lnx+ex是增函数,且f(1)=e.∵g(1)=e,且f'(1)=1+e,故当2a≤1+e时,f(x)g(x)在(1,+∞)上恒成立.当2a1+e时,f(x)g(x)在(1,+∞)上有解,符合题意.综上,a的取值范围是(-∞,1-e)∪1+e2,+∞.故选C.答案解析关闭C-11-思维升华1.在解决不等式问题时,一种最重要的思想方法就是构造适当的函数,利用函数的图象和性质解决问题.2.函数f(x)0或f(x)0恒成立,一般可转化为f(x)min0或f(x)max0.已知恒成立求参数范围可先分离参数,再利用函数最值求解.-12-对点训练3(2019四川凉山高三二诊,文12)若x∈(0,+∞),≥x-lnx+a恒成立,则a的最大值为()A.1B.C.0D.-e𝑒𝑥−1𝑥1𝑒答案解析解析关闭设t=x-lnx,则e𝑥-1𝑥=et-1,原不等式等价于et-1-t≥a恒成立.设y=x-lnx,y'=1-1𝑥是单调递增的,零点为x=1,y在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,函数y的最小值为1,故t≥1,f(t)=et-1-t,f'(t)=et-1-1,零点是t=1,f(t)在[1,+∞)上单调递增,故f(t)min=0,故a≤0.故选C.答案解析关闭C-13-应用四函数与方程思想在数列中的应用例4若正项递增等比数列{an}满足1+(a2-a4)+λ(a3-a5)=0(λ∈R),则a6+λa7的最小值为()A.-2B.-4C.2D.4答案解析解析关闭设正项递增等比数列{an}的公比为q,则q1.∵1+(a2-a4)+λ(a3-a5)=0,∴1=(a4-a2)+λq(a4-a2)=(1+λq)(a4-a2).∴1+λq=1𝑎4-𝑎2,a6+λa7=a6(1+λq)=𝑎6𝑎4-𝑎2=𝑞4𝑞2-1.令g(q)=𝑞4𝑞2-1(q1),g'(q)=2𝑞3(𝑞2-2)(𝑞2-1)2.分析可得:当1q2时,g'(q)0,g(q)在(0,2)内为减函数,当q2时,g'(q)0,g(q)在(2,+∞)内为增函数,则当q=2时,g(q)取得最小值,此时g(2)=4,∴a6+λa7的最小值为4.答案解析关闭D-14-思维升华因为数列是自变量为正整数的函数,所以根据题目条件构造函数关系,把求式子最小值问题转化为求函数的最值问题是常用的解题思路.-15-对点训练4已知在数列{an}中,前n项和为Sn,且最大值为()A.-3B.-1C.3D.1Sn=𝑛+23an,则𝑎𝑛𝑎𝑛-1的答案解析解析关闭∵Sn=𝑛+23an,∴当n≥2时,an=Sn-Sn-1=𝑛+23an-𝑛+13an-1,可化为𝑎𝑛𝑎𝑛-1=𝑛+1𝑛-1=1+2𝑛-1(n≥2).由函数y=2𝑥-1在(1,+∞)内单调递减,可得𝑎𝑛𝑎𝑛-1在n=2处,2𝑛-1取得最大值2.∴𝑎𝑛𝑎𝑛-1的最大值为3.答案解析关闭C-16-应用五函数与方程思想在导数中的应用例5(2019河北衡水高三模拟,文21)已知函数f(x)=2lnx+x2-ax,a∈R.(1)设函数f(x)在x=x0处的切线方程为y=g(x),若函数y=f(x)-g(x)是(0,+∞)上的单调增函数,求x0的值;(2)是否存在一条直线与函数y=f(x)的图象相切于两个不同的点?并说明理由.12-17-解(1)依题意,切线方程为y=f'(x0)(x-x0)+f(x0)(x00),从而g(x)=f'(x0)(x-x0)+f(x0)(x00).记p(x)=f(x)-g(x),则p(x)=f(x)-f(x0)-f'(x0)(x-x0)在(0,+∞)上为单调增函数,所以p'(x)=f'(x)-f'(x0)≥0在(0,+∞)上恒成立,即p'(x)=2𝑥−2𝑥0+x-x0≥0在(0,+∞)上恒成立.变形得x+2𝑥≥x0+2𝑥0在(0,+∞)上恒成立,因为x+2𝑥≥2𝑥·2𝑥=22(当且仅当x=2时,等号成立),所以22≥x0+2𝑥0,从而(𝑥0-2)2≤0,所以x0=2.-18-(2)假设存在一条直线与函数f(x)的图象有两个不同的切点T1(x1,y1),T2(x2,y2),不妨设0x1x2,则在T1处切线l1的方程为y-f(x1)=f'(x1)(x-x1),在T2处切线l2的方程为y-f(x2)=f'(x2)(x-x2).因为l1,l2为同一直线,所以𝑓'(𝑥1)=𝑓'(𝑥2),𝑓(𝑥1)-𝑥1𝑓'(𝑥1)=𝑓(𝑥2)-𝑥2𝑓'(𝑥2).即2𝑥1+𝑥1-𝑎=2𝑥2+𝑥2-𝑎,2ln𝑥1+12𝑥12-𝑎𝑥1-𝑥1(2𝑥1+𝑥1-𝑎)=2ln𝑥2+12𝑥22-𝑎𝑥2-𝑥2(2𝑥2+𝑥2-𝑎).-19-整理,得𝑥1𝑥2=2,2ln𝑥1-12𝑥12=2ln𝑥2-12𝑥22.消去x2得,2ln𝑥122+2𝑥12−𝑥122=0.①令t=𝑥122,由0x1x2与x1x2=2,得t∈(0,1),记p(t)=2lnt+1𝑡-t,则p'(t)=2𝑡−1𝑡2-1=-(𝑡-1)2𝑡20,所以p(t)为(0,1)上的单调递减函数,所以p(t)p(1)=0.从而①式不可能成立,所以假设不成立,从而不存在一条直线与函数f(x)的图象有两个不同的切点.-20-思维升华本题第二步是通过假设存在一条直线与函数f(x)的图象有两个不同的切点T1(x1,y1),T2(x2,y2),分别写出T1,T2处的切线方程l1,l2,消去一个变量x2,根据方程构造函数,利用导数研究函数的最小值大于零,否定假设,得出结论.根据导数的几何意义求解参数,一般都是解方程,构造新函数,然后利用导数研究函数的最值、极值等.-21-对点训练5(2019湖北高三调研,文12)已知函数的图象上存在两个点关于y轴对称,则实数m的取值范围为()A.(1,+∞)B.(2,+∞)C.(1,2)D.(0,1)f(x)=e𝑥+1e𝑥,𝑥0,-𝑥2+𝑚,𝑥0答案解析解析关闭函数f(x)=e𝑥+1e𝑥,𝑥0,-𝑥2+𝑚,𝑥0的图象上存在两个点关于y轴对称,即y=-x2+m的图象关于y轴对称后和y=ex+1e𝑥有交点,即-x2+m=ex+1e𝑥有正根,即m=x2+ex+1e𝑥有正根.令g(x)=x2+ex+1e𝑥,g'(x)=2x+ex-1e𝑥,所以g'(x)为单调递增函数,g'(0)=1-1=0,所以g'(x)0,所以g(x)单调递增,g(x)m