【备战2013】高考数学-5年高考真题精选与最新模拟-专题05-三角函数-理

【备战2013】高考数学5年高考真题精选与最新模拟专题05三角函数理【2012高考真题精选】1．（2012·湖北卷）函数f(x)＝xcosx2在区间（0,4]上的零点个数为()A．4B．5C．6D．72．（2012·辽宁卷）已知sinα－cosα＝2，α∈(0，π)，则tanα＝()A．－1B．－22C.22D．13．（2012·福建卷）某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：(1)sin213°＋cos217°－sin13°cos17°；(2)sin215°＋cos215°－sin15°cos15°；(3)sin218°＋cos212°－sin18°cos12°；(4)sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos48°；(5)sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos55°.(1)请从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．【解析】解：解法一：(1)选择(2)式，计算如下：4．（2012·重庆卷）设f(x)＝4cosωx－π6sinωx－cos(2ωx＋π)，其中ω＞0.(1)求函数y＝f(x)的值域；(2)若f(x)在区间－3π2，π2上为增函数，求ω的最大值．【解析】解：(1)f(x)＝432cosωx＋12sinωxsinωx＋cos2ωx＝23sinωxcosωx＋2sin2ωx＋cos2ωx－sin2ωx＝3sin2ωx＋1.因－1≤sin2ωx≤1，所以函数y＝f(x)的值域为（1－3，1＋3]．(2)因y＝sinx在每个闭区间2kπ－π2，2kπ＋π2(k∈Z)上为增函数，故f(x)＝3sin2ωx＋1(ω＞0)在每个闭5．（2012·广东卷）已知函数f(x)＝2cosωx＋π6(其中ω0，x∈R)的最小正周期为10π.(1)求ω的值；(2)设α，β∈0，π2，f5α＋53π＝－65，f5β－56π＝1617，求cos(α＋β)的值．7．（2012·湖南卷）函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的导函数y＝f′(x)的部分图象如图1－5所示，其中，P为图象与y轴的交点，A，C为图象与x轴的两个交点，B为图象的最低点．(1)若φ＝π6，点P的坐标为0，332，则ω＝________；(2)若在曲线段ABC与x轴所围成的区域内随机取一点，则该点在△ABC内的概率为________．8．（2012·北京卷）已知函数f(x)＝－sinx.(1)求f(x)的定义域及最小正周期；(2)求f(x)的单调递增区间．9．（2012·山东卷）已知向量m＝(sinx,1)，n＝3Acosx，A2cos2x(A0)，函数f(x)＝m·n的最大值为6.(1)求A；(2)将函数y＝f(x)的图象向左平移π12个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，求g(x)在0，5π24上的值域．【解析】解：(1)f(x)＝m·n＝3Asinxcosx＋A2cos2x＝A32sin2x＋12cos2x＝Asin2x＋π6.因为A0，由题意知，A＝6.(2)由(1)f(x)＝6sin2x＋π6.将函数y＝f(x)的图象向左平移π12个单位后得到y＝6sin2x＋π12＋π6＝6sin2x＋π3的图象；再将得到图象上各点横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到y＝6sin4x＋π3的图象．因此，g(x)＝6sin4x＋π3.因为x∈0，5π24，所以4x＋π3∈π3，7π6.故g(x)在0，5π24上的值域为[－3,6]．【考点定位】三角函数的图象与性质10．（2012·陕西卷）函数f(x)＝Asinωx－π6＋1(A0，ω0)的最大值为3，其图像相邻两条对称轴之间的距离为π2.(1)求函数f(x)的解析式；(2)设α∈0，π2，fα2＝2，求α的值．11．(2012·上海卷)函数f(x)＝2cosxsinx－1的值域是________．【答案】.－52，－32【解析】考查二阶矩阵和三角函数的值域，以矩阵为载体，实为考查三角函数的值域，易错点是三角函数的化简．f(x)＝－2－sinxcosx＝－2－12sin2x，又－1≤sin2x≤1，所以f(x)＝－2－12sin2x的值域为－52，－32.12．（2012·陕西卷）函数f(x)＝Asinωx－π6＋1(A0，ω0)的最大值为3，其图像相邻两条对称轴之间的距离为π2.(1)求函数f(x)的解析式；(2)设α∈0，π2，fα2＝2，求α的值．【解析】解：(1)∵函数f(x)的最大值为3，∴A＋1＝3，即A＝2，∵函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为π2，∴最小正周期T＝π，∴ω＝2，故函数f(x)的解析式为y＝2sin2x－π6＋1.(2)∵fα2＝2sinα－π6＋1＝2，即sinα－π6＝12，∵0απ2，∴－π6α－π6π3，∴α－π6＝π6，故α＝π3.【考点定位】函数sin()yAx的图象与性质13．（2012·安徽卷）设函数f(x)＝22cos2x＋π4＋sin2x.(1)求f(x)的最小正周期；(2)设函数g(x)对任意x∈R，有gx＋π2＝g(x)，且当x∈0，π2时，g(x)＝12－f(x)．求g(x)在区间（－π，0]上的解析式．14．（2012·北京卷）已知函数f(x)＝－sinx.(1)求f(x)的定义域及最小正周期；(2)求f(x)的单调递增区间．15．（2012·全国卷）当函数y＝sinx－3cosx(0≤x2π)取得最大值时，x＝________.【答案】5π6【解析】本小题主要考查利用三角函数的两角和与差公式变形求最值，解题的突破口为化为振幅式并注意定义域．函数可化为y＝2sinx－π3，由x∈（0,2π)得x－π3∈－π3，5π3，∴x－π3＝π2时，即x＝5π6时，函数有最大值2，故填5π6.【考点定位】函数sin()yAx的图象与性质16．（2012·湖北卷）已知向量a＝(cosωx－sinωx，sinωx)，b＝(－cosωx－sinωx,23cosωx)．设函数f(x)＝a·b＋λ(x∈R)的图象关于直线x＝π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈12，1.(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)若y＝f(x)的图象经过点π4，0，求函数f(x)在区间0，3π5上的取值范围．17．（2012·课标全国卷）已知ω0，函数f(x)＝sinωx＋π4在π2，π单调递减，则ω的取值范围是()A.12，54B.12，34C.0，12D．(0,2]【答案】A【解析】因为当ω＝1时，函数y＝sinωx＋π4＝sinx＋π4在π2，π上是单调递减的，故排除B，C项；当ω＝2时，函数y＝sinωx＋π4＝sin2x＋π4在π2，π上不是单调递减的，故排除D项．故选A.18．（2012·浙江卷）把函数y＝cos2x＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图象是()19．（2012·重庆卷）设tanα，tanβ是方程x2－3x＋2＝0的两根，则tan(α＋β)的值为()A．－3B．－1C．1D．3【答案】A【解析】因为tanα，tanβ是方程x2－3x＋2＝0的两根，所以tanα＋tanβ＝3，tanα·tanβ＝2，所以tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ＝31－2＝－3.20．（2012·课标全国卷）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，acosC＋3asinC－b－c＝0.(1)求A；(2)若a＝2，△ABC的面积为3，求b，c.【解析】解：(1)由acosC＋3asinC－b－c＝0及正弦定理得sinAcosC＋3sinAsinC－sinB－sinC＝0.因为B＝π－A－C，所以3sinAsinC－cosAsinC－sinC＝0.由于sinC≠0，所以sinA－π6＝12.又0Aπ，故A＝π3.(2)△ABC的面积S＝12bcsinA＝3，故bc＝4.而a2＝b2＋c2－2bccosA，故b2＋c2＝8.解得b＝c＝2.21．（2012·重庆卷）设f(x)＝4cosωx－π6sinωx－cos(2ωx＋π)，其中ω＞0.(1)求函数y＝f(x)的值域；(2)若f(x)在区间－3π2，π2上为增函数，求ω的最大值．22．（2012·广东卷）已知函数f(x)＝2cosωx＋π6(其中ω0，x∈R)的最小正周期为10π.(1)求ω的值；(2)设α，β∈0，π2，f5α＋53π＝－65，f5β－56π＝1617，求cos(α＋β)的值．【解析】解：(1)由2πω＝10π得ω＝15.(2)∵－65＝f5α＋53π＝2cos155α＋53π＋π6＝2cosα＋π2＝－2sinα，1617＝f5β－56π＝2cos155β－56π＋π6＝2cosβ，∴sinα＝35，cosβ＝817.∵α，β∈0，π2，∴cosα＝1－sin2α＝1－352＝45，sinβ＝1－cos2β＝1－8172＝1517.∴cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝45×817－35×1517＝－1385.23．（2012·安徽卷）在平面直角坐标系中，点O(0,0)，P(6,8)，将向量OP→绕点O按逆时针方向旋转3π4后得向量OQ→，则点Q的坐标是()A．(－72，－2)B．(－72，2)C．(－46，－2)D．(－46，2)【答案】A【解析】本题考查三角函数的和角公式，点的坐标．设∠POx＝α，因为P()6，8，所以OP→＝(10cosα，10sinα)⇒cosα＝35，sinα＝45，则OQ→＝10cosθ＋3π4，10cosθ＋3π4＝(－72，－2)．故答案为A.24．（2012·安徽卷）设函数f(x)＝22cos2x＋π4＋sin2x.(1)求f(x)的最小正周期；(2)设函数g(x)对任意x∈R，有gx＋π2＝g(x)，且当x∈0，π2时，g(x)＝12－f(x)．求g(x)在区间（－π，0]上的解析式．【解析】解：(1)f(x)＝22cos2x＋π4＋sin2x＝22cos2xcosπ4－sin2xsinπ4＋1－cos2x2＝12－12sin2x.故f(x)的最小正周期为π.25．（2012·北京卷）已知函数f(x)＝－sinx.(1)求f(x)的定义域及最小正周期；(2)求f(x)的单调递增区间．26．（2012·福建卷）某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：(1)sin213°＋cos217°－sin13°cos17°；(2)sin215°＋cos215°－sin15°cos15°；(3)sin218°＋cos212°－sin18°cos12°；(4)sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos48°；(5)sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos55°.(1)请从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．27．（2012·江苏卷）设α为锐角，若cosα＋π6＝45，则sin2α＋π1