【备考2014】2013高考数学-(真题+模拟新题分类汇编)-不等式-理

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不等式E1不等式的概念与性质12.H2,E1[2013·新课标全国卷Ⅱ]已知点A(-1,0),B(1,0),C(0,1),直线y=ax+b(a>0)将△ABC分割为面积相等的两部分,则b的取值范围是()A.(0,1)B.1-22,12C.1-22,13D.13,1212.B[解析]方法一:易得△ABC面积为1,利用极限位置和特值法.当a=0时,易得b=1-22;当a=13时,易得b=13;当a=1时,易得b=2-113.故选B.方法二:(直接法)x+y=1,y=ax+by=a+ba+1,y=ax+b与x轴交于-ba,0,结合图形与a0,12×a+ba+1×1+ba=12(a+b)2=a(a+1)0a=b21-2b.∵a0,∴b21-2b0b12,当a=0时,极限位置易得b=1-22,故答案为B.8.B7,E1[2013·新课标全国卷Ⅱ]设a=log36,b=log510,c=log714,则()A.c>b>aB.b>c>aC.a>c>bD.a>b>c8.D[解析]a-b=log36-log510=(1+log32)-(1+log52)=log32-log520,b-c=log510-log714=(1+log52)-(1+log72)=log52-log720,所以abc,选D.E2绝对值不等式的解法E3一元二次不等式的解法6.E3、B6、B7[2013·安徽卷]已知一元二次不等式f(x)0的解集为x错误!x-1或x12,则f(10x)0的解集为()A.{x|x-1或x-lg2}B.{x|-1x-lg2}C.{x|x-lg2}D.{x|x-lg2}6.D[解析]根据已知可得不等式f(x)0的解是-1x12,故-110x12,解得x-lg2.9.E3[2013·广东卷]不等式x2+x-20的解集为________.9.{x|-2x1}[解析]x2+x-2=(x+2)(x-1)0,解得-2x1.故不等式的解集是{x|-2x1}.14.B4,E3[2013·四川卷]已知f(x)是定义域为R的偶函数,当x≥0时,f(x)=x2-4x,那么,不等式f(x+2)5的解集是________.14.(-7,3)[解析]当x+2≥0时,f(x+2)=(x+2)2-4(x+2)=x2-4,由f(x+2)<5,得x2-4<5,即x2<9,解得-3<x<3,又x+2≥0,故-2≤x<3为所求.又因为f(x)为偶函数,故f(x+2)的图像关于直线x=-2对称,于是-7<x<-2也满足不等式.(注:本题还可以借助函数的图像及平移变换求解)E4简单的一元高次不等式的解法14.E4、K3[2013·山东卷]在区间[-3,3]上随机取一个数x,使得|x+1|-|x-2|≥1成立的概率为________.14.13[解析]当x-1时,不等式化为-x-1+x-2≥1,此时无解;当-1≤x≤2时,不等式化为x+1+x-2≥1,解之得x≥1;当x2时,不等式化为x+1-x+2≥1,此时恒成立,∴|x+1|-|x-2|≥1的解集为[)1,+∞.在[]-3,3上使不等式有解的区间为[]1,3,由几何概型的概率公式得P=3-13-(-3)=13.E5简单的线性规划问题9.F2、E5[2013·安徽卷]在平面直角坐标系中,O是坐标原点,两定点A,B满足|OA→|=|OB→|=OA→·OB→=2,则点集{P|OP→=λOA→+μOB→,|λ|+|μ|≤1,λ,μ∈R}所表示的区域的面积是()A.22B.23C.42D.439.D[解析]由|OA→|=|OB→|=OA→·OB→=2,可得点A,B在圆x2+y2=4上且∠AOB=60°,在平面直角坐标系中,设A(2,0),B(1,3),设P(x,y),则(x,y)=λ(2,0)+μ(1,3),由此得x=2λ+μ,y=3μ,解得μ=y3,λ=12x-123y,由于|λ|+|μ|≤1,所以12x-123y+13y≤1,即|3x-y|+|2y|≤23.①3x-y≥0,y≥0,3x+y≤23或②3x-y≥0,y0,3x-3y≤23或③3x-y0,y≥0,-3x+3y≤23或④3x-y0,y0,-3x-y≤23.上述四个不等式组在平面直角坐标系中表示的区域如图阴影部分所示,所以所求区域的面积是43.8.E5[2013·北京卷]设关于x,y的不等式组2x-y+10,x+m0,y-m0表示的平面区域内存在点P(x0,y0),满足x0-2y0=2,求得m的取值范围是()A.-∞,43B.-∞,13C.-∞,-23D.-∞,-538.C[解析]在直角坐标系中画出可行域,如图所示,由题意可知,可行域内与直线x-2y=2有交点,当点(-m,m)在直线x-2y=2上时,有m=-23,所以m-23,故选C.13.E5[2013·广东卷]给定区域D:x+4y≥4,x+y≤4,x≥0,令点集T={(x0,y0)∈D|x0,y0∈Z,(x0,y0)是z=x+y在D上取值最大值或最小值的点}.则T中的点共确定________条不同的直线.13.6[解析]由题画出不等式组表示的区域如图阴影部分,易知线性目标函数z=x+y在点(0,1)处取得最小值,在(0,4)或(1,3)或(2,2)或(3,1)或(4,0)处取得最大值,这些点一共可以确定6条直线.20.I3,E5[2013·湖北卷]假设每天从甲地去乙地的旅客人数X是服从正态分布N(800,502)的随机变量,记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为P0.(1)求P0的值;(参考数据:若X~N(μ,σ2),有P(μ-σX≤μ+σ)=0.6826,P(μ-2σX≤μ+2σ)=0.9544,P(μ-3σX≤μ+3σ)=0.9974)(2)某客运公司用A,B两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务,每车每天往返一次,A,B两种车辆的载客量分别为36人和60人,从甲地去乙地的营运成本分别为1600元/辆和2400元/辆.公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队,并要求B型车不多于A型车7辆.若每天要以不小于P0的概率运完从甲地去乙地的旅客,且使公司从甲地去乙地的营运成本最小,那么应配备A型车、B型车各多少辆?20.解:(1)由于随机变量X服从正态分布N(800,502),故有μ=800,σ=50,P(700X≤900)=0.9544.由正态分布的对称性,可得P0=P(X≤900)=P(X≤800)+P(800X≤900)=12+12P(700X≤900)=0.9772.(2)设A型、B型车辆的数量分别为x,y辆,则相应的营运成本为1600x+2400y,依题意,x,y还需满足:x+y≤21,y≤x+7,P(X≤36x+60y)≥P0.由(1)知,P0=P(X≤900),故P(X≤36x+60y)≥P0等价于36x+60y≥900,于是问题等价于求满足约束条件x+y≤21,y≤x+7,36x+60y≥900,x,y≥0,x,y∈N且使目标函数z=1600x+2400y达到最小的x,y值.作可行域如图所示,可行域的三个顶点坐标分别为P(5,12),Q(7,14),R(15,6).由图可知,当直线z=1600x+2400y经过可行域的点P时,直线z=1600x+2400y在y轴上截距z2400最小,即z取得最小值,故应配备A型车5辆,B型车12辆.4.E5[2013·湖南卷]若变量x,y满足结束条件y≤2x,x+y≤1,y≥-1,则x+2y的最大值是()A.-52B.0C.53D.524.C[解析]根据题意,画出x,y满足的可行域,如图,可知在点C13,23处x+2y取最大值为53.9.E5[2013·江苏卷]抛物线y=x2在x=1处的切线与两坐标轴围成的三角形区域为D(包含三角形内部与边界).若点P(x,y)是区域D内的任意一点,则x+2y的取值范围是________.9.-2,12[解析]由y=x2得y′=2x,则在点x=1处的切线斜率k=2×1=2,切线方程为y-1=2(x-1),即2x-y-1=0.在平面直角坐标系中作出可行域,如图阴影部分所示,则A(0,-1),B12,0.作直线l0:x+2y=0.当平移直线l0至点A时,zmin=0+2(-1)=-2;当平移直线l0至点B时,zmax=12+2×0=12.故x+2y的取值范围是-2,12.6.E5[2013·山东卷]在平面直角坐标系xOy中,M为不等式组2x-y-2≥0,x+2y-1≥0,3x+y-8≤0所表示的区域上一动点,则直线OM斜率的最小值为()A.2B.1C.-13D.-126.C[解析]不等式组表示的可行域如图,联立x+2y-1=0,3x+y-8=0,解得P()3,-1,当M与P重合时,直线OM斜率最小,此时kOM=-1-03-0=-13.图1-113.E5[2013·陕西卷]若点(x,y)位于曲线y=|x-1|与y=2所围成的封闭区域,则2x-y的最小值为________.13.-4[解析]结合题目可以作出y=∣x-1∣与y=2所表示的平面区域,令2x-y=z,即y=2x-z,作出直线y=2x,在封闭区域内平移直线y=2x,当经过点A(-1,2)时,z取最小值为-4.2.E5[2013·天津卷]设变量x,y满足约束条件3x+y-6≥0,x-y-2≤0,y-3≤0,则目标函数z=y-2x的最小值为()A.-7B.-4C.1D.22.A[解析]作出可行域,如图阴影部分.联立y=3,x-y-2=0,解得(5,3),当目标函数线过可行域内A点时,目标函数有最小值z=3-2×5=-7.9.E5,H1[2013·新课标全国卷Ⅱ]已知a0,x,y满足约束条件x≥1,x+y≤3,y≥a(x-3).若z=2x+y的最小值为1,则a=()A.14B.12C.1D.29.B[解析]直线y=a(x-3)过定点(3,0).画出可行域如图,易得A(1,-2a),B(3,0),C(1,2).作出直线y=-2x,平移易知直线过A点时直线在y轴上的截距最小,即2+(-2a)=1a=12.答案为B.13.E5[2013·浙江卷]设z=kx+y,其中实数x,y满足x+y-2≥0,x-2y+4≥0,2x-y-4≤0.若z的最大值为12,则实数k=________.13.2[解析]不等式组表示的可行区域为如图所示的三角形ABC及其内部,A(2,0),B(4,4),C(0,2),要使z的最大值为12,只能经过B点,此时12=4k+4,k=2.E6基本不等式3.E6[2013·重庆卷](3-a)(a+6)(-6≤a≤3)的最大值为()A.9B.92C.3D.3223.B[解析]因为-6≤a≤3,所以(3-a)(a+6)≤(3-a)+(a+6)2=92,当且仅当3-a=a+6,即a=-32时等号成立,故选B.E7不等式的证明方法E8不等式的综合应用22.B12,E8[2013·湖北卷]设n是正整数,r为正有理数.(1)求函数f(x)=(1+x)r+1-(r+1)x-1(x-1)的最小值;(2)证明:nr+1-(n-1)r+1r+1nr(n+1)r+1-nr+1r+1;(3)设x∈R,记[x]为不小于...x的最小整数,例如[2]=2,[π]=4,-32=-1.令S=381+382+383+…+3125,求[S]的值.(参数数据:8043≈344.7,8143≈350.5,12443≈618.3,12643≈631.7)22.解:(1)因为f′(x)=(r+1)(1+x)r-(r+1)=(r+1)[(1+x)r-1],令f′(x)=0,解得x=0.当-1x0时,f′(x)0,所以

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