【备考2014】2013高考数学-(真题+模拟新题分类汇编)-不等式-文

不等式E1不等式的概念与性质2．E1[2013·北京卷]设a，b，c∈R，且ab，则()A．acbcB.1a1bC．a2b2D．a3b32．D[解析]∵函数y＝x3在R上是增函数，ab，∴a3b3.8．B7，E1[2013·新课标全国卷Ⅱ]设a＝log32，b＝log52，c＝log23，则()A．acbB．bcaC．cbaD．cab8．D[解析]a－b＝log32－log52＝1log23－1log25＝log25－log23log23log250ab，c＝log231，a1，b1，所以cab，答案为D.15．C6、E1和E3[2013·重庆卷]设0≤α≤π，不等式8x2－(8sinα)x＋cos2α≥0对x∈R恒成立，则α的取值范围为________．15.0，π6∪5π6，π[解析]根据二次函数的图像可得Δ＝(8sinα)2－4×8cos2α≤0，即2sin2α－cos2α≤0，转化为2sin2α－(1－2sin2α)≤0，即4sin2α≤1，即－12≤sinα≤12.因为0≤α≤π，故α∈0，π6∪5π6，π.10．E1、H6和H8[2013·重庆卷]设双曲线C的中心为点O，若有且只有一对相交于点O，所成的角为60°的直线A1B1和A2B2，使|A1B1|＝|A2B2|，其中A1，B1和A2，B2分别是这对直线与双曲线C的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是()A.233，2B.233，2C.233，＋∞D.233，＋∞10．A[解析]设双曲线的焦点在x轴上，则由作图易知双曲线的渐近线的斜率ba必须满足33ba≤3，所以13ba2≤3，431＋ba2≤4，即有2331＋ba2≤2.又双曲线的离心率为e＝ca＝1＋ba2，所以233e≤2.E2绝对值不等式的解法4．E2[2013·全国卷]不等式|x2－2|2的解集是()A．(－1，1)B．(－2，2)C．(－1，0)∪(0，1)D．(－2，0)∪(0，2)4．D[解析]|x2－2|2等价于－2x2－22，即0x24，即0|x|2，解得－2x0或者0x2，故所求的不等式的解集是(－2，0)∪(0，2)．E3一元二次不等式的解法20．E3，B12[2013·安徽卷]设函数f(x)＝ax－(1＋a2)x2，其中a0，区间I＝{x|f(x)0}．(1)求I的长度(注：区间(α，β)的长度定义为β－α)；(2)给定常数k∈(0，1)，当1－k≤a≤1＋k时，求I长度的最小值．20．解：(1)因为方程ax－(1＋a2)x2＝0(a0)有两个实根x1＝0，x2＝a1＋a2，故f(x)0的解集为{x|x1xx2}，因此区间I＝0，a1＋a2，区间长度为a1＋a2.(2)设d(a)＝a1＋a2，则d′(a)＝1－a2（1＋a2）2，令d′(a)＝0，得a＝1，由于0k1，故当1－k≤a1时，d′(a)0，d(a)单调递增；当1a≤1＋k时，d′(a)0，d(a)单调递减；因此当1－k≤a≤1＋k时，d(a)的最小值必定在a＝1－k或a＝1＋k处取得．而d（1－k）d（1＋k）＝1－k1＋（1－k）21＋k1＋（1＋k）2＝2－k2－k32－k2＋k31，故d(1－k)d(1＋k)．因此当a＝1－k时，d(a)在区间[1－k，1＋k]上取得最小值1－k2－2k＋k2.11．B1，E3[2013·安徽卷]函数y＝ln1＋1x＋1－x2的定义域为________．11．(0，1][解析]实数x满足1＋1x0且1－x2≥0.不等式1＋1x0，即x＋1x0，解得x0或x－1；不等式1－x2≥0的解为－1≤x≤1.故所求函数的定义域是(0，1]．15．C6、E1和E3[2013·重庆卷]设0≤α≤π，不等式8x2－(8sinα)x＋cos2α≥0对x∈R恒成立，则α的取值范围为________．15.0，π6∪5π6，π[解析]根据二次函数的图像可得Δ＝(8sinα)2－4×8cos2α≤0，即2sin2α－cos2α≤0，转化为2sin2α－(1－2sin2α)≤0，即4sin2α≤1，即－12≤sinα≤12.因为0≤α≤π，故α∈0，π6∪5π6，π.7．E3[2013·重庆卷]关于x的不等式x2－2ax－8a20(a0)的解集为(x1，x2)，且x2－x1＝15，则a＝()A.52B.72C.154D.1527．A[解析]由条件知x1，x2为方程x2－2ax－8a2＝0的两根，则x1＋x2＝2a，x1x2＝－8a2，由(x2－x1)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝(2a)2－4×(－8a2)＝36a2＝152，解得a＝52(负值舍去)，故选A.E4简单的一元高次不等式的解法13．E4[2013·湖南卷]若变量x，y满足约束条件x＋2y≤8，0≤x≤4，0≤y≤3，则x＋y的最大值为________．13．6[解析]根据题意，画出x，y满足的可行域，如图，可知在点B(4，2)处x＋y取最大值为6.6．E4[2013·江西卷]下列选项中，使不等式x1xx2成立的x的取值范围是()A．(－∞，－1)B．(－1，0)C．(0，1)D．(1，＋∞)6．A[解析]x－1x0x2－1x0x－1或0x1，x2－1x0x0或x1，求交集得x－1，故选A.14．E4[2013·新课标全国卷Ⅰ]设x，y满足约束条件1≤x≤3，－1≤x－y≤0，则z＝2x－y的最大值为________．14．3[解析]点(x，y)是平面内平行线x＝1，x＝3与平行线x－y＝－1，x－y＝0围成的平行四边形区域，区域的四个顶点坐标分别为(1，2)，(1，1)，(3，4)，(3，3)，分别代入得z＝0，1，2，3，所以z＝2x－y的最大值为3.E5简单的线性规划问题2．E5[2013·天津卷]设变量x，y满足约束条件3x＋y－6≥0，x－y－2≤0，y－3≤0，则目标函数z＝y－2x的最小值为()A．－7B．－4C．1D．22．A[解析]可行域如图：联立y＝3，x－y－2＝0，得A(5，3)，当目标函数线过可行域内A点时，目标函数有最小值z＝3－2×5＝－7.8．E5[2013·四川卷]若变量x，y满足约束条件x＋y≤8，2y－x≤4，x≥0，y≥0，且z＝5y－x的最大值为a，最小值为b，则a－b的值是()A．48B．30C．24D．168．C[解析]画出约束条件表示的可行域，如图，由于目标函数z＝5y－x的斜率为15，可知在点A(8，0)处，z取得最小值b＝－8，在点B(4，4)处，z取得最大值a＝16.故a－b＝24.7．E5[2013·陕西卷]若点(x，y)位于曲线y＝|x|与y＝2所围成的封闭区域，则2x－y的最小值是()A．－6B．－2C．0D．27．A[解析]结合题目可以作出y＝∣x∣与y＝2所表示的平面区域，令2x－y＝z，即y＝2x－z，作出直线y＝2x，在封闭区域内平移直线y＝2x，当经过点A(－2，2)时，z取最小值，为2×(－2)－2＝－6.14．E5[2013·山东卷]在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组2x＋3y－6≤0，x＋y－2≥0，y≥0所表示的区域上一动点，则|OM|的最小值是________．14.2[解析]可行域如图，当OM垂直于直线x＋y－2＝0时，|OM|最小，故|OM|＝|0＋0－2|1＋1＝2.图1－53．E5[2013·新课标全国卷Ⅱ]设x，y满足约束条件x－y＋1≥0，x＋y－1≥0，x≤3，则z＝2x－3y的最小值是()A．－7B．－6C．－5D．－33．B[解析]画出可行域如图△ABC，易得A(3，－2)，B(3，4)，C(0，1)，作出直线y＝23x，平移易知直线过B点时直线在y轴上的截距最大，此时z最小．故选B.图1－17．E5[2013·新课标全国卷Ⅱ]执行右面的程序框图1－2，如果输入的N＝4，那么输出的S＝()A．1＋12＋13＋14B．1＋12＋13×2＋14×3×2C．1＋12＋13＋14＋15D．1＋12＋13×2＋14×3×2＋15×4×3×2图1－27．B[解析]k＝1，T＝1，S＝1；k＝2，T＝12，S＝1＋12；k＝3，T＝12×3，S＝1＋12＋12×3；k＝4，T＝12×3×4，S＝1＋12＋12×3＋12×3×4，k＝54成立，输出S，答案为B.9．E5[2013·江苏卷]抛物线y＝x2在x＝1处的切线与两坐标轴围成的三角形区域为D(包含三角形内部与边界)．若点P(x，y)是区域D内的任意一点，则x＋2y的取值范围是________．9.－2，12[解析]由y＝x2得y′＝2x，则在点x＝1处的切线斜率k＝2×1＝2，切线方程为y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0.在平面直角坐标系中作出可行域，如图阴影部分所示，则A(0，－1)，B12，0.作直线l0：x＋2y＝0.当平移直线l0至点A时，zmin＝0＋2(－1)＝－2；当平移直线l0至点B时，zmax＝12＋2×0＝12.故x＋2y的取值范围是－2，12.9．E5[2013·湖北卷]某旅行社租用A，B两种型号的客车安排900名客人旅行，A，B两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1600元/辆和2400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B型车不多于A型车7辆，则租金最少为()A．31200元B．36000元C．36800元D．38400元9．C[解析]由题意知36A＋60B≥900，A＋B≤21，B－A≤7，其可行域如图中阴影部分，令z＝1600A＋2400BB＝－23A＋z2400，过点M(5，12)时，zmin＝1600×5＋2400×12＝36800.13．E5[2013·广东卷]已知变量x，y满足约束条件x－y＋3≥0，－1≤x≤1，y≥1，则z＝x＋y的最大值是________．13．5[解析]根据图知，线性目标函数z＝x＋y在点C处取得最大值，易求点C(1，4)，故zmax＝5.6．E5[2013·福建卷]若变量x，y满足约束条件x＋y≤2，x≥1，y≥0，则z＝2x＋y的最大值和最小值分别为()A．4和3B．4和2C．3和2D．2和06．B[解析]可行域如图所示，直线z＝2x＋y过点A(1，0)时，zmin＝2，过点B(2，0)时，zmax＝4，故选B.12．E5[2013·北京卷]设D为不等式组x≥0，2x－y≤0，x＋y－3≤0表示的平面区域，区域D上的点与点(1，0)之间的距离的最小值为________．12.255[解析]在平面直角坐标系中画出可行域，如图所示．根据可行域可知，区域D内的点到点(1，0)的距离最小值为点(1，0)到直线2x－y＝0的距离，即d＝|2－0|5＝255.12．E5[2013·安徽卷]若非负变量x，y满足约束条件x－y≥－1，x＋2y≤4，则x＋y的最大值为________．12．4[解析]已知不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分，设z＝x＋y，则z的几何意义是直线y＝－x＋z在y轴上的截距，结合图形，可知当直线y＝－x＋z通过点A(4，0)时z最大，此时z＝4.15．E5[2013·浙江卷]设z＝kx＋y，其中实数x，y满足x≥2，x－2y＋4≥0，2x－y－4≤0.若z的最大值为12，则实数k＝________．15．2[解析]不等式组表示的可行区域为如图所示的三角形ABC及其内部，A(2，0)，B(4，4)，C(2，3)，要使z的最大值为12，只能经过B点，此时12＝4k＋4，k＝2.E6基本不等式7．E