专题6.1-数列的通项公式与求和-3年高考2年模拟1年原创备战2018高考精品系列之数学(江苏版)(

第六章数列专题1数列的通项公式与求和【三年高考】1．【2015江苏高考，11】数列}{na满足11a，且11naann（*Nn），则数列}1{na的前10项和为2．【2017课标3，文17】设数列na满足123(21)2naanan.[来源:学科网ZXXK]（1）求na的通项公式；（2）求数列21nan的前n项和.3．【2016高考浙江文数】（本题满分15分）设数列{na}的前n项和为nS.已知2S=4，1na=2nS+1，*Nn.（I）求通项公式na；学*科网（II）求数列{2nan}的前n项和.4.【2016高考浙江理数】设数列{an}的前n项和为Sn.若S2=4，an+1=2Sn+1，n∈N*，则a1=，S5=.5.【2016高考新课标2理数】nS为等差数列na的前n项和，且17=128.aS，记=lgnnba，其中x表示不超过x的最大整数，如0.9=0lg99=1，．（Ⅰ）求111101bbb，，；（Ⅱ）求数列nb的前1000项和．6.【2016高考山东理数】（本小题满分12分）已知数列na的前n项和Sn=3n2+8n，nb是等差数列，且1.nnnabb（Ⅰ）求数列nb的通项公式；（Ⅱ）令1(1).(2)nnnnnacb求数列nc的前n项和Tn.7.【2016高考浙江理数】设数列na满足112nnaa，n．（I）证明：1122nnaa，n；（II）若32nna，n，证明：2na，n．8.【2016高考上海理数】无穷数列na由k个不同的数组成，nS为na的前n项和.若对任意Nn，3,2nS，则k的最大值为________.9.【2016高考新课标1文数】（本题满分12分）已知na是公差为3的等差数列,数列nb满足12111==3nnnnbbabbnb1，，,.（I）求na的通项公式；（II）求nb的前n项和.10.[2016高考新课标Ⅲ文数]已知各项都为正数的数列na满足11a，211(21)20nnnnaaaa.（I）求23,aa；（II）求na的通项公式.11.【2016高考北京文数】已知}{na是等差数列，}{nb是等差数列，且32b，93b，11ba，414ba.（1）求}{na的通项公式；（2）设nnnbac，求数列}{nc的前n项和.12.【2015高考安徽，文13】已知数列}{na中，11a，211nnaa（2n），则数列}{na的前9项和等于.14.【2015高考山东，文19】已知数列na是首项为正数的等差数列，数列11nnaa的前n项和为21nn.（I）求数列na的通项公式；（II）设12nannba，求数列nb的前n项和nT.15.【2015高考湖南，文19】设数列{}na的前n项和为nS，已知121,2aa，且13nnaS*13,()nSnN，（I）证明：23nnaa；（II）求nS.16.【2015高考浙江，文17】已知数列{}na和{}nb满足，*1112,1,2(nN),nnabaa*12311111(nN)23nnbbbbbn.（1）求na与nb；（2）记数列{}nnab的前n项和为nT，求nT.【2018年高考命题预测】纵观2017各地高考试题，对数列通项公式和求和这部分的考查，主要考查数列的概念与表示方法、数列递推关系与通项公式的联系、数列的求和方法，往往与函数、方程、不等式等知识建立联系，高考中一般会以各种形式考查．.对数列概念与表示方法的考察，要深刻体会数列不光体现一种递推关系，它具有函数特征，故经常会与函数、方程、不等式等知识联系考察.对数列通项公式的考察，一般会以等差数列和等比数列具体形式出现，或者由项的递推关系或者项与前n项的的关系得出，同时要注意从特殊到一般思想的灵活运用．对数列求和的考察，要掌握常见的数列求和方法（直接求和、倒序相加法、错位相减法、裂项相加法），往往会和不等式建立联系，会牵涉到放缩法，难度会大点，注意等价转换思想的活用．从近几年的高考试题来看，难度属中低档的题目，小题突出“小、巧、活”，主要以通项公式、前n项和公式为载体，结合数列的性质考查分类讨论、化归与方程等思想，要注重通性、通法；解答题“大而全”，注重题目的综合与新颖，突出对逻辑思维能力的考查．预测2017年高考仍将以等差数列，等比数列的定义、通项公式和前n项和公式为主要考点，特别是错位相减法求和问题，重点考查学生的运算能力与逻辑推理能力．理科可能与不等式恒成立巧妙结合出一大题．【2018年高考考点定位】高考对数列的通项公式与求和的考查有三种主要形式：一是考察数列的概念与表示；二是数列通项公式；三是数列求和；其中经常与函数、方程、不等式等知识的相联系．【考点1】数列的概念与表示【备考知识梳理】1．定义：按照一定顺序排列着的一列数．2．表示方法：列表法、解析法（通项公式法和递推公式法）、图象法．3．分类：按项数有限还是无限分为有穷数列和无穷数列；按项与项之间的大小关系可分为单调数列、摆动数列和常数列．4．na与nS的关系：11(1)(2)nnnSnaSSn≥．5．处理方法：.用函数的观点处理数列问题【规律方法技巧】1.数列是定义域为正整数集或其有限子集的函数，故数列具有函数的特征（周期性、单调性等）．2.观察法是解决数列问题的法宝，先根据特殊的几项，找出共同的规律，横看“各项之间的关系结构”，纵看“各项与项数n的关系”，从而确定数列的通项公式．【考点针对训练】1.已知函数()fx由下表定义：若15a，1()nnafa（1,2,n），则2016a．2.数列,817,275,31,31的一个通项公式是【考点2】递推关系与数列通项公式【备考知识梳理】在一些综合性比较强的数列问题中，数列通项公式的求解问题往往是解决数列难题的瓶颈．数列通项公式的求解常用方法：1、定义法，直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方法适应于已知数列类型的题目．2、公式法，若已知数列的前n项和nS与na的关系，求数列na的通项na可用公式2111nSSnSannn求解．3、由递推式求数列通项法，对于递推公式确定的数列的求解，通常可以通过递推公式的变换，转化为等差数列或等比数列问题，有时也用到一些特殊的转化方法与特殊数列．4、待定系数法（构造法），求数列通项公式方法灵活多样，特别是对于给定的递推关系求通项公式，观察、分析、推理能力要求较高．通常可对递推式变换，转化成特殊数列（等差或等比数列）来求解，这种方法体现了数学中化未知为已知的化归思想，而运用待定系数法变换递推式中的常数就是一种重要的转化方法．【规律方法技巧】数列的通项的求法：⑴公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式.⑵已知nS（即12()naaafn）求na，用作差法：11,(1),(2)nnnSnaSSn.⑶已知12()naaafn求na，用作商法：(1),(1)(),(2)(1)nfnfnanfn.⑷若1()nnaafn求na用累加法：11221()()()nnnnnaaaaaaa1a(2)n.⑸已知1()nnafna求na，用累乘法：121121nnnnnaaaaaaaa(2)n.⑹已知递推关系求na，用构造法（构造等差、等比数列）.特别地，（1）形如1nnakab、1nnnakab（,kb为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为k的等比数列后，再求na.如(21)已知111,32nnaaa，求na；（2）形如11nnnaakab的递推数列都可以用倒数法求通项.注意：（1）用1nnnSSa求数列的通项公式时，你注意到此等式成立的条件了吗？（2n，当1n时，11Sa）；（2）一般地当已知条件中含有na与nS的混合关系时，常需运用关系式1nnnSSa，先将已知条件转化为只含na或nS的关系式，然后再求解.（3）由nS与1nS的关系，可以先求nS，再求na，或者先转化为项与项的递推关系，再求na．【考点针对训练】1.已知数列na满足12a，111nnnaaa（*nN），则3a的值为.2.已知数列na的前n项和122nnnSa，若不等式223(5)nnna对nN恒成立，则整数的最大值为．【考点3】数列求和【备考知识梳理】数列的求和也是高考中的热点内容，考察学生能否把一般数列转化为特殊数列求和，体现了化归的思想方法，其中错位相减和裂项相消是高考命题的热点．估计在以后的高考中不会有太大的改变．数列求和的常用方法，尤其是利用裂项法和错位相减法求一些特殊数列的和，数列求和的基本方法：1.基本公式法：1等差数列求和公式：11122nnnaannSnad2等比数列求和公式：111,11,111nnnnaqSaqaaqqqq30122nnnnnnCCCC.2.错位相消法：一般适应于数列nnab的前n向求和，其中na成等差数列，nb成等比数列．3.分组求和：把一个数列分成几个可以直接求和的数列，然后利用公式法求和．4.拆项（裂项）求和：把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程中消去中间项，只剩下有限项再求和.常见的拆项公式有：1若na是公差为d的等差数列，则111111nnnnaadaa；21111212122121nnnn；3111nnknkn；411mmmnnnCCC；5!1!!nnnn.5.倒序相加法：根据有些数列的特点，将其倒写后与原数列相加，以达到求和的目的．【规律方法技巧】数列求和关键是研究数列通项公式，根据通项公式的不同特征选择相应的求和方式，若数列是等差数列或等比数列，直接利用公式求和；若通项公式是等差乘等比型，利用错位相减法；若通项公式可以拆分成两项的差且在累加过程中可以互相抵消，利用裂项相消法，从近年的考题来看，逐渐加大了与函数不等式的联系，通过对通项公式进行放缩，放缩为易求和的数列问题处理．【考点针对训练】1.设数列na满足111,111nnaaanN，则10011kkkaa的值为.2.已知各项均为正数的数列}{na的首项11a，nS是数列}{na的前n项和，且满足：).0(*1111NnaaaaSaSannnnnnnn.（1）若1a，2a，3a成等比数列，求实数的值;（2）若21，求nS.【两年模拟详解析】1．【南京市、盐城市2017届高三年级第一次模拟】如图，在平面直角坐标系中，分别在x轴与直线313yx上从左向右依次取点kA、kB，1,2,k，其中1A是坐标原点，使1kkkABA都是等边三角形，则101011ABA的边长是▲.2.【2017年高考原创押题预测卷03（江苏卷）】设数列{}na满足：12211,,1nnnnaanaaa，则数列{}na中的第2017项是．3.【苏北三市（连云港、徐州、宿迁）2017届高三年级第三次调研考试】已知两个无穷数列和的前项和分别为，，，，对任意的，都有.（1）求数列的通项公式；（2）若为等差数列，对任意的，都有.证明：；（3）若为等比数列，，，求满足的值.4．【河北省唐山市2016-2017学年度高三年级第三次模拟考试理】数列na的前n项和为nS，若*2142nnnSan