专题6.1-数列的通项公式与求和-3年高考2年模拟1年原创备战2018高考精品系列之数学(理)(原卷

第六章数列专题1数列的通项公式与求和（理科）【三年高考】1.【2017课标II，理3】我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（）A．1盏B．3盏C．5盏D．9盏2.【2017课标II，理15】等差数列na的前n项和为nS，33a，410S，则11nkkS。3.【2017山东，理19】已知{xn}是各项均为正数的等比数列，且x1+x2=3，x3-x2=2（Ⅰ）求数列{xn}的通项公式；（Ⅱ）如图，在平面直角坐标系xOy中，依次连接点P1(x1,1)，P2(x2,2)…Pn+1(xn+1,n+1)得到折线P1P2…Pn+1，求由该折线与直线y=0，11nxxxx,所围成的区域的面积nT.4．【2016高考浙江理数】设数列{an}的前n项和为Sn.若S2=4，an+1=2Sn+1，n∈N*，则a1=，S5=.5.【2016高考山东理数】已知数列na的前n项和Sn=3n2+8n，nb是等差数列，且1.nnnabb（Ⅰ）求数列nb的通项公式；（Ⅱ）令1(1).(2)nnnnnacb求数列nc的前n项和Tn.6．【2016高考江苏卷】记1,2,100U…，.对数列*nanN和U的子集T，若T,定义0TS;若12,,kTttt…，，定义12+kTtttSaaa….例如：=1,3,66T时，1366+TSaaa.现设*nanN是公比为3的等比数列，且当=2,4T时，=30TS.（1）求数列na的通项公式；（2）对任意正整数1100kk，若1,2,kT…，，求证：1TkSa；（3）设,,CDCUDUSS,求证：2CCDDSSS.7．【2016高考天津理数】已知na是各项均为正数的等差数列，公差为d，对任意的,bnnN是na和1na的等差中项.(Ⅰ)设22*1,nnncbbnN，求证：nc是等差数列；(Ⅱ)设22*11,1,nnnnkadTbnN，求证：2111.2nkkTd8．【2015高考新课标2，理16】设nS是数列na的前n项和，且11a，11nnnaSS，则nS________．9.【2015江苏高考，11】数列}{na满足11a，且11naann（*Nn），则数列}1{na的前10项和为10.【2015高考新课标1，理17】nS为数列{na}的前n项和.已知na＞0，2nnaa=错误!未找到引用源。.（Ⅰ）求{na}的通项公式；（Ⅱ）设11nnnbaa错误!未找到引用源。,求数列{nb}的前n项和.11.【2015高考山东，理18】设数列na的前n项和为nS.已知233nnS.（I）求na的通项公式；（II）若数列nb满足3lognnnaba，求nb的前n项和nT.【2017考试大纲】数列的概念和简单表示法(1)了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图像、通项公式).(2)了解数列是自变量为正整数的一类函数【三年高考命题回顾】纵观前三年各地高考试题,对数列通项公式和求和这部分的考查，主要考查数列的概念与表示方法、数列递推关系与通项公式的联系、数列的求和方法，往往与函数、方程、不等式等知识建立联系，高考中一般会以各种形式考查．【2018年高考复习建议与高考命题预测】由前三年的高考命题形式可以看出,高考对数列概念与表示方法的考查，要深刻体会数列不光体现一种递推关系，它具有函数特征，故经常会与函数、方程、不等式等知识联系考察.对数列通项公式的考察，一般会以等差数列和等比数列具体形式出现，或者由项的递推关系或者项与前n项的的关系得出，同时要注意从特殊到一般思想的灵活运用．对数列求和的考察，要掌握常见的数列求和方法（直接求和、倒序相加法、错位相减法、裂项相加法），往往会和不等式建立联系，会牵涉到放缩法，难度会大点，注意等价转换思想的活用．这部分试题难度属中低档的题目，小题突出“小、巧、活”，主要以通项公式、前n项和公式为载体，结合数列的性质考查分类讨论、化归与方程等思想，要注重通性、通法；解答题“大而全”，注重题目的综合与新颖，突出对逻辑思维能力的考查．由于连续三年大题没涉及数列,故预测2018年高考将以等差数列，等比数列的定义、通项公式和前n项和公式为主要考点，特别是错位相减法求和问题，重点考查学生的运算能力与逻辑推理能力．【2018年高考考点定位】高考对数列的通项公式与求和的考查有三种主要形式：一是考察数列的概念与表示；二是数列通项公式；三是数列求和；其中经常与函数、方程、不等式等知识的相联系．【考点1】数列的概念与表示【备考知识梳理】1．定义：按照一定顺序排列着的一列数．2．表示方法：列表法、解析法（通项公式法和递推公式法）、图象法．3．分类：按项数有限还是无限分为有穷数列和无穷数列；按项与项之间的大小关系可分为单调数列、摆动数列和常数列．4．na与nS的关系：11(1)(2)nnnSnaSSn≥．5．处理方法：.用函数的观点处理数列问题【规律方法技巧】1.数列是定义域为正整数集或其有限子集的函数，故数列具有函数的特征（周期性、单调性等）．2.观察法是解决数列问题的法宝，先根据特殊的几项，找出共同的规律，横看“各项之间的关系结构”，纵看“各项与项数n的关系”，从而确定数列的通项公式．【考点针对训练】1.【河北省冀州中学2017届高三（复习班）上学期第二次阶段考试】若数列{}na是正项数列，且2123naaann，则12231naaan__________.2.数列,817,275,31,31的一个通项公式是[来源:Zxxk.Com]A．nnann312)1(1B．nnann312)1(C．nnnna312)1(1D．nnnna312)1(【考点2】递推关系与数列通项公式【备考知识梳理】在一些综合性比较强的数列问题中，数列通项公式的求解问题往往是解决数列难题的瓶颈．数列通项公式的求解常用方法：1、定义法，直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方法适应于已知数列类型的题目．2、公式法，若已知数列的前n项和nS与na的关系，求数列na的通项na可用公式2111nSSnSannn求解．3、由递推式求数列通项法，对于递推公式确定的数列的求解，通常可以通过递推公式的变换，转化为等差数列或等比数列问题，有时也用到一些特殊的转化方法与特殊数列．4、待定系数法（构造法），求数列通项公式方法灵活多样，特别是对于给定的递推关系求通项公式，观察、分析、推理能力要求较高．通常可对递推式变换，转化成特殊数列（等差或等比数列）来求解，这种方法体现了数学中化未知为已知的化归思想，而运用待定系数法变换递推式中的常数就是一种重要的转化方法．【规律方法技巧】数列的通项的求法：①公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式.⑵已知nS（即12()naaafn）求na，用作差法：11,(1),(2)nnnSnaSSn.⑶已知12()naaafn求na，用作商法：(1),(1)(),(2)(1)nfnfnanfn.[来源:Z§xx§k.Com]⑷若1()nnaafn求na用累加法：11221()()()nnnnnaaaaaaa1a(2)n.⑸已知1()nnafna求na，用累乘法：121121nnnnnaaaaaaaa(2)n.⑹已知递推关系求na，用构造法（构造等差、等比数列）.特别地，（1）形如1nnakab、1nnnakab（,kb为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为k的等比数列后，再求na.如(21)已知111,32nnaaa，求na；（2）形如11nnnaakab的递推数列都可以用倒数法求通项.注意：（1）用1nnnSSa求数列的通项公式时，你注意到此等式成立的条件了吗？（2n，当1n时，11Sa）；（2）一般地当已知条件中含有na与nS的混合关系时，常需运用关系式1nnnSSa，先将已知条件转化为只含na或nS的关系式，然后再求解.（3）由nS与1nS的关系，可以先求nS，再求na，或者先转化为项与项的递推关系，再求na．【考点针对训练】1.【黑龙江、吉林两省八校2017届高三上学期期中】已知数列}{na的前n项和为nS，且11a，21nnSa，则满足1012nnSS的n的最小值为（）A．4B．5C．6D．72.【河北省冀州中学2017届高三（复习班）上学期第二次阶段考试】数列{}na满足13a与11[]{}nnnaaa（[]na与{}na分别表示na的整数部分与分数部分），则2014a（）A．30203B．3130202C.33018D．3130182【考点3】数列求和【备考知识梳理】数列的求和也是高考中的热点内容，考察学生能否把一般数列转化为特殊数列求和，体现了化归的思想方法，其中错位相减和裂项相消是高考命题的热点．估计在以后的高考中不会有太大的改变．数列求和的常用方法，尤其是利用裂项法和错位相减法求一些特殊数列的和，数列求和的基本方法：1.基本公式法：1等差数列求和公式：11122nnnaannSnad2等比数列求和公式：111,11,111nnnnaqSaqaaqqqq30122nnnnnnCCCC.2.错位相消法：一般适应于数列nnab的前n向求和，其中na成等差数列，nb成等比数列．[来源:学+科+网Z+X+X+K]3.分组求和：把一个数列分成几个可以直接求和的数列，然后利用公式法求和．4.拆项（裂项）求和：把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程中消去中间项，只剩下有限项再求和.常见的拆项公式有：1若na是公差为d的等差数列，则111111nnnnaadaa；21111212122121nnnn；3111nnknkn；411mmmnnnCCC；5!1!!nnnn.5.倒序相加法：根据有些数列的特点，将其倒写后与原数列相加，以达到求和的目的．【规律方法技巧】数列求和关键是研究数列通项公式，根据通项公式的不同特征选择相应的求和方式，若数列是等差数列或等比数列，直接利用公式求和；若通项公式是等差乘等比型，利用错位相减法；若通项公式可以拆分成两项的差且在累加过程中可以互相抵消，利用裂项相消法，从近年的考题来看，逐渐加大了与函数不等式的联系，通过对通项公式进行放缩，放缩为易求和的数列问题处理．【考点针对训练】1.【安徽师范大学附属中学2017届高三上学期期中】用x表示不超过x的最大整数，例如[3]3，[1.2]1，[1.3]2.已知数列na满足11a，21nnnaaa，则]1...11[201620162211aaaaaa_____________.2.【山西省太原市2017届高三上学期阶段性测评（期中）】已知数列na的前n项和为nS，且23122nSnnnN,数列nb满足23log2nnabnN,则数列nnab的前n项和nT_________.【应试技巧点拨】1.由递推关系求数列的通项公式（1）利用“累加法”和“累乘法”求通项公式此解法来源与等差数列和等比数列求通项的方法，递推关系为1()nnaafn用累加法；递推关系为1()nnaf