专题14.2-不等式选讲-3年高考2年模拟1年原创备战2018高考精品系列之数学(理)(原卷版)

第十四章选讲部分专题2不等式选讲（理科）【三年高考】1.【2017课标1，理】已知函数f（x）=–x2+ax+4，g(x)=│x+1│+│x–1│.（1）当a=1时，求不等式f（x）≥g（x）的解集；（2）若不等式f（x）≥g（x）的解集包含[–1，1]，求a的取值范围.2.【2017课标II，理22】已知330,0,2abab。证明：（1）55()()4abab；（2）2ab。:Zxxk.Com]3．【2017课标3，理23】已知函数f（x）=│x+1│–│x–2│.（1）求不等式f（x）≥1的解集；（2）若不等式2fxxxm的解集非空，求m的取值范围.4．【2016高考新课标1卷】已知函数123fxxx.（I）在答题卡第（24）题图中画出yfx的图像；（II）求不等式1fx的解集．5.【2016高考新课标2】已知函数11()||||22fxxx，M为不等式()2fx的解集．（Ⅰ）求M；（Ⅱ）证明：当,abM时，|||1|abab．6.【2016高考新课标3】已知函数()|2|fxxaa．（I）当2a时，求不等式()6fx的解集；（II）设函数()|21|gxx．当xR时，()()3fxgx，求a的取值范围．7.【2015高考新课标2】设,,,abcd均为正数，且abcd，证明：（Ⅰ）若abcd，则abcd；（Ⅱ）abcd是abcd的充要条件．8.【2015高考福建】已知0,0,0abc，函数()||||fxxaxbc=++-+的最小值为4．(Ⅰ)求abc++的值；学科￥网(Ⅱ)求2221149abc++的最小值．9.【2015高考新课标1】已知函数错误!未找到引用源。=|x+1|-2|x-a|，a0.（Ⅰ）当a=1时，求不等式f(x)1的解集；（Ⅱ）若f(x)的图像与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围.【2017考试大纲】1.理解绝对值的几何意义,并能利用含绝对值不等式的几何意义证明以下不等式：(1)abab.(2)acabbc.(3)会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：axbc；axbc；xaxbc.2.了解下列柯西不等式的几种不同形式,理解它们的几何意义,并会证明.(1)柯西不等式的向量形式：.(2)2222212121122aabbabab.(3)22222211221212xyxyxxyy(此不等式通常称为平面三角不等式.)3.会用参数配方法讨论柯西不等式的一般情形：222222212121122nnnnaaabbbababab【三年高考命题回顾】纵观前三年各地高考试题,对不等式选讲的考查，主要考查绝对值不等式，柯西不等式，基本不等式等知识，主要考查绝对值不等式的解法，绝对值不等式的最值，绝对值不等式的恒成立问题，利用柯西不等式，基本不等式求最值，题目难度一般为中、低档，着重考查利用数形结合的能力以及化归与转化思想.【2018年高考复习建议与高考命题预测】由前三年的高考命题形式可以看出，高考对这部分要求不是太高，会解绝对值不等式，会利用柯西不等式求最值，而解绝对值不等式是高考的热点，备考中应严格控制训练题的难度．高考对这部分要求不是太高，高考中有选择题和填空的形式，新课标等以选做题的形式考查.预测2018年高考绝对值不等式仍是考试的重点，也有可能出一个利用柯西不等式求最值．在近年的高考中，不等式选讲的考查有选择题、填空题、解答题都有，不仅考查绝对值不等式的基础知识，基本技能，基本方法，而且还考查了分析问题、解决问题的能力.预计绝对值不等式的性质，绝对值不等式的解法及重要不等知识将以选择题或填空的形式出现；解答题可能出现解绝对值不等与利用柯西不等式证不等式.如果是解绝对值不等式含参数的绝对值不等式可能性比较大，如果是证明题将是利用柯西不等式.复习建议：在复习解绝对值不等式过程中，注意培养、强化与提高等价转化、分类讨论、数形结合的数学思想和方法，逐步提升数学素养，提高分析解决综合问题的能力.能根椐各类不等式的特点，变形的特殊性，归纳出各类绝对值不等式的解法和思路以及具体解法.利用函数知识解应用题是高考重点，应引起重视.【2018年高考考点定位】高考对不等式选讲的考查有含绝对值不等式的解法，有关不等式的证明，利用不等式的性质求最值．【考点1】绝对值不等式【备考知识梳理】1．绝对值三角不等式(1)定理1：如果,ab是实数，则ababab,对于abab，当且仅当0ab时，等号成立．(2)定理2：如果,,abc是实数，则acabbc，当且仅当0abbc时，等号成立．2．绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式xa与xa的解集：不等式0a0a0axa,aaxa,,aa,00,R(2)axbc(0c)和axbc(0c)型不等式的解法：①axbccaxbc；学科！网②axbcaxbc或axbc;(3)xaxbc(0c)和xaxbc(0c)型不等式的解法：①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．3.易错点形如xaxbc的不等式解法在讨论时应注意分类讨论点处的处理及c的符号判断，若0c则不等式解集为R.【规律方法技巧】1.解含有绝对值不等式时，去掉绝对值符号的方法主要有：公式法、分段讨论法、平方法、几何法等．这几种方法应用时各有利弊，在解只含有一个绝对值的不等式时，用公式法较为简便；但是若不等式含有多个绝对值时，则应采用分段讨论法；应用平方法时，要注意只有在不等式两边均为正的情况下才能运用．因此，在去绝对值符号时，用何种方法需视具体情况而定.2.含绝对值不等式的常用解法(1)基本性质法：对0a，xaaxa，xaxa或xa.(2)平方法：两边平方去掉绝对值符号．这适应于两边都是正数的绝对值不等式.(3)零点分区间法(或叫定义法)：含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分区间法脱去绝对值符号，将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式(组)求解．用零点分段法解绝对值不等式的步骤:①求零点;②划区间,去掉绝对值符号;③分别解去掉绝对值的不等式;④取每个结果的并集,注意在分段时不要遗漏区间的端点值.(4)几何法：利用绝对值的几何意义，画出数轴，将绝对值转化为数轴上两点的距离求解．(5)数形结合法：在直角坐标系中作出不等式两边所对应的两个函数的图象，利用函数图象求解．3.证明绝对值不等式主要有三种方法(1)利用绝对值的定义去掉绝对值符号，转化为普通不等式再证明；(2)利用三角不等式ababab进行证明；(3)转化为函数问题，数形结合进行证明．4对于求yxaxb或yxaxb型的最值问题利用绝对值三角不等式更方便．形如yxaxb的函数只有最小值，形如yxaxb的函数既有最大值又有最小值．【考点针对训练】1.【2017届山西省高三3月高考考前适应性测试】已知关于x的不等式2xxmm.（1）当0m时，求该不等式的解集；（2）当2,3x时，该不等式恒成立，求m的取值范围.2.【2017届云南省师大附中高三高考适应性考试】已知函数121fxxx.（1）求fx的图象与x轴围成的三角形面积；[来源:Z*xx*k.Com]（2）设24xaxgxx，若对0,st，恒有gsft成立，求实数a的取值范围.【考点2】不等式的证明[来源:学+科+网Z+X+X+K]【备考知识梳理】1．不等式证明的方法(1)比较法：①求差比较法：知道0abab，0abab，因此要证明ab只要证明0ab即可，这种方法称为求差比较法．②求商比较法：由01aabb且0,0ab，因此当0,0ab时，要证明ab，只要证明1ab即可，这种方法称为求商比较法．(2)综合法：利用某些已经证明过的不等式和不等式的性质，推导出所要证明的不等式，这种方法叫综合法．即“由因导果”的方法．学科*网(3)分析法：证明不等式时，有时可以从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题，如果能够肯定这些充分条件都已经具备，那么就可以判定原不等式成立，这种方法叫作分析法．即“执果索因”的方法．(4)反证法和放缩法：①先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立，这种方法叫作反证法．②证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值放大或缩小，简化不等式，从而达到证明的目的，这种方法叫作放缩法．2．几个常用基本不等式(1)柯西不等式：①柯西不等式的代数形式：设1212,,,aabb均为实数，则2222212121122aabbabab(当且仅当1212aabb时，等号成立)．②柯西不等式的向量形式：设,为平面上的两个向量，则.③二维形式的三角不等式：设1212,,,xxyyR，那么22222211221212xyxyxxyy.④柯西不等式的一般形式：设1212,,,,,,,nnaaabbb为实数，则222222212121122nnnnaaabbbababab，当且仅当1212nnaaabbb时，等号成立．(2)平均值不等式：定理：如果,,abc为正数，则33abcabc，当且仅当abc时，等号成立．我们称3abc为正数,,abc的算术平均值，3abc为正数,,abc的几何平均值，定理中的不等式为三个正数的算术—几何平均值不等式，简称为平均值不等式．一般形式的算术—几何平均值不等式：如果12,,,naaa为n个正数，则1212nnnaaaaaan，当且仅当12naaa时，等号成立．[来源:Zxxk.Com]3.易错点：使用柯西不等式或平均值不等式时易忽视等号成立的条件．易混淆分析法与综合法，分析法是执果索因，综合法是由因导果．【规律方法技巧】1.绝对值不等式的证明：含绝对值不等式的证明题主要分两类：一类是比较简单的不等式，往往可通过公式法、平方法、换元法等去掉绝对值转化为常见的不等式证明题，或利用绝对值三角不等式性质定理：ababab，通过适当的添、拆项证明；另一类是综合性较强的函数型含绝对值的不等式，往往可考虑利用一般情况成立则特殊情况也成立的思想，或利用一元二次方程的根的分布等方法来证明．2.利用柯西不等式证明不等式：使用柯西不等式证明的关键是恰当变形，化为符合它的结构形式，当一个式子与柯西不等式的左边或右边具有一致形式时，就可使用柯西不等式对这个式子进行缩小或放大，从而证得问题．利用柯西不等式求最值的一般结构为：222221222212111111nnaaanaaa，在使用柯西不等式时，要注意右边为常数且应注意等号成立的条件．3.放缩法证明不等式的技巧(1)放缩法原理简单，但放缩技巧性强，而且应用广泛，常用的放缩法有增项、减项，利用分式的性质、函数的性质、不等式的性质等．其理论依据是不等式的传递性，使用此方法时要注意把握放大或缩小的度，既不能放的过小，也不能放过了头．常见的放缩依据和技巧是不等式的传递性．缩小分母、扩大分子，分式值增大；缩小分子、扩大分母，分式值减小；每一次缩小其和变小，但需大于所求；每一