专题4.3-解三角形-3年高考2年模拟1年原创备战2018高考精品系列之数学(理)(原卷版)

第四章三角函数专题3解三角形（理科）【三年高考】1.【2017山东，理9】在C中，角，，C的对边分别为a，b，c．若C为锐角三角形，且满足sin12cosC2sincosCcossinC，则下列等式成立的是（A）2ab（B）2ba（C）2（D）22.【2017浙江，14】已知△ABC，AB=AC=4，BC=2．点D为AB延长线上一点，BD=2，连结CD，则△BDC的面积是______，cos∠BDC=_______．3.【2017课标1，理17】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为23sinaA（1）求sinBsinC;（2）若6cosBcosC=1，a=3，求△ABC的周长.4.【2017课标II，理17】ABC的内角ABC、、所对的边分别为,,abc，已知2sin8sin2BAC，（1）求cosB；（2）若6ac，ABC的面积为2，求b。5.【2017课标3，理17】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知sin3cos0AA，a=27,b=2.（1）求c；（2）设D为BC边上一点，且ADAC,求△ABD的面积.6.【2016高考新课标2理数】ABC的内角,,ABC的对边分别为,,abc，若4cos5A，5cos13C，1a，则b．7．【2016高考上海理数】已知ABC的三边长分别为3,5,7，则该三角形的外接圆半径等于_________.8．【2016年高考北京理数】在ABC中，2222acbac.（1）求B的大小；（2）求2coscosAC的最大值.9．【2016高考新课标1卷】ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2cos(coscos).CaB+bAc（I）求C；（II）若7,cABC的面积为332,求ABC的周长．10.【2015高考湖北，理13】如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75的方向上，仰角为30，则此山的高度CDm.11.【2015高考山东，理16】设2sincoscos4fxxxx.（Ⅰ）求fx的单调区间；（Ⅱ）在锐角ABC中，角,,ABC的对边分别为,,abc,若0,12Afa,求ABC面积的最大值.12.【2015高考四川，理19】如图，A，B，C，D为平面四边形ABCD的四个内角.（1）证明：1costan;2sinAAA（2）若180,6,3,4,5,ACABBCCDADo求tantantantan2222ABCD的值.ABCD【2017考试大纲】1.正弦定理和余弦定理掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题.2.应用能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.【三年高考命题回顾】纵观前三年各地高考试题,解三角形问题，是每年高考必考的知识点之一，题型一般是选择和填空的形式，大题往往结合三角恒等变换，也有单独解三角形,主要考查正弦定理或余弦定理的运用，以及在三角形中运用三角公式进行三角变换的能力和利用三角形面积求边长等,考查利用三角公式进行恒等变形的技能，以及基本运算的能力，特别突出算理方法的考查．【2018年高考复习建议与高考命题预测】由前三年的高考命题形式可以看出,高考对解三角形的考查，以正弦定理、余弦定理的综合运用为主，从近几年的高考试题来看，正弦定理、余弦定理是高考的热点，主要涉及三角形的边角转化、三角形形状的判断、三角形内三角函数的求值以及三角恒等式的证明问题，立体几何体的空间角以及解析几何中的有关角等问题.今后高考的命题会以正弦定理、余弦定理为知识框架，以三角形为主要依托，结合实际应用问题考察正弦定理、余弦定理及应用.题型一般为选择题、填空题，也可能是解答题,主要考查学生分析问题、解决问题的能力和处理交汇性问题的能力．故在2018年复习备考中，注意掌握利用正弦定理、余弦定理转化为三角形中各边之间的关系或各角之间的关系，并结合三角形的内角和为180°，诱导公式，同角三角函数基本关系，两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行化简求值．预测2018年高考仍将以正弦定理、余弦定理，尤其是两个定理的综合应用为主要考点，重点考查计算能力以及应用数学知识分析和解决问题的能力．【2018年高考考点定位】高考对解三角形的考查有两种主要形式：一是直接考查正弦定理、余弦定理；二是以正弦定理、余弦定理为工具考查涉及三角形的边角转化、三角形形状的判断、三角形内三角函数的求值以及三角恒等式的证明问题.从涉及的知识上讲，常与诱导公式，同角三角函数基本关系，两角和与差的正弦、余弦、正切公式,向量等知识相联系，小题目综合化是这部分内容的一种趋势.【考点1】利用正余弦定理在三角形中求三角函数值、求角、求边长【备考知识梳理】1．直角三角形中各元素间的关系：如图，在ABCV中，90C，,,ABcACbBCa.（1）三边之间的关系：222abc.（勾股定理）（2）锐角之间的关系：90AB；（3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义）sincosaABc，sincosbBAc，tanaAb.1210864224681020151055101520abcCBA2．斜三角形中各元素间的关系：如图，在ABCV中，,,ABC为其内角，,,abc分别表示,,ABC的对边.（1）三角形内角和：ABC.（2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等2sinsinsinabcRABC.（R为外接圆半径）变形：2sinaRA，2sinbRB，2sincRC;sin,sin,sin222abcABCRRR;::sin:sin:sinabcABC；2sinsinsinsinabcaRABCA.（3）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍2222cosabcbcA；2222cosbacacB；2222coscababC.推论：222cos2bcaAbc;222cos2acbBac;222cos2abcCab.变形：2222cosbcAbca;2222cosacBacb;2222cosabCabc.【规律方法技巧】解斜三角形的常规思维方法是：（1）已知两角和一边（如,,ABc），由ABC求C，由正弦定理求,ab；（2）已知两边和夹角（如,,abC），应用余弦定理求c边；再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用ABC，求另一角；（3）已知两边和其中一边的对角（如,,abA），应用正弦定理求B，由ABC求C，再由正弦定理或余弦定理求c边，要注意解可能有多种情况；A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＜bsinAa＝bsinAbsinA＜a＜ba≥ba＞ba≤b解的个数无解一解两解一解一解无解也可设出第三边,利用余弦定理,建立方程,解方程即可.（4）已知三边,,abc，应余弦定理求,AB，再由ABC，求角C.(5)熟练运用余弦定理及其推论，同时还要注意整体思想、方程思想在解题过程中的运用．(6)在含有三角形内角的三角函数和边的混合关系式中要注意变换方向的选择．正弦定理、余弦定理、三角形面积公式本身就是一个方程，在解三角形的试题中方程思想是主要的数学思想方法，要注意从方程的角度出发分析问题．(7)如何恰当选择正弦定理与余弦定理解题利用正弦定理解三角形时，可将正弦定理视为方程或方程组，利用方程思想处理已知量与未知量的关系.熟记正弦定理同三角形外接圆半径、三角形面积之间的关系等结论，对于相关问题是十分有益的.利用正弦定理可解决以下两类问题：一是已知两角和一角的对边，求其他边角；二是已知两边和一边对应的角，求其他边角，由于此时的三角形不能确定，应对它进行分类讨论.利用正弦定理解题一般适应的特点（1）如果所给的等式两边有齐次的边的形式或齐次的角的正弦的形式，可以利用正弦定理进行边角互换，这是高考中常见的形式；（2）根据所给条件构造（1）的形式，便于利用正弦定理进行边角互换，体现的是转化思想的灵活应用.余弦定理与平面几何知识、向量、三角函数有着密切的联系，常解决一下两类问题：一是已知两边和它们的夹角，求其他边角；二是已知三边求三角.由于这两种情形下三角形是唯一确定的，所以其解也是唯一.余弦定理的重要应用(8)三角形的余弦定理作为解决三角形问题的利剑，必须熟练掌握应用.为此，就其常见的几种变形形式，介绍如下.①联系完全平方式巧过渡:由222()2bcbcbc则22222cos()2(1cos)abcbcAbcbcA.②联系重要不等式求范围：由222bcbc，则2222cos22cos2(1cos)abcbcAbcbcAbcA当且仅当bc等号成立.③联系数量积的定义式妙转化：在ABC中，由222222coscos22abcabcCACBCACBCabCababuuruuruuruur.(9)在三角形内求值、证明或判断三角形形状时，要用正、余弦定理完成边与角的互化，一般是都化为边或都化为角，然后用三角公式或代数方法求解，从而达到求值、证明或判断的目的．解题时要注意隐含条件．【考点针对训练】1.【辽宁省锦州市2017届高三质量检测（二）】ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，2a，2b，45A，则B（）A.30B.60C.30或150D.60或1202.【2017届湖南省衡阳市高三第二次联考】已知ABC的三边长为三个连续的自然数，且最大内角是最小内角的2倍，则最小内角的余弦值是（）A.23B.34C.56D.710【考点2】利用正余弦定理求三角形面积【备考知识梳理】三角形的面积公式：（1）111222abcSahbhchV（,,abchhh分别表示,,abc上的高）；（2）111sinsinsin222SabCbcAacBV；（3）222sinsinsinsinsinsin2sin2sin2sinaBCbACcABSBCACABV；（4）22sinsinsinSRABCV；（R为外接圆半径）（5）SVRabc4；（6）SV△＝))()((csbsass；)(21cbas；（7）SrSV.（r为内切圆半径,)(21cbas）【规律方法技巧】利用1sin2SabCV来求ABCV的面积是在已知两边及夹角的前提下来求的，事实上，两边及夹角中的某个(或两个)量需要通过解三角形求出，这就需要先利用正、余弦定理解三角形．求解此类三角形的基本量的技巧：先将几何问题转化为代数问题，正确分析已知等式中的边角关系，利用正弦定理、余弦定理、任意三角形面积公式等工具进行三角形中边角的互化，若要把“边”化为“角”，常利用“2sinaRA，，2sinbRB，2sincRC;”，若要把“角”化为“边”，常利用sin,sin,sin222abcABCRRR，222cos2bcaAbc;222cos2acbBac;222cos2abcCab等；然后利用三角形的内角和定理、大边对大角等知识求出三角形的基本量．解三角形中，应特别注意问题中的隐含条件，正弦定理和余弦定理，三角形的面积公式，三角形中的边角关系，内角和定理等．例如利用边的值判断隐含条件ba或bc，极其隐蔽．另外常见的错误还有：(1)在化简三角函数式子时要注意恒等变形不要轻易约分(消去某一个式子)等，(2)在利用正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角求另一边的对角，进而求出其他的边和角时，有时可能出现一解、两解或无解，所以要进行分类讨论．【考