专题6.3-数列的综合问题-3年高考2年模拟1年原创备战2018高考精品系列之数学(江苏版)(原卷版

第六章数列专题3数列的综合问题【三年高考】1．【2017高考江苏】对于给定的正整数k，若数列{}na满足：1111nknknnnknkaaaaaa2nka对任意正整数()nnk总成立，则称数列{}na是“()Pk数列”．（1）证明：等差数列{}na是“(3)P数列”；（2）若数列{}na既是“(2)P数列”，又是“(3)P数列”，证明：{}na是等差数列．2．【2016高考江苏20】记{1,2,,100}UL，对数列*nanN和U的子集T，若T，定义0TS；若12,,kTttt,，定义12kTtttSaaa.例如：=1,3,66T时，1366+TSaaa.现设*nanN是公比为3的等比数列，且当=2,4T时，=30TS.（1）求数列na的通项公式；（2）对任意正整数1100kk，若1,2,,Tk，求证：1TkSa；（3）设,,CDCUDUSS，求证：2CCDDSSS.3．【2014江苏，理20】设数列na的前n项和为nS.若对任意的正整数n，总存在正整数m，使得nmSa，则称na是“H数列”.（1）若数列na的前n项和为*2()nnSnN，证明：na是“H数列”.（2）设na是等差数列，其首项11a，公差0d，若na是“H数列”，求d的值；（3）证明：对任意的等差数列na，总存在两个“H数列”nb和nc，使得nnnabc*()nN成立.4．【2017天津，理18】已知{}na为等差数列，前n项和为()nSnN，{}nb是首项为2的等比数列，且公比大于0，2312bb,3412baa，11411Sb.（Ⅰ）求{}na和{}nb的通项公式；（Ⅱ）求数列221{}nnab的前n项和()nN.5.【2017浙江，22】（本题满分15分）已知数列{xn}满足：x1=1，xn=xn+1+ln(1+xn+1)（Nn）．证明：当Nn时，（Ⅰ）0＜xn+1＜xn；（Ⅱ）2xn+1−xn≤12nnxx；[来源:学科网ZXXK]（Ⅲ）112n≤xn≤212n．6．【2016高考新课标2理数】nS为等差数列na的前n项和，且17=128.aS，记=lgnnba，其中x表示不超过x的最大整数，如0.9=0lg99=1，．（Ⅰ）求111101bbb，，；（Ⅱ）求数列nb的前1000项和．7．【2016高考山东理数】已知数列na的前n项和Sn=3n2+8n，nb是等差数列，且1.nnnabb（Ⅰ）求数列nb的通项公式；（Ⅱ）令1(1).(2)nnnnnacb求数列nc的前n项和Tn.8．【2016高考天津理数】已知na是各项均为正数的等差数列，公差为d，对任意的,bnnN是na和1na的等差中项.(Ⅰ)设22*1,nnncbbnN，求证：nc是等差数列；(Ⅱ)设22*11,1,nnnnkadTbnN，求证：2111.2nkkTd9．【2016高考浙江理数】设数列na满足112nnaa，n．（I）证明：1122nnaa，n；（II）若32nna，n，证明：2na，n．10．【2016年高考北京理数】设数列A：1a，2a,…Na(N).如果对小于n(2nN)的每个正整数k都有ka＜na，则称n是数列A的一个“G时刻”.记“)(AG是数列A的所有“G时刻”组成的集合.（1）对数列A：-2，2，-1，1，3，写出)(AG的所有元素；（2）证明：若数列A中存在na使得na1a，则)(AG；（3）证明：若数列A满足na-1na≤1（n=2,3,…,N）,则)(AG的元素个数不小于Na-1a.11．【2016高考上海文科】对于无穷数列{na}与{nb}，记A={x|x=a，*Nn}，B={x|x=nb，*Nn}，若同时满足条件：①{na}，{nb}均单调递增；②AB且*NAB，则称{na}与{nb}是无穷互补数列.（1）若na=21n，nb=42n，判断{na}与{nb}是否为无穷互补数列，并说明理由；（2）若na=2n且{na}与{nb}是无穷互补数列，求数列{nb}的前16项的和；（3）若{na}与{nb}是无穷互补数列，{na}为等差数列且16a=36，求{na}与{nb}得通项公式.12.【2015高考福建，理8】若,ab是函数20,0fxxpxqpq的两个不同的零点，且,,2ab这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则pq的值等于________________.13.【2015高考浙江，理20】已知数列na满足1a=12且1na=na-2na（n*N）（1）证明：112nnaa（n*N）；（2）设数列2na的前n项和为nS，证明112(2)2(1)nSnnn（n*N）.14.【2015高考安徽，理18】设*nN，nx是曲线221nyx在点(12)，处的切线与x轴交点的横坐标.（Ⅰ）求数列{}nx的通项公式；（Ⅱ）记2221321nnTxxx，证明14nTn.13.【2015高考上海，理22】已知数列na与nb满足112nnnnaabb，n.（1）若35nbn，且11a，求数列na的通项公式；（2）设na的第0n项是最大项，即0nnaa（n），求证：数列nb的第0n项是最大项；（3）设10a，nnb（n），求的取值范围，使得na有最大值与最小值m，且2,2m.【2018年高考命题预测】纵观2017各地高考试题，等差数列与等比数列的综合，数列与应用问题的结合，数列与函数、方程、不等式、向量、平面解析几何、向量、三角函数的有机结合，互相渗透，已经成为近年来高考的热点和重点，成为高考题的美丽的风景线．对等差数列与等比数列的综合考察．“巧用性质、减少运算量”在等差、等比数列的计算中非常重要，但用“基本量法”并树立“目标意识”“需要什么，就求什么”，既要充分合理地运用条件，又要时刻注意题的目标，往往能取得与“巧用性质”解题相同的效果．对数列与应用问题的结合的考察，主要是将实际应用问题转化为数列模型，关键是要熟悉等差数列模型、等比数列模型，以及注意项与项之间的递推关系．数列与函数、方程、不等式的结合，此类问题抓住一个中心-----函数,一是数列和函数的密切联系，数列的通项公式是数列的核心，函数的解析式是研究函数问题的基础；二是方程、不等式与函数的联系，注意利用它们的对应关系解题．数列与其他知识的结合，主要是通过三角函数或者解析几何或者向量中包含的等量关系，得出数列的递推公式或者通项公式，进而利用数列知识求解．数列问题是每年必考题目，预测2017年会继续考查，以等差数列和等比数列的综合应用题为主，要灵活掌握等差数列和等比数列的性质．【2018年高考考点定位】高考对数列综合应用问题的考查有四种主要形式：一是等差、等比的综合应用；二是等差、等比数列在实际中的应用；三是数列与函数、方程、不等式等其他知识的交汇考察．【考点1】等差数列、等比数列的综合应用【备考知识梳理】1．等差数列的判定：①1nnaad（d为常数）；②112nnnaaa；③napnq（,pq为常数）；④2nSanbn（,ab为常数）．其中用来证明方法的有①②．2.等比数列的判定：①1nnaqa（0,0naq）；②211nnnaaa（0na）；③(a0,b0)nnaab；④,(a0,b0,b1),na,(a0)nnabaS其中用来证明方法的有①②．3．等差数列的通项公式：1(1)naand，()nmaanmd2．等比数列的通项公式：11nnaaq，nmnmaaq4．等差数列前n项和公式：Sn=dnnna2)1(1Sn=2)(1naan5.等比数列前n项和公式：当q=1时，Sn=na1(是关于n的正比例式)；当q≠1时，Sn=qqan1)1(1Sn=qqaan116新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆等差数列{an}中，若m+n=p+q，则qpnmaaaa7新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆等比数列{an}中，若m+n=p+q，则qpnmaaaa8新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆等差数列{an}的任意连续m项的和构成的数列23243mmmmmmmSSSSSSS、、、、……仍为等差数列新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆9新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆等比数列{an}的任意连续m项的和构成的数列23243mmmmmmmSSSSSSS、、、……仍为等比数列（当m为偶数且公比为-1的情况除外）新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆10新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆两个等差数列{an}与{bn}的和差的数列{an+bn}、{an-bn}仍为等差数列新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆11新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆两个等比数列{an}与{bn}的积、商、倒数的数列{anbn}、nnba、nb1仍为等比数列新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆12.等差数列{an}的任意等距离的项构成的数列仍为等差数列新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆13新