专题5.2-平面向量的数量积及其应用-3年高考2年模拟1年原创备战2018高考精品系列之数学(理)(

第五章平面向量专题2平面向量的数量积及其应用（理科）【三年高考】1.【2017北京，理6】设m,n为非零向量，则“存在负数，使得mn”是“0mn”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件2.【2017课标II，理12】已知ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则()PAPBPC的最小是（）A.2B.32C.43D.13.【2017课标1，理13】已知向量a，b的夹角为60°，|a|=2，|b|=1，则|a+2b|=.4．【2017山东，理12】已知12,ee是互相垂直的单位向量，若123ee与12ee的夹角为60，则实数的值是.5．【2017天津，理13】在ABC△中，60A∠，3AB，2AC.若2BDDC，()AEACABR，且4ADAE，则的值为___________.6．【2016高考山东理数】已知非零向量m，n满足4│m│=3│n│，cosm，n=13.若n⊥（tm+n），则实数t的值为（）（A）4（B）–4（C）94（D）–947.【2016高考新课标2理数】已知向量(1,)(3,2)ama，=，且()abb+，则m（）（A）－8（B）－6（C）6（D）88.【2016高考新课标3理数】已知向量13(,)22BAuuv，31(,)22BCuuuv，则ABC（）(A)30(B)45(C)60(D)1209.【2015高考陕西，理7】对任意向量,ab，下列关系式中不恒成立的是（）A．||||||ababB．||||||||ababC．22()||ababD．22()()ababab[来源:学科网]10.【2015高考重庆，理6】若非零向量a，b满足|a|=223|b|，且（a-b）（3a+2b），则a与b的夹角为（）A、4B、2C、34D、11.【2015高考福建，理9】已知1,,ABACABACtt，若P点是ABC所在平面内一点，且4ABACAPABAC，则PBPC的最大值等于（）A．13B．15C．19D．2112.【2015高考湖南，理8】已知点A，B，C在圆221xy上运动，且ABBC，若点P的坐标为(2,0)，则PAPBPC的最大值为（）A.6B.7C.8D.9【2017考试大纲】1.平面向量的数量积(1)理解平面向量数量积的含义及其物理意义.(2)了解平面向量的数量积与向量投影的关系.(3)掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算.(4)能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.2.向量的应用(1)会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.(2)会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.【三年高考命题回顾】纵观前三年各地高考试题,对平面向量数量积及其应用的考查，重点考查结合平面向量的加减、实数与向量积的运算，运用平面向量数量积的定义、数量积的运算法则、数量积的性质，计算平面向量数量积、向量的夹角、处理向量垂直问题、计算向量的模、计算一个向量在另一个向量上的投影，而向量的数量积及运算律，向量垂直的充要条件是高考的热点，题型既有选择题、填空题，有时也涉及解答题，往往和解析几何结合出题，函数等结合出题，与三角结合出大题在新课标卷中还没涉及，而对向量的数量积及运算律的考查多为一个小题；另外作为工具在考查三角函数、立体几何、平面解析几何等内容时经常用到．【2018年高考复习建议与高考命题预测】由前三年的高考命题形式可以看出，整个命题过程紧扣课本，重点突出，有时考查单一知识点；有时通过知识的交汇与链接，全面考查向量的数量积及运算律等内容．试题难度为多为容易题或中档题，少数为选择题或填空的压轴题.预测2018高考，对平面向量数量积及其应用的考查，重点仍为结合平面向量的加减、实数与向量积的运算，运用平面向量数量积的定义、数量积的运算法则、数量积的性质，计算平面向量数量积、向量的夹角、处理向量垂直问题、计算向量的模、计算一个向量在另一个向量上的投影，考查形式为选择题或填空题，分值为5分，试题难度为为容易题或中档题，也可为选择题或填空的压轴题，注意向量作为工具，常用向量形式给出题的条件或利用向量数量积处理其中的夹角与垂直问题.在备战2018年高考中，同学们要熟记向量数量的定义、运算法则及平面向量的数量积性质，加强运用这些知识计算平面向量数量积、向量的夹角、处理向量垂直问题、计算向量的模、计算一个向量在另一个向量上的投影等题型的训练，善于将题中的向量形式给出的条件，转化为代数条件或几何条件,善于用平面运用平面向量数量积处理长度、夹角、垂直等问题.【2018年高考考点定位】[来源:学+科+网Z+X+X+K]高考对平面向量数量积及其应用的考查主要有三种形式：一是直接考查平面向量数量积的概念及其几何意义、平面向量数量积的运算法则及一个向量在另一个向量方向上的投影，二是考查平面向量夹角问题与向量垂直的充要条件的应用，三是考查平面向量的模及平面向量数量积的综合运用，题型为选择题、填空题、解答题的第一个大题，大多难度容易题或中档题，少数为选择题或填空题的最末一题为难题，有时与线性规划、平面解析几何知识结合，以向量形式给出题中的条件或利用向量垂直的充要条件、向量夹角公式、或向量模公式分别处理涉及的垂直问题、夹角问题和长度问题.【考点1】平面向量数量积及其几何意义【备考知识梳理】1.平面向量的数量积：(1)已知非零向量a与b，它们的夹角为，则把|a||b|cos叫做a与b的数量积，记作ab，记作ab=|a||b|cos，规定0a=0.注意平面向量的数量积是一个实数，既可以为正，也可以为负，也可以为0，与向量其他运算区别开来.(2)已知a=（1x，1y），b=（2x，2y），则ab=1x2x+1y2y.2.向量的投影：|b|cos叫向量b在向量a方向上的投影，它是一个实数，而不向量.向量b在向量a方向上的投影为ab|a|.学科-网3.平面向量的数量积的几何意义ab等于a的模与b在向量a方向上的投影的乘积.4.数量积的运算法则：（1）ab=ba；（2）()ab+c=ab+ac，（3）()ab=.()ab=()ab【规律方法技巧】1.在解决与平面几何有关的数量积问题时，充分利用向量的线性运算，将所求向量用共同的基底表示出来，在利用平面向量的数量积数量积运算法则求解.2.计算向量b在向量a方向上的投影有两种思路：思路1，用|b|cos计算;思路2，利用ab|a|计算.3.注意向量的数量积不满足消去率和结合律.4.在计算向量数量积时，若一个向量在另一个向量上的投影已计算，可以利用向量数量积的几何意义计算.【考点针对训练】1.【山西省孝义市2017届高三考前热身训练】已已知单位向量,ab满足ab，向量21,matbntab,（t为正实数），则mn的最小值为（）A.158B.52C.154D.02.【天津市耀华中学2017届高三第一次校模拟】已知a，b为单位向量，且2abab，则a在ab上的投影为（）A.13B.63C.263D.223【考点2】向量垂直问题与向量夹角问题【备考知识梳理】1.向量夹角(1)定义：已知非零向量a、b，作OA=a，OB=b，则AOB就是a与b的夹角，范围为[0,]，当向量a与b同向时，a与b的夹角为0，当向量a与b反向时，a与b的夹角为，注意通过平移使两个向量有共同的起点，向量所在的射线所成的角才是向量夹角.(2)若向量a与b的夹角为，则cos=ab|a||b|.(3)若已知向量a=（1x，1y），b=（2x，2y），向量a与b的夹角为，则cos=121222221122xxyyxyxy.2.向量垂直(1)概念：若a与b的夹角为o90，则称a与b垂直，记作a⊥b.（2）已知非零向量a，b，则a⊥bab=0.(3)已知非零向量a，b，a=（1x，1y），b=（2x，2y），则a⊥b1x2x+1y2y=0.【规律方法技巧】1.用向量夹角处理夹角问题时，要注意所求角与向量夹角的关系.2.在求夹角时要注意：(1)当a，b是非坐标形式时，需要先求出ab及|a|、|b|或它们的关系.(2)若已知向量a，b的坐标，直接利用公式求解.(3)若两个向量夹角为锐角，则cos＞0，反之，不一定；若两个向量夹角为钝角，则cos小于0，反之，不一定.3.利用向量数量积研究垂直问题时注意给出的形式：可以用定义式，也可以用坐标式.【考点针对训练】[来源:学+科+网Z+X+X+K]1.【湖南省长沙市雅礼中学2017届高考模拟试卷（二）】已知非零向量,,abc满足0abc，向量,ab的夹角为120°，且2ba，则向量a与c的夹角为（）A.180°B.150°C.120°D.90°2.【山东莱芜市第一中学2017年高三数学模拟】已知向量AB与AC的夹角为120，且3,2,ABAC若,APABAC且APBC,则实数的值为___【考点3】平面向量模与向量的数量积的综合运用【备考知识梳理】1.向量的模：向量a的模就是表示向量a的有向线段的长度，记作|a|，它表示向量a的大小，是非负数.2.22|a|aaa.3.若向量a=（1x，1y），则|a|=2211xy.4.若A（1x，1y），B（2x，2y），则||AB=221212()()xxyy.【规律方法技巧】1.对于长度问题，可以用向量的模来处理，若向量a是非坐标形式，用22|a|aaa求模长；若给出向量a的坐标，则用|a|=2211xy来求解.2.对向量与其他知识结合的综合问题，有两种思路，思路1:需要将题中以向量形式给出的条件利用相关公式化为代数代数条件或几何条件，结合相关知识解题；思路2：将题中平行、垂直、角、长度等问题，运用向量的相关知识，转化为向量问题去处理.【考点针对训练】1.【2017届江苏省如东高级中学高三2月摸底】已知错误!未找到引用源。是半径为错误!未找到引用源。的圆错误!未找到引用源。上的三点,错误!未找到引用源。为圆错误!未找到引用源。的直径,错误!未找到引用源。为圆错误!未找到引用源。内一点(含圆周),则错误!未找到引用源。的取值范围为__________．2.【湖南省长沙市一中2017届高三高考模拟】在中，为中线上的一个动点，若，则的最小值为__________．【应试技巧点拨】1.如何利用向量的几何表示三角形的各种心向量的几何表示是高考的热点问题，特别是用三角形的各种心的向量表示经常是命题的素材，常见的结论如下：①1()3PGPAPBPCG为ABC的重心，特别地0PAPBPCP为ABC的重心；(),[0,)ABAC是BC边上的中线AD上的任意向量，过重心；1,2ADABAC等于已知AD是ABC中BC边的中线.②PAPBPBPCPCPAP为ABC的垂心；()||cos||cosABACABBACC[0,)是△ABC的边BC的高AD上的任意向量，过垂心.③||||||0ABPCBCPACAPBPABC的内心；向量()(0)||||ACABABAC所在直线过ABC的内心(是BAC的角平分线所在直线).④()()()0OAOBABOBOCBCOCOACA222OAOBOCOAOBOCO为ABC的外心.2.向量垂直的重要应用向量垂直的重要应用,是高考的热点.命题方向有两点：一是利用已知条件去判断垂直；二是利用垂直的条件去确定参数的值.需牢固掌握判断的充要条件.向量垂直的充要条件：0||||abababab12120xxyy.3.如何恰当的选择向量的数量积的公式求向量的数量积的公式有两个：一是定义式ab＝cosab；二是坐标式ab1212xxy