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能力课8机械振动与机械波综合性问题-2-知识点一知识点二单摆的周期及等时性问题1.伽利略发现了单摆运动的等时性。2.荷兰物理学家确定了计算单摆周期的公式:,即单摆做简谐运动的周期T与摆长l的二次方根成,与重力加速度g的二次方根成,而与振幅、摆球质量(填“有关”或“无关”)。3.对周期公式的理解(1)单摆的周期公式在单摆偏角很时成立(偏角为5°时,由周期公式算出的周期和精确值相差0.01%)。(2)公式中l是摆长,即悬点到摆球球心的距离l=。(3)公式中g是单摆所在地的重力加速度,由单摆所在的_________决定。(4)周期T只与l和g,与摆球质量m及振幅。所以单摆的周期也叫固有周期。T=2πlg惠更斯正比反比无关小l线+r球空间位置有关无关-3-知识点一知识点二波的多解问题波动问题多解的主要因素:(1)波的性;(2)波的传播方向不确定。周期-4-考点一考点二单摆的周期性与等时性(师生共研)对单摆周期公式的理解单摆的振动周期与振幅和质量无关,只决定于摆长与该处的重力加速度g,T=2πlg。-5-考点一考点二1.确定摆长l摆长l是指摆动圆弧的圆心到摆球重心的距离,而不一定为摆线的长。如图所示,摆球可视为质点,各段绳长均为l,甲、乙摆球做垂直于纸面的小角度摆动,丙图中球在纸面内做小角度摆动,O'为垂直纸面的钉子,而且OO'=,丁图中小球A在半径为R的光滑球壳中做小角度摆动,则:l3(OA≪R)-6-考点一考点二甲:摆长l'=lsinα,T=2πl𝑠𝑖𝑛αg。乙:摆长l'=lsinα+l,T=2πl𝑠𝑖𝑛α+lg。丙:摆线摆到竖直位置时,圆心就由O变为O',摆球振动时,半个周期摆长为l,另半个周期摆长为23l,则单摆的周期为T=πlg+π2l3g。丁:摆长l=R,T=2πRg。-7-考点一考点二2.等效重力加速度g在实际问题中,g不一定为9.8m/s2,要由单摆所处的位置和摆球的受力情况来决定。(1)g由单摆所在的空间位置决定。由知,g随所在地球表面的位置和高度的变化而变化,而且纬度越低,高度越高,g的值就越小,另外,在不同星球上g值也不同。(2)摆球除受到重力和拉力外还受到其他力,但其他力只沿半径方向,而沿振动方向无分力,这种情况下,单摆的周期不变。g=GMR2-8-考点一考点二例如,图甲中带电小球受到的库仑力始终沿半径方向,图乙中带电小球受到的洛伦兹力始终沿半径方向,则周期T=2πlg不变。(3)单摆除重力外,其他力参与提供回复力,则单摆周期发生变化。等效重力加速度的求法为:先求出单摆静止在平衡位置处的拉力F,该力等效为重力,再根据g'=Fm求出等效重力加速度,则周期T=2πlg'。如图丙所示,F=mg+qE,g'=Fm=g+qEm,T=2πlg+qEm。-9-考点一考点二例题(2018·江西抚州月考)如图所示,两个完全相同的弹性小球A和B质量均为m,直径很小,分别挂在长为1.0m和0.25m的细线上,重心在同一水平面且小球恰好相互接触,现把第一个小球A向右拉开一个小角度后由静止释放,经过多长时间两球发生第10次碰撞(每次碰撞均为弹性正碰,g=π2)。-10-考点一考点二解析球A摆动的周期(无球B时)为T1=2π𝑙𝑔。球B摆动的周期(无球A时)为T2=2π𝑙4𝑔=π𝑙𝑔故该振动系统振动的周期为T=12(T1+T2)=32π𝑙𝑔在每周期T中两球发生两次碰撞。球A从最大位移处由静止释放,经5T=152π𝑙𝑔时间发生了10次碰撞后回到最大位移处。根据题意,需用5次全振动时间减去球A第10次碰撞后从最低点回到最大位移处的时间14T1,所以从球A释放到第10次相碰所经历的时间为t=5T-14T=7π𝑙𝑔,代入数据,得t=7s。答案经过7s两球发生第10次碰撞。-11-考点一考点二思维训练1.(2018·青海海东期末)如图所示,一摆长为l的单摆,在悬点的正下方的P处有一钉子,P与悬点相距l-l',则这个单摆做小幅度摆动时的周期为()A.2πlgB.2πl'gC.πlg+l'gD.2πl+l'2gC解析碰钉子前摆长为l,故周期T1=2π𝑙𝑔,碰钉子后摆长变为l',则周期T2=2π𝑙'𝑔,所以该组合摆的周期T=𝑇12+𝑇22=π𝑙𝑔+𝑙'𝑔,由此可知C项正确。-12-考点一考点二2.(2018·内蒙古包头期中)摆球质量一定、摆长为l的单摆竖直悬挂在升降机内,在升降机以恒定的加速度a(ag)竖直加速下降的过程中,单摆在竖直平面内做小摆角振动的周期应等于()A.2πlgB.2πlaC.2πlg+aD.2πlg-aD解析单摆在升降机里向下加速时,摆球没有摆动时其受到的拉力由牛顿第二定律得mg-F=ma,其等效加速度为g'=g-a所以单摆的周期公式为,由此可知D项正确。T=2π𝑙𝑔-𝑎-13-考点一考点二波的多解问题(师生共研)——规范训练1.波动问题多解的主要因素(1)周期性①时间周期性:时间间隔Δt与周期T的关系不明确。②空间周期性:波传播的距离Δx与波长λ的关系不明确。(2)双向性①传播方向双向性:波的传播方向不确定。②振动方向双向性:质点振动方向不确定。2.解决波的多解问题的思路一般采用从特殊到一般的思维方法,即找出一个周期内满足条件的关系Δt或Δx,若此关系为时间,则t=nT+Δt(n=0,1,2,…);若此关系为距离,则x=nλ+Δx(n=0,1,2,…)。-14-考点一考点二考向1波的周期性造成多解例1(2018·辽宁沈阳期中)一列横波在向右传播过程中,a和b两个质点在某一时刻处于如图所示的位置,其中b在平衡位置,a在最大位移处,在波的传播方向上,a、b两质点相距35cm,且大于一个波长而小于两个波长,则该波波长可能为,画出相应波形。思维点拨由题意,横波向右传播,b在平衡位置,a在最大位移处,而且a、b两质点的距离大于一个波长而小于两个波长,分析得知,a、b两点间的距离是波长,即可求出波长。114或134-15-考点一考点二解析由题意,横波向右传播,b在平衡位置,a在最大位移处,而且a、b两质点的距离大于一个波长而小于两个波长,则a、b两点间的距离是54或74波长,即有,xab=54λ或xab=74λ,代入解得,λ=28cm或λ=20cm。答案28cm或20cm;波形如图所示-16-考点一考点二考向2波的传播方向不确定造成多解例2一列简谐横波的波形如图所示,实线表示t1=0时刻的波形,虚线表示t2=0.1s时刻的波形,该波的周期为T。(1)若Tt2-t12T,求该列波的传播速度。(2)若t2-t12T,并且波速为700m/s,求波的传播方向。思维点拨(1)波可能沿x轴正方向传播,也可能沿x轴负方向传播。根据波在一个周期内传播的距离是一个波长,确定出波传播的距离,再求解波速。(2)由图读出波长。根据Δx=vΔt求波在0.1s内传播的距离,分析与波长的关系,再判断波的传播方向。-17-考点一考点二解析(1)若Tt2-t12T,则波传播的距离在这个范围为λΔx2λ。若波沿x轴正方向传播,则波传播的距离为Δx=10m,波速为v1=Δ𝑥Δ𝑡=100.1m/s=100m/s;若波沿x轴负方向传播,则波传播的距离为Δx=14m,波速为v2=Δ𝑥Δ𝑡=140.1m/s=140m/s。(2)由题图知波长λ=8m,在Δt=0.1s内波传播的距离Δx=vΔt=700×0.1m=70m,则Δx=708λ=8λ+34λ,所以波沿x轴负方向传播。答案(1)100m/s或140m/s(2)波沿x轴负方向传播-18-考点一考点二思维训练1.一列简谐横波向右传播,波速为v,沿波传播方向上有相距为l的P、Q两质点,如图所示,某时刻P、Q两质点都处于平衡位置,且P、Q间仅有一个波峰,经过时间t,Q质点第一次运动到波谷,则t的可能值有()A.1个B.2个C.3个D.4个D-19-考点一考点二解析作出通过距离为l的P、Q两质点满足题设条件的波形,如图中的甲、乙、丙、丁四种情况,Q质点的运动方向已在图中标出。-20-考点一考点二在图甲中,由图可知,𝜆2=l,则λ=2l,由波速及波长关系可知,T=𝜆𝑣=2𝑙𝑣,而Q质点第一次到达波谷的时间t=34T=3𝑙2𝑣。同理可知:在图乙中,λ=l,T=𝜆𝑣=𝑙𝑣,t=𝑇4=𝑙4𝑣,在图丙中,λ=l,T=𝜆𝑣=𝑙𝑣,t=34T=3𝑙4𝑣,在图丁中,λ=𝑙1.5,T=𝑙1.5𝑣,t=𝑇4=𝑙6𝑣,故t的可能值有四个,故D正确。-21-考点一考点二2.(2018·湖南长沙模拟)下图中实线是一列简谐横波在t1=0时刻的波形,虚线是这列波在t2=0.5s时刻的波形。(1)写出这列波的波速表达式;(2)若波速大小为74m/s,波速方向如何?-22-考点一考点二解析(1)由题图可知λ=8m当波向右传播时,波传播距离为s=nλ+38λ=(8n+3)m(n=0,1,2,…)波速为v=𝑠Δ𝑡=8𝑛+30.5m/s=(16n+6)m/s(n=0,1,2,…)。当波向左传播时,波传播距离为s=nλ+58λ=(8n+5)m(n=0,1,2,…)波速为v=𝑠Δ𝑡=8𝑛+50.5m/s=(16n+10)m/s(n=0,1,2,…)。(2)若波速大小为74m/s,在Δt=t2-t1时间内波传播的距离为s=v·Δt=74×0.5m=37m。因为37m=4λ+58λ,所以波向左传播。答案(1)v=(16n+10)m/s(n=0,1,2,…)(2)波速方向向右