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2016年广东省广州市高考数学模拟试卷（理科）（1月份）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若全集U=R，集合A={x|1＜2x＜4}，B={x|x﹣1≥0}，则A∩∁UB=（）A．{x|1＜x＜2}B．{x|0＜x≤1}C．{x|0＜x＜1}D．{x|1≤x＜2}2．已知a，b∈R，i是虚数单位，若a﹣i与2+bi互为共轭复数，则（a+bi）2=（）A．3+4iB．5+4iC．3﹣4iD．5﹣4i3．下列说法正确的是（）A．“f（0）=0”是“函数f（x）是奇函数”的充要条件B．若p：∃x0∈R，x02﹣x0﹣1＞0，则￢p：∀x∈R，x2﹣x﹣1＜0C．若p∧q为假命题，则p，q均为假命题D．“若α=，则sinα=”的否命题是“若α≠，则sinα≠”4．已知f（x）在R上是奇函数，且满足f（x+4）=f（x），当x∈（0，2）时，f（x）=2x2，则f（7）=（）A．2B．﹣2C．﹣98D．985．执行如图所示的程序框图输出的结果为（）A．（﹣2，2）B．（﹣4，0）C．（﹣4，﹣4）D．（0，﹣8）6．各项均为正数的等差数列{an}中，a4a9=36，则前12项和S12的最小值为（）A．78B．48C．60D．727．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图与侧视图都是斜边长为2的直角三角形，俯视图是半径为1的圆周和两条半径，则这个几何体的体积为（）A．πB．πC．πD．π8．已知sinφ=，且φ∈（，π），函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0）的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于，则f（）的值为（）A．﹣B．﹣C．D．9．若实数x、y满足约束条件，则的取值范围是（）A．[，2]B．[，]C．[，2]D．[1，2]10．过双曲线的一个焦点F作一条渐线的垂线，垂足为点A，与另一条渐近线交于点B，若，则此双曲线的离心率为（）A．B．C．2D．11．将5位同学分别保送到北京大学，上海交通大学，中山大学这3所大学就读，每所大学至少保送1人，则不同的保送方法共有（）A．150种B．180种C．240种D．540种12．已知△ABC的三个顶点A，B，C的坐标分别为（0，1），（，0），（0，﹣2），O为坐标原点，动点P满足||=1，则|++|的最小值是（）A．﹣1B．﹣1C．+1D．+1二．填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知向量，满足||=4，在方向上的投影是，则•=．14．已知cos（θ+π）=﹣，则sin（2θ+）=．15．（+）10展开式中的常数项为180，则a=．16．己知y=f（x）为R上的连续可导函数，且xf′（x）+f（x）＞0，则函数g（x）=xf（x）+1（x＞0）的零点个数为．三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．设Sn为数列{an}的前n项和，已知a1=2，对任意n∈N*，都有2Sn=（n+1）an．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）若数列{}的前n项和为Tn，求证：≤Tn＜1．18．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB=AC=2AA1，∠BAC=120°，D，D1分别是线段BC，B1C1的中点，过线段AD的中点P作BC的平行线，分别交AB，AC于点M，N．（Ⅰ）证明：MN⊥平面ADD1A1；（Ⅱ）求二面角A﹣A1M﹣N的余弦值．19．计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水库年入流量X（年入流量：一年内上游来水与库区降水之和．单位：亿立方米）都在40以上，其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年，将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，假设各年的年入流量相互独立．（Ⅰ）求未来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率；（Ⅱ）水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X限制，并有如下关系：年入流量X40＜X＜8080≤X≤120X＞120发电机最多可运行台数123若某台发电机运行，则该台年利润为5000万元，若某台发电机未运行，则该台年亏损800万元，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？20．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：+=1（a＞b≥1）的离心率e=，且椭圆C1上一点M到点Q（0，3）的距离的最大值为4．（Ⅰ）求椭圆C1的方程；（Ⅱ）设A（0，），N为抛物线C2：y=x2上一动点，过点N作抛物线C2的切线交椭圆C1于B，C两点，求△ABC面积的最大值．21．已知函数f（x）=ex﹣ax（e为自然对数的底数，a为常数）在点（0，1）处的切线斜率为﹣1．（Ⅰ）求a的值及函数f（x）的极值；（Ⅱ）证明：当x＞0时，x2＜ex；（Ⅲ）证明：对任意给定的正数c，总存在x0，使得当x∈（x0，+∞），恒有x2＜cex．选修4-1：几何证明选讲22．如图∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，以BD为直径的eO与BC交于点E．（Ⅰ）求证：BC•CD=AD•DB；（Ⅱ）若BE=4，点N在线段BE上移动，∠ONF=90°，NF与⊙O相交于点F，求NF的最小值．选修4-4：坐标系与参数方程23．在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C1：（t为参数）与曲线C2：（θ为参数，a＞0）．（Ⅰ）若曲线C1与曲线C2有一个公共点在x轴上，求a的值；（Ⅱ）当a=3时，曲线C1与曲线C2交于A，B两点，求A，B两点的距离．选修4-5：不等式选讲24．已知定义在R上的函数f（x）=|x﹣m|+|x|，m∈N*，存在实数x使f（x）＜2成立．（Ⅰ）求实数m的值；（Ⅱ）若α，β＞1，f（α）+f（β）=2，求证：+≥．2016年广东省广州市高考数学模拟试卷（理科）（1月份）参考答案与试题解析一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若全集U=R，集合A={x|1＜2x＜4}，B={x|x﹣1≥0}，则A∩∁UB=（）A．{x|1＜x＜2}B．{x|0＜x≤1}C．{x|0＜x＜1}D．{x|1≤x＜2}【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】集合思想；综合法；集合．【分析】本题考查集合的运算，将两个集合化简，故直接运算得出答案即可．【解答】解：∵全集U=R，集合A={x|1＜2x＜4}={x|0＜x＜2}，B={x|x﹣1≥0}={x|x≥1}，则∁UB={x|x＜1}，∴A∩（∁UB）={x|0＜x＜1}，故选：C．【点评】本题考查集合的交、并、补的混合运算，熟练掌握集合的交并补的运算规则是解本题的关键．本题考查了推理判断的能力．2．已知a，b∈R，i是虚数单位，若a﹣i与2+bi互为共轭复数，则（a+bi）2=（）A．3+4iB．5+4iC．3﹣4iD．5﹣4i【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】计算题；分析法；数系的扩充和复数．【分析】由a﹣i与2+bi互为共轭复数，可求出a，b的值，代入（a+bi）2进一步化简求值，则答案可求．【解答】解：∵a﹣i与2+bi互为共轭复数，∴a=2，b=1．则（a+bi）2=（2+i）2=3+4i．故选：A．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题．3．下列说法正确的是（）A．“f（0）=0”是“函数f（x）是奇函数”的充要条件B．若p：∃x0∈R，x02﹣x0﹣1＞0，则￢p：∀x∈R，x2﹣x﹣1＜0C．若p∧q为假命题，则p，q均为假命题D．“若α=，则sinα=”的否命题是“若α≠，则sinα≠”【考点】命题的真假判断与应用．【专题】简易逻辑．【分析】利用充要条件判断A的正误；命题的否定判断B的正误；复合命题的真假判断C的正误；否命题的关系判断D的正误；【解答】解：对于A，“f（0）=0”是“函数f（x）是奇函数”的充要条件，显然不正确，如果函数的定义域中没有0，函数可以是奇函数例如，y=，∴A不正确；对于B，若p：∃x0∈R，x02﹣x0﹣1＞0，则￢p：∀x∈R，x2﹣x﹣1≤0，∴B不正确；对于C，若p∧q为假命题，则p，q一假即假命，∴C不正确；对于D，“若α=，则sinα=”的否命题是“若α≠，则sinα≠”，满足否命题的形式，∴D正确；故选：D．【点评】本题考查命题的真假的判断，四种命题的关系，充要条件的判定，基本知识的考查．4．已知f（x）在R上是奇函数，且满足f（x+4）=f（x），当x∈（0，2）时，f（x）=2x2，则f（7）=（）A．2B．﹣2C．﹣98D．98【考点】函数奇偶性的性质．【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用．【分析】根据函数奇偶性和周期性的关系进行转化求解即可．【解答】解：∵f（x+4）=f（x），∴函数的周期是4，∵f（x）在R上是奇函数，且当x∈（0，2）时，f（x）=2x2，∴f（7）=f（7﹣8）=f（﹣1）=﹣f（1）=﹣2，故选：B【点评】本题主要考查函数值的计算，根据函数奇偶性和周期性的关系进行转化是解决本题的关键．5．执行如图所示的程序框图输出的结果为（）A．（﹣2，2）B．（﹣4，0）C．（﹣4，﹣4）D．（0，﹣8）【考点】程序框图．【专题】算法和程序框图．【分析】模拟程序框图的运行过程，即可得出程序运行后输出的结果．【解答】解：模拟程序框图的运行过程，如下；x=1，y=1，k=0时，s=x﹣y=0，t=x+y=2；x=s=0，y=t=2，k=1时，s=x﹣y=﹣2，t=x+y=2；x=s=﹣2，y=t=2，k=2时，s=x﹣y=﹣4，t=x+y=0；x=s=﹣4，y=t=0，k=3时，循环终止，输出（x，y）是（﹣4，0）．故选：B．【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，是基础题目．6．各项均为正数的等差数列{an}中，a4a9=36，则前12项和S12的最小值为（）A．78B．48C．60D．72【考点】等差数列的性质．【专题】计算题；等差数列与等比数列．【分析】利用基本不等式，结合等差数列的求和及通项公式，即可求出前12项和S12的最小值．【解答】解：由题意，a4+a9≥2=12，∴S12=（a1+a12）=6（a4+a9）≥72，故选：D．【点评】本题考查基本不等式，考查等差数列的求和及通项公式，正确运用等差数列的求和及通项公式是关键．7．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图与侧视图都是斜边长为2的直角三角形，俯视图是半径为1的圆周和两条半径，则这个几何体的体积为（）A．πB．πC．πD．π【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题；数形结合；数形结合法；立体几何．【分析】几何体为圆锥的，根据三视图的数据计算体积即可．【解答】解：由三视图可知几何体为圆锥的，圆锥的底面半径为1，母线长为2，∴圆锥的高为．∴V=××=．故选A．【点评】本题考查了圆锥的三视图和体积计算，属于基础题．8．已知sinφ=，且φ∈（，π），函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0）的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于，则f（）的值为（）A．﹣B．﹣C．D．【考点】正弦函数的图象．【专题】转化思想；综合法；三角函数的图像与性质．【分析】由周期求出ω，由条件求出cosφ的值，从而求得f（）的值．【解答】解：根据函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0）的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于，可得==，∴ω=2．由sinφ=，且φ∈（，π），可得cosφ=﹣，∴则f（）=sin（+φ）=cosφ=﹣，故选：B．【点评】本题主要考查正弦函数的周期性，同角三角函数的基本关系，属于基础题．9．若实数x、y满足约束条件，则的取值范围是（）A．[，2]B．[，]C．[，2]D．[1，2]【考点】简单线性规划．【专题】计算题；数形结合；转化法；不等式．【分析】作出不等式组对应的平面区域，设k=，则z==，利用k的几何意义进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域，则由图象知x＞0，则设k=，则z==，则k的几何意义是区域内的点到原点的斜率，由图象知，OA的斜率最大，OC的斜率最小