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基础课24磁场对运动电荷的作用-2-知识点一知识点二洛伦兹力的方向和大小1.洛伦兹力:磁场对的作用力叫洛伦兹力。2.洛伦兹力的方向(1)判定方法:左手定则掌心——磁感线穿入掌心;四指——指向正电荷运动的方向或负电荷运动的;拇指——指向的方向。(2)方向特点:F⊥B,F⊥v,即F垂直于B和v决定的。3.洛伦兹力的大小(1)v∥B时,洛伦兹力F=。(θ=0°或180°)(2)v⊥B时,洛伦兹力F=。(θ=90°)(3)v=0时,洛伦兹力F=。运动电荷垂直反方向洛伦兹力平面0qvB0-3-知识点一知识点二带电粒子在匀强磁场中的运动1.若v∥B,带电粒子不受洛伦兹力,在匀强磁场中做运动。2.若v⊥B,带电粒子仅受洛伦兹力作用,在垂直于磁感线的平面内以入射速度v做运动。如图所示,带电粒子在磁场中,①中粒子做运动,②中粒子做运动,③中粒子做运动。匀速直线匀速圆周匀速圆周匀速直线匀速圆周-4-知识点一知识点二3.半径和周期公式:(v⊥B)基本公式:qvB=mv2R导出公式:半径R=mvBq周期T=2𝜋Rv=2𝜋mqB特别提醒带电粒子运动的周期T与轨道半径r和运行速率v无关,只与磁场的磁感应强度和粒子的比荷有关。-5-考点一考点二考点三考点四洛伦兹力的理解(自主悟透)1.洛伦兹力的特点(1)洛伦兹力的方向总是垂直于运动电荷的速度方向和磁场方向共同确定的平面,所以洛伦兹力只改变速度的方向,不改变速度的大小,即洛伦兹力永不做功。(2)当电荷运动方向发生变化时,洛伦兹力的方向也随之变化。(3)用左手定则判断负电荷在磁场中运动所受的洛伦兹力时,要注意将四指指向电荷运动的反方向。2.洛伦兹力与安培力的联系及区别(1)安培力是洛伦兹力的宏观表现,二者是相同性质的力。(2)安培力可以做功,而洛伦兹力对运动电荷不做功。-6-考点一考点二考点三考点四思维训练1.(2019·天津滨海新区期中)如图所示,一质量为m、电荷量为q的带正电绝缘体物块位于高度略大于物块高的水平宽敞绝缘隧道中,隧道足够长,物块上、下表面与隧道上、下表面的动摩擦因数均为μ,整个空间存在垂直纸面向里、磁感应强度为B的匀强磁场。现给物块水平向右的初速度v0,空气阻力忽略不计,物块电荷量不变,则物块()A.一定做匀速直线运动B.一定做减速运动C.可能先减速后匀速运动D.可能加速运动答案解析解析关闭根据左手定则可知滑块受到的洛伦兹力方向向上,如果洛伦兹力等于重力,滑块做匀速运动;如果洛伦兹力小于重力,滑块做减速运动;如果洛伦兹力大于重力,滑块开始做减速运动,当洛伦兹力等于重力时做匀速运动,故C正确,A、B、D错误。答案解析关闭C-7-考点一考点二考点三考点四2.(2018·山东名校联考)(多选)如图所示,两个半径相同的半圆形轨道分别竖直放在匀强电场和匀强磁场中,轨道两端在同一高度上,轨道是光滑的,两个相同的带正电小球同时从两轨道左端最高点O由静止释放,M、N为轨道的最低点,以下说法正确的是()A.两小球到达轨道最低点的速度vMvNB.两小球到达轨道最低点时对轨道的压力FMFNC.小球第一次到达M点的时间大于到达N点的时间D.在磁场中小球能到达轨道的另一端,在电场中不能答案解析解析关闭小球在磁场中到达轨道最低点时只有重力做功,vM=2𝑔𝑅。在电场中到达轨道最低点时,重力做正功,电场力做负功,根据动能定理有mgR-qER=12𝑚𝑣𝑁2,vN=2𝑔𝑅-2𝑞𝐸𝑅𝑚,所以vMvN;因为OM=ON,所以该过程所用时间tMtN,A正确,C错误。根据能量守恒定律,D正确。在M点FM'=mg+qvMB+m𝑣𝑀2𝑅,在N点FN'=mg+m𝑣𝑁2𝑅,不难看出,FM'FN',由牛顿第三定律可知FM=FM',FN=FN',B正确。答案解析关闭ABD-8-考点一考点二考点三考点四带电粒子在匀强磁场中做圆周运动(师生共研)1.带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的思想方法和理论依据一般说来,要把握好“一找圆心,二定半径,三求时间”的分析方法。在具体问题中,要依据题目条件和情景而定。解题的理论依据主要是由牛顿第二定律列式:qvB=mv2r,求半径r=mvqB及运动周期T=2𝜋rv=2𝜋mqB。-9-考点一考点二考点三考点四2.圆心的确定(1)已知入射点、入射方向和出射点、出射方向时,可通过入射点和出射点作垂直于入射方向和出射方向的直线,两条直线的交点就是圆弧轨道的圆心(如图甲所示)。(2)已知入射方向和入射点、出射点的位置时,可以通过入射点作入射方向的垂线,连接入射点和出射点,作其中垂线,这两条垂线的交点就是圆弧轨道的圆心(如图乙所示)。-10-考点一考点二考点三考点四(3)带电粒子在不同边界磁场中的运动:①直线边界(进出磁场具有对称性,如图丙所示)。丙-11-考点一考点二考点三考点四②平行边界(存在临界条件,如图丁所示)。丁③圆形边界(沿径向射入必沿径向射出,如图戊所示)。戊-12-考点一考点二考点三考点四3.半径的确定和计算方法一由物理方法求:半径R=mvqB。方法二由几何方法求:一般由数学知识(勾股定理、三角函数等)计算来确定。4.时间的计算方法方法一由圆心角求:t=θ2𝜋·T。方法二由弧长求:t=sv。-13-考点一考点二考点三考点四例题(2017·全国Ⅱ卷)如图所示,虚线所示的圆形区域内存在一垂直于纸面的匀强磁场,P为磁场边界上的一点。大量相同的带电粒子以相同的速率经过P点,在纸面内沿不同方向射入磁场。若粒子射入速率为v1,这些粒子在磁场边界的出射点分布在六分之一圆周上;若粒子射入速率为v2,相应的出射点分布在三分之一圆周上。不计重力及带电粒子之间的相互作用。则v2∶v1为()A.3∶2B.2∶1C.3∶1D.3∶2思维点拨根据题意画出带电粒子的运动轨迹,找出临界条件角度关系,利用圆周运动由洛伦兹力充当向心力,分别表示出圆周运动的半径,再由洛伦兹力充当向心力即可求得速度之比。答案解析解析关闭最远的出射点和入射点的连线为粒子在磁场中做匀速圆周运动的直径,如图所示。由几何关系可以得到,当速度为v1入射时,半径R1=𝑅2,当速度为v2入射时,半径R2=32R,再由R=𝑚𝑣𝑞𝐵可得,v2∶v1=3∶1,故选项C正确。答案解析关闭C-14-考点一考点二考点三考点四规律总结带电粒子在磁场中做匀速圆周运动解题“三步法”1.画轨迹:即确定圆心,画出运动轨迹。2.找联系:轨道半径与磁感应强度、运动速度的联系,偏转角度与圆心角、运动时间的联系,在磁场中的运动时间与周期的联系。3.用规律:即牛顿运动定律和圆周运动的规律,特别是周期公式、半径公式。-15-考点一考点二考点三考点四思维训练1.(2018·江西南昌模拟)如图所示,在圆形区域内存在垂直纸面向外的匀强磁场,ab是圆的直径。一带电粒子从a点射入磁场,速度大小为v、方向与ab成30°角时,恰好从b点飞出磁场,且粒子在磁场中运动的时间为t;若同一带电粒子从a点沿ab方向射入磁场,也经时间t飞出磁场,则其速度大小为()A.12vB.23vC.32vD.32v答案解析解析关闭设圆形区域的半径为R,带电粒子进入磁场中做匀速圆周运动,由洛伦兹力提供向心力,qvB=m𝑣2𝑟,得r=𝑚𝑣𝑞𝐵,r∝v;当粒子从b点飞出磁场时,运动轨迹如图甲所示,入射速度方向、出射速度方向与ab的夹角相等,所以速度的偏转角为60°,轨迹对应的圆心角为60°,根据几何知识得轨迹半径为r1=2R;当粒子从a点沿ab方向射入磁场时,经过磁场的时间也是t,由T=2π𝑚𝑞𝐵知,同一粒子两次在磁场中运动的周期相等,又轨迹对应的圆心角θ=2π𝑡𝑇,即粒子沿ab方向射入磁场时,轨迹对应的圆心角也是60°,根据几何知识得,粒子的轨迹半径为r2=3R;可得𝑣'𝑣=𝑟2𝑟1=32,则v'=32v,选项C正确。答案解析关闭C-16-考点一考点二考点三考点四2.(多选)如图所示,在y轴右侧存在与xOy平面垂直且范围足够大的匀强磁场,磁感应强度的大小为B,位于坐标原点的粒子源在xOy平面内发射出大量完全相同的带负电粒子,所有粒子的初速度大小均为v0,方向与x轴正方向的夹角分布在0°~60°范围内,在x=l处垂直x轴放置一荧光屏S。已知沿x轴正方向发射的粒子经过了荧光屏S上y=-l的点,则()A.粒子的比荷为qm=v0lBB.粒子的运动半径一定等于2lC.粒子在磁场中运动时间一定不超过𝜋lv0D.粒子打在荧光屏S上亮线的长度大于2l答案解析解析关闭沿x轴正方向发射的粒子经过了荧光屏S上y=-l的点,由几何知识可知,粒子轨道半径r=l,B错误;由牛顿第二定律得qv0B=m𝑣02𝑟,解得𝑞𝑚=𝑣0𝑙𝐵,A正确;而且此情况粒子在磁场中转过的圆心角最大,为θ=π,对应运动时间最长,t=𝜃2πT=π𝑙𝑣0,故C正确;与x轴正方向的夹角为60°射入磁场的粒子打在荧光屏S上的纵坐标一定小于l,故D错误。答案解析关闭AC-17-考点一考点二考点三考点四带电粒子在有界磁场中的临界问题(师生共研)1.以题目中的“恰好”“最大”“最高”“至少”等词语为突破口,运用动态思维,寻找临界点,确定临界状态,根据粒子的速度方向找出半径方向,同时由磁场边界和题设条件画好轨迹、定好圆心,建立几何关系。2.寻找临界点常用的结论。(1)刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切。(2)当速度v一定时,弧长(或弦长)越长,圆心角越大,则带电粒子在有界磁场中运动的时间越长。(3)当速度v变化时,圆心角越大的,运动时间越长。-18-考点一考点二考点三考点四考向1利用动圆放缩法找临界点例1如图所示,两个同心圆,半径分别为r和2r,在两圆之间的环形区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场,磁感应强度为B。圆心O处有一放射源,放出粒子的质量为m、电荷量为q,假设粒子速度方向都和纸面平行。(1)图中箭头表示某一粒子初速度的方向,OA与初速度方向夹角为60°,要想使该粒子经过磁场后第一次通过A点,则初速度的大小是多少?(2)要使粒子不穿出环形区域,则粒子的初速度不能超过多少?-19-考点一考点二考点三考点四解析(1)如图甲所示,设粒子在磁场中的轨道半径为R1,则由几何关系得R1=3𝑟3又qv1B=m𝑣12𝑅1得v1=3𝐵𝑞𝑟3𝑚。(2)如图乙所示,设粒子轨迹与磁场外边界相切时,粒子在磁场中的轨道半径为R2,则由几何关系有(2r-R2)2=𝑅22+r2可得R2=3𝑟4,又qv2B=m𝑣22𝑅2,可得v2=3𝐵𝑞𝑟4𝑚故要使粒子不穿出环形区域,粒子的初速度不能超过3𝐵𝑞𝑟4𝑚。答案(1)3𝐵𝑞𝑟3𝑚(2)3𝐵𝑞𝑟4𝑚-20-考点一考点二考点三考点四归纳总结动圆放缩法找临界点当带电粒子射入磁场的方向确定,但射入时的速度v大小或磁感应强度B变化时,粒子做圆周运动的轨道半径R随之变化。在确定粒子运动的临界情景时,可以以入射点为定点,将轨道半径放缩,作出一系列的轨迹,从而探索出临界条件。如图所示,粒子进入长方形边界OABC从BC边射出的临界情景为②和④。-21-考点一考点二考点三考点四考向2应用定圆旋转法找临界点例2(2018·贵州贵阳监测)如图所示,半径为R的圆形区域内有一垂直纸面向里的匀强磁场,P为磁场边界上的一点。大量质量为m、电荷量为+q的粒子,在纸面内沿各个方向以相同速率v从P点射入磁场,这些粒子射出磁场时的位置均位于PMQ圆弧上,PMQ圆弧长等于磁场边界周长的。不计粒子重力和粒子间的相互作用,则该匀强磁场的磁感应强度大小为()13A.3mv2qRB.mvqRC.3mvqRD.23mv3qR答案解析解析关闭这些粒子在磁场中做匀速圆周运动,由牛顿第二定律可得qvB=𝑚𝑣2𝑟;从Q点离开磁场的粒子是这些粒子中离P点最远的粒子,如图所示,由图中几何关系可知,该粒子的轨迹圆的圆心O'、磁场圆的圆心O和点P构成一个直角三角形,得r=Rcos30°=32R,联立可得B=23𝑚𝑣3𝑞𝑅,选项D正确,选项A、B、C错误