二项式常见类型及解法

二项式定理高考试题的常见类型及解法1.求展开式中某一项的系数此类问题主要分清某一项的系数与它的二项式系数是否相同.常规解法是利用通项公式rbaCTrrnrnr先确定,1,再求其系数.例1._______)1(58的系数为的展开式中xxx解:由228283)1(xxCT285x.的系数为5x28.例2在8765)1()1()1()1(xxxx的展开式中,含3x的项的系数是()A、74B、121C、74D、121解：由等比数列求和公式得：原式=xxxxxx9545)1()1()1(1])1(1[)1(.要求展开式中3x的项的系数,即求的系数中的45)1(xx与49)1(xx中的系数的差.而的项为中含45)1(xx4455)1xCT（=45x,49)1(xx中含的项为45495)1xCT（=4126x.在8765)1()1()1()1(xxxx的展开式中,含3x的项的系数是1211265.例3在112xx的展开式中，5x的系数为________.解：1121111111111111)2()2(rrrrrrrxCxxCT，令5112r,8r,所以5x的系数为1320)2()2(311381111811CC.例4在72()xx的展开式中，2x的系数中________（用数字作答）.解:7237777771)2()2(rrrrrrrxCxxCT，令2723r,6r,所以2x的系数为14)2(67767C.2.展开式中的某一项此类问题的常规解法是直接利用通项公式求解.例573)12(xx的展开式中常数项为()A、14B、14C、42D、42解:设展开式中第1r项为常数项,则rrrrxxCT)1()2(7371=2)7(3772)1(rrrrrxC.令(36,02)7rrr则,142)1(676C所求常数项为,故选(A).例6年全国卷2005(Ⅰ)8)1(xx的展开式中常数项为________.(用数字作答)解:设展开式中第1r项为常数项,则rrrrxxCT)1(881=rrrxC288)1(.令4,028rr则,70)1(484C所求常数项为.例7已知(xx12)n的展开式中第三项与第五项的系数之比为143，则展开式中常数项是()(A)－1(B)1(C)－45(D)45解:2521)1()1(nrrnnrnrnrrnnrxCxxCT,因为展开式中第三项与第五项的系数之比为143，143)1()1(4422nnnnnnCC,化简得:05052nn,10n.令02105r,则2r,45)1(2102521010210xC所求常数项为.例8(2x－1x)6展开式中常数项为________.(用数字作答)解:设展开式中第1r项为常数项,则rrrrxxCT)1()2(661=rrrrxC236662)1(.令0236r,则4r.602)1(46464C所求常数项为.3.求展开式中幂指数为整数的项数此类问题的常规解法是将展开式的通项整理,令其幂指数为整数,从而求出项数.例9123)(xx的展开式中,含x的正整数幂的项数共有________.解:设展开式中第1r项的幂为正整数,则rrrrxxCT)()(312121=321212rrrxC=6612rrxC.依题意,1206rr的倍数，且是,个值共有3r.即123)(xx的展开式中,含x的正整数幂的项数共有3个.例10243)1(xx的展开式中,x的幂指数是整数有()A.3项B.4项C.5项D.6项解:设展开式中第1r项的幂指数为整数,则rrrrxxCT)()(324241=322424rrrxC=651224rrxC.依题意,2406rr的倍数，且是,个值共有5r.即243)1(xx的展开式中,x的幂指数是整数有5个,故选C.4.求展开式中某些项的系数和此类问题的常规解法是赋值法.例11若)()21(2004200422102004Rxxaxaxaax,则)(10aa)(20aa+)()(2004030aaaa=_________.(用数字作答)解:令1,00ax得,令，得1x10aa2a+20043aa=1.)(10aa)(20aa+)()(2004030aaaa=(20030a10aa2a+20043aa2004112003).5.求二项式中参数的值此类问题的常规解法是直接利用展开式的通项公式,根据题意建立方程,求出参数的值.例12若在.______80)1(35axax，则的系数为展开式解:展开式的通项rrrrrrxCaaxCT551)(.令80,33533Caxr的系数为于是.a2.例设常数0a，421axx展开式中3x的系数为32，则a＝_____。解：1482214rrrrrTCaxx，由18232,2,rrxxxr得232424aC,21a.例13在2nxx的二项展开式中，若常数项为60，则n等于（）Ａ．3Ｂ．6Ｃ．9Ｄ．12解:2312)2()(rnrnrrrnrnrxCxxCT,因为展开式中常数项为60，602023rnrCrn,解之得:62nr,故选B.6.求两个二项式积的展开式中某一项的系数此类问题的常规解法是利用两因式展开式相应项系数配对的方法.例14在系数是的展开式中58)1)(1(xxx()A、14B、14C、28D、28解:由题意知:只须求出8)1(x的系数与展开式中54xx.8)1(x展开式中的系数与54xx分别为3848CC、.系数是的展开式中58)1)(1(xxx:1456703848CC.故选(B).