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基础课16机械振动单摆-2-知识点一知识点二知识点三简谐运动单摆1.简谐运动(1)定义:如果质点所受的力与它偏离平衡位置位移的大小成正比,并且总是指向,质点的运动就是简谐运动。(2)平衡位置:物体在振动过程中为零的位置。(3)回复力①定义:使物体返回到的力。②方向:总是指向。③来源:属于力,可以是某一个力,也可以是几个力的或某个力的。平衡位置回复力平衡位置平衡位置效果合力分力-3-知识点一知识点二知识点三2.简谐运动的描述(1)位移x:由指向的有向线段表示振动的位移,是矢量。(2)振幅A:振动物体离开平衡位置的,是标量,表示振动的强弱。(3)周期T和频率f:做简谐运动的物体完成一次所需要的时间叫周期,而频率则等于单位时间内完成的;它们是表示振动快慢的物理量,二者互为倒数。平衡位置振动质点所在位置最大距离全振动全振动的次数-4-知识点一知识点二知识点三3.简谐运动的两种模型模型弹簧振子单摆示意图简谐运动条件①弹簧质量要忽略②无摩擦等阻力③在弹簧弹性限度内①摆线为不可伸缩的轻细线②无空气阻力等③最大摆角小于等于5°回复力弹簧的提供摆球重力沿与摆线垂直方向(即切向)的分力平衡位置弹簧处于处最低点周期与振幅无关T=2πlg能量转化弹性势能与动能的相互转化,机械能守恒重力势能与动能的相互转化,机械能守恒弹力原长-5-知识点一知识点二知识点三4.简谐运动的能量简谐运动过程中,和相互转化,机械能守恒;振动能量与振幅有关,振幅越大,能量越。动能势能大-6-知识点一知识点二知识点三简谐运动的表达式和图像1.简谐运动的表达式动力学表达式:(简谐运动的判定方法)。运动学表达式:。2.简谐运动的图像图像横轴表示振动纵轴表示某时刻质点的物理意义表示振动质点的位移随的变化规律F=-kxx=Asin(ωt+φ)时间位移时间-7-知识点一知识点二知识点三受迫振动和共振1.受迫振动物体在作用下的振动。做受迫振动的物体,它的周期(或频率)等于的周期(或频率),而与物体的固有周期(或频率)无关。2.共振做受迫振动的物体,它的固有频率与驱动力的频率越接近,其振幅就越大,当二者时,振幅达到最大,这就是共振现象。共振曲线如图所示。周期性驱动力驱动力相等-8-考点一考点二考点三考点四简谐运动的特征(师生共研)1.动力学特征:F=-kx,“-”表示回复力的方向与位移方向相反,k是比例系数,不一定是弹簧的劲度系数。2.运动学特征:简谐运动的加速度与物体偏离平衡位置的位移成正比而方向相反,为变加速运动,远离平衡位置时x、F、a、Ep均增大,v、Ek均减小,靠近平衡位置时则相反。3.运动的周期性特征:相隔T或nT的两个时刻,振子处于同一位置且振动状态相同。-9-考点一考点二考点三考点四4.对称性特征(1)相隔(n为正整数)的两个时刻,振子位置关于平衡位置对称,位移、速度、加速度大小相等,方向相反。(2)如图所示,振子经过关于平衡位置O对称的两点P、P'(OP=OP')时,速度的大小、动能、势能相等,相对于平衡位置的位移大小相等。T2或2n+12T(3)振子由P到O所用时间等于由O到P'所用时间,即tPO=tOP'。(4)振子往复过程中通过同一段路程(如OP段)所用时间相等,即tOP=tPO。5.能量特征:振动的能量包括动能Ek和势能Ep,简谐运动过程中,系统的动能与势能相互转化,系统的机械能守恒。-10-考点一考点二考点三考点四考向1弹簧振子模型例1(多选)如图所示,轻弹簧上端固定,下端连接一小物块,物块沿竖直方向做简谐运动。以竖直向上为正方向,物块简谐运动的表达式为y=0.1sin(2.5πt)m。t=0时刻,一小球从距物块h高处自由落下;t=0.6s时,小球恰好与物块处于同一高度。重力加速度g取10m/s2。以下判断正确的是()A.h=1.7mB.简谐运动的周期是0.8sC.0.6s内物块运动的路程是0.2mD.t=0.4s时,物块与小球运动方向相反答案解析解析关闭t=0时刻,y=0,说明物块在平衡位置,t=0.6s时,物块的位移为y=0.1sin(2.5π×0.6)m=-0.1m,则对小球有h+|y|=12gt2,解得h=1.7m,选项A正确;简谐运动的周期是T=2π𝜔=2π2.5πs=0.8s,选项B正确;0.6s内物块运动的路程是3A=0.3m,选项C错误;t=0.4s=𝑇2时,物块经过平衡位置向下运动,则此时物块与小球运动方向相同,选项D错误。答案解析关闭AB-11-考点一考点二考点三考点四思维点拨(1)根据小球与物块的位移关系求出小球通过t=0.6s时的位移,应用自由落体规律可得h;(2)利用物块简谐运动的表达式求周期;做简谐运动的物块一个周期内运动4A路程,分析0.6s共有几个周期,然后求其运动路程;根据简谐运动表达式分析0.4s时的运动方向,然后判断与小球运动方向的关系。-12-考点一考点二考点三考点四考向2简谐运动的周期性与对称性例2(多选)如图所示,一个质点在平衡位置O点附近做机械振动。若从O点开始计时,经过3s质点第一次经过M点,继续运动,又经过2s它第二次经过M点,则该质点第三次经过M点还需要的时间是()A.8sB.4sC.14sD.103s答案解析解析关闭如图所示,设a、b两点为质点振动过程的最大位移处,若开始计时时刻,质点从O点向右运动,O→M过程历时3s,M→b→M运动过程历时2s,显然,𝑇4=4s,T=16s。质点第三次经过M点还需要的时间Δt3=T-2s=14s,C正确。若开始计时时刻,质点从O点向左运动,O→a→O→M运动过程历时3s,M→b→M运动过程历时2s,显然,𝑇'2+𝑇'4=4s,T'=163s。质点第三次经过M点还需要的时间Δt3'=T-2s=103s,D正确。答案解析关闭CD-13-考点一考点二考点三考点四思维训练(2018·天津卷)(多选)一振子沿x轴做简谐运动,平衡位置在坐标原点。t=0时振子的位移为-0.1m,t=1s时位移为0.1m,则()A.若振幅为0.1m,振子的周期可能为23sB.若振幅为0.1m,振子的周期可能为45sC.若振幅为0.2m,振子的周期可能为4sD.若振幅为0.2m,振子的周期可能为6s答案解析解析关闭由题意可知振子在1s内由-0.1m的位置运动到0.1m的位置,若其振幅为0.1m,则Δt=(n+12)T=1s(n=0,1,2,3,…),则n=1时T=23s,但T不可能等于45s,选项A正确,B错误;若简谐运动的振幅为0.2m,由题意知振动方程式x=0.2sin(ωt-π6),若t=1s时质点沿x轴正向振动,满足(n+16)T=1s(n=0,1,2,…),当n=0时,T=6s;若t=1s时质点沿x轴负向振动,满足(n+12)T=1s(n=0,1,2,…),可得C错误,D正确。答案解析关闭AD-14-考点一考点二考点三考点四单摆模型(师生共研)1.单摆的受力特征(1)回复力:摆球重力沿与摆线垂直方向的分力,F回=-mgsinθ=-mglx,负号表示回复力F回与位移x的方向相反。(2)向心力:细线的拉力和摆球重力沿细线方向分力的合力充当向心力,F向=FT-mgcosθ。(3)两点说明①当摆球在最高点时,F向=mv2l=0,FT=mgcosθ。②当摆球在最低点时,F向=mv𝑚𝑎𝑥2l,F向最大,FT=mg+mv𝑚𝑎𝑥2l。2.周期公式T=2πlg的两点说明(1)l为等效摆长,表示从悬点到摆球重心的距离。(2)g为当地重力加速度。-15-考点一考点二考点三考点四例题某实验小组在研究单摆时改进了实验方案,将一力传感器连接到计算机上。如图甲所示,O点为单摆的固定悬点,现将小摆球(可视为质点)拉至A点,此时细线处于张紧状态,释放摆球,则摆球将在竖直平面内的A、C之间来回摆动,其中B点为运动中的最低位置,∠AOB=∠COB=α,α小于5°且是未知量。同时由计算机得到了摆线对摆球的拉力大小F随时间t变化的曲线如图乙所示,Fmax、Fmin、t1、t2均为已知量,t=0时刻摆球从A点开始运动,重力加速度为g。则根据题中(包括图中)所给的信息判断下列说法正确的是()甲乙-16-考点一考点二考点三考点四A.该单摆的周期为t1B.根据题中(包括图中)所给的信息可求出摆球的质量C.根据题中(包括图中)所给的信息不能求出摆球在最低点B时的速度D.若增加摆球的质量,单摆的周期变长思维点拨利用图乙求周期;分别在A、B两点应用向心力公式,再结合机械能守恒可得摆球质量;应用向心力公式求出在B点的速度表达式,然后判断是否能够用题中所给已知量得到B点速度;应用单摆周期公式判断质量对周期是否有影响。答案解析解析关闭由题图乙可知单摆的周期T=t2,A错误;在B点拉力有最大值,根据牛顿第二定律Fmax-mg=m𝑣2𝑙;在A、C两点拉力有最小值,Fmin=mgcosα。由A到B机械能守恒,即mgl(1-cosα)=12mv2,联立以上三式可求得摆球的质量m=𝐹max+2𝐹min3𝑔,B正确;已知周期T,由T=2π𝑙𝑔=t2得,l=𝑡22𝑔4π2,根据Fmax-mg=m𝑣2𝑙,代入已知得v=𝑡2𝑔2π2(𝐹max-𝐹min)𝐹max+𝐹min,C错误;若增加摆球的质量,单摆的周期不变,D错误。答案解析关闭B-17-考点一考点二考点三考点四思维训练如图所示,一单摆悬于O点,摆长为l,若在O点正下方的O'点钉一个光滑钉子,使OO'=,将单摆拉至A处由静止释放,小球将在A、B、C间来回振动,若振动中摆线与竖直方向夹角小于5°,则此摆的周期是。l2解析由A→B的运动时间t1=𝑇14=π2𝑙𝑔,由B→C的运动时间t2=𝑇24=π2𝑙2𝑔,由对称性知此摆的周期T=2(t1+t2)=π𝑙𝑔+𝑙2𝑔。答案π𝑙𝑔+𝑙2𝑔-18-考点一考点二考点三考点四简谐运动的图像(师生共研)1.图像特征(1)简谐运动的图像是一条正弦曲线。(2)图像反映的是位移随时间的变化规律,图线随时间的增加而延伸,图像不代表质点运动的轨迹。(3)任一时刻在图线上对应点的切线的斜率,大小表示该时刻振子的速度大小,正负表示速度的方向,为正时,表示振子的速度沿x轴正方向;为负时,表示振子的速度沿x轴负方向。-19-考点一考点二考点三考点四2.图像信息(1)由图像可以看出质点振动的振幅、周期。(2)可以确定某时刻质点离开平衡位置的位移。(3)可以确定某时刻质点的回复力、加速度和速度的方向。①回复力和加速度的方向:因回复力总是指向平衡位置,故回复力和加速度的方向在图像上总是指向t轴。②速度的方向:某时刻速度的方向既可以通过该时刻在图像上对应点的切线的斜率来判断,还可以通过下一时刻位移的变化来判断,若下一时刻位移增加,速度方向就是远离t轴;若下一时刻位移减小,速度方向就是指向t轴。(4)可以确定某段时间质点的位移、回复力、加速度、速度、动能、势能等的变化情况。-20-考点一考点二考点三考点四3.利用简谐运动图像理解简谐运动的对称性(如图所示)(1)相隔的两个时刻,弹簧振子的位置关于平衡位置对称,位移等大反向,速度也等大反向。(2)相隔Δt=nT(n=0,1,2,…)的两个时刻,弹簧振子在同一位置,位移和速度都相同。Δt=n+12T(n=0,1,2,…)-21-考点一考点二考点三考点四例题一质点做简谐运动,其位移和时间的关系如图所示。(1)求t=0.25×10-2s时质点偏离平衡位置的位移;(2)在t=1.5×10-2s到t=2×10-2s这段时间,质点的位移、回复力、速度、动能、势能如何变化?(3)在t=0到t=8.5×10-2s这段时间,质点运动的路程、位移各是多少?-22-考点一考点二考点三考点四思维点拨(1)如何确定图像上某一时刻质点的速度、加速度?(2)从t=0到t=1×10-2s时间内,质点速度大小如何变化?图像上斜率表示什么?提示(1)下一时刻位移增加,速度方向远离时间轴,质点向背离平衡位置方向运动;反之,向朝向平衡位置方向运动。加速度方向永远指向时间轴,指向平衡位置。(2)速度先增大后减小;图