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基础课13机械能守恒定律-2-知识点一知识点二重力势能与弹性势能1.重力势能(1)重力做功的特点①重力做功与无关,只与始、末位置的有关。②重力做功不引起物体的变化。(2)重力势能①表达式:Ep=。②重力势能的特点系统性:重力势能是所共有的。相对性:重力势能的大小与参考平面的选取,但重力势能的变化与参考平面的选取。路径高度差机械能mgh物体和地球有关无关-3-知识点一知识点二(3)重力做功与重力势能变化的关系①定性关系:重力对物体做正功,重力势能就;重力对物体做负功,重力势能就。②定量关系:重力对物体做的功等于物体重力势能的,即WG==-ΔEp。2.弹性势能(1)定义:物体由于发生而具有的能。(2)弹力做功与弹性势能变化的关系:弹力做正功,弹性势能;弹力做负功,弹性势能,即W=。减小增大减小量-(Ep2-Ep1)弹性形变减小增加-Δep-4-知识点一知识点二机械能守恒定律1.机械能和统称为机械能,其中势能包括和。2.机械能守恒定律(1)内容:在只有做功的物体系统内,动能与势能可以相互转化,而总的机械能。(2)表达式:=。3.守恒条件只有做功。mgh1+12mv12动能势能弹性势能重力势能重力或弹力保持不变mgh2+12𝑚𝑣22重力或弹簧的弹力-5-考点一考点二考点三机械能守恒的理解与判断(自主悟透)1.利用机械能的定义判断(直接判断):分析动能和势能之和是否变化。2.用做功判断:若物体或系统只有重力(或弹簧的弹力)做功,则机械能守恒。3.用能量转化来判断:若物体系统中只有动能和势能的相互转化而无机械能与其他形式的能的转化,则物体系统机械能守恒。-6-考点一考点二考点三思维训练1.如图所示,细线上端固定,下端系一小球,将小球拉至实线所示位置自由释放,空气阻力不计,在小球自释放位置摆动到最低点的过程中,下列说法错误的是()A.细线的拉力对小球做正功B.小球的机械能守恒C.小球重力势能的减少量等于其动能的增加量D.重力对小球做的功等于小球动能的增加量答案解析解析关闭小球从高处向低处摆动过程中,细线的拉力与小球的速度始终垂直,小球在拉力方向上没有发生位移,所以拉力对小球不做功,故A错误;由于只有重力做功,所以小球的机械能守恒,故B正确;由机械能守恒定律知,小球重力势能的减少量等于动能的增加量,故C正确;小球在摆动过程中,根据动能定理,可得:重力做的正功等于动能的增加量,故D正确。答案解析关闭A-7-考点一考点二考点三2.(2019·天津模拟)如图所示,P、Q两球质量相等,开始两球静止,将P上方的细绳烧断,在Q落地之前,下列说法正确的是(不计空气阻力)()A.在任一时刻,两球动能相等B.在任一时刻,两球加速度相等C.在任一时刻,系统动能和重力势能之和保持不变D.在任一时刻,系统机械能是不变的答案解析解析关闭细绳烧断后,由于弹簧处于伸长状态,通过对P、Q两球受力分析可知aPaQ,在任一时刻,两球的动能不一定相等,选项A、B错误;系统内有弹力做功,弹性势能发生变化,系统的动能和重力势能之和发生变化,选项C错误;Q落地前,两球及弹簧组成的系统只有重力和弹簧的弹力做功,整个系统的机械能守恒,选项D正确。答案解析关闭D-8-考点一考点二考点三特别提醒判断机械能守恒应注意的“两点”(1)机械能守恒的条件绝不是合外力的功等于零,更不是合外力为零;“只有重力或弹力做功”不等于“只受重力或弹力作用”。(2)对于一些绳子突然绷紧、物体间碰撞等情况,除非题目特别说明,否则机械能必定不守恒。-9-考点一考点二考点三单个物体的机械能守恒问题(师生共研)1.表达式-10-考点一考点二考点三2.一般步骤-11-考点一考点二考点三3.选用技巧(1)在处理单个物体机械能守恒问题时通常应用守恒观点和转化观点,转化观点不用选取零势能面。(2)在处理连接体问题时,通常应用转化观点和转移观点,都不用选取零势能面。-12-考点一考点二考点三例题(2018·河南百校质检)(多选)如图甲所示,在竖直平面内固定一光滑的半圆形轨道ABC,小球以一定的初速度从最低点A冲上轨道,图乙是小球在半圆形轨道上从A运动到C的过程中,其速度的二次方与其对应高度的关系图像。已知小球在最高点C受到轨道的作用力为1.25N,空气阻力不计,g取10m/s2,B点为AC轨道的中点,下列说法正确的是()A.小球质量为0.5kgB.小球在B点受到轨道作用力为4.25NC.图乙中x=25m2/s2D.小球在A点时重力的功率为5W答案解析解析关闭由题图乙可知,小球在C点的速度大小为v=3m/s,轨道半径R=0.4m,因小球所受重力与弹力的合力提供向心力,所以小球在C点有mg+F=𝑚𝑣2𝑅,代入数据得m=0.1kg,A错误;小球从B点到C点的过程,由机械能守恒可知12mv2+mgR=12𝑚𝑣𝐵2,解得𝑣𝐵2=17m2/s2,因在B点是弹力提供向心力,所以有FB=𝑚𝑣𝐵2𝑅,解得F=4.25N,B正确;小球从A点到C点的过程,由机械能守恒定律可得12mv2+2mgR=12𝑚𝑣02,解得小球在A点的速度v0=5m/s,所以题图乙中x=25m2/s2,C正确;因小球在A点时所受重力与速度方向垂直,所以重力的功率为0,D错误。答案解析关闭BC-13-考点一考点二考点三思维点拨(1)运动过程中小球机械能是否守恒?(2)最高点与最低点的v2如何联系?提示(1)守恒,只有重力做功。(2)根据机械能守恒。-14-考点一考点二考点三规律总结机械能守恒定律的应用技巧(1)机械能守恒定律是一种“能—能转化”关系,其守恒是有条件的。因此,应用时首先要注意弄清物体的运动过程,物体都做了哪些运动;每个运动过程机械能是否守恒,找出其各段关联量。恰当地选取参考平面找出初、末态,根据分析情况采用分段或整体列式解题,如本例中,判断B、C两项时,就可以采用分段列机械能守恒方程式解题。(2)如果系统只有一个物体,用守恒观点列方程较简便;对于由两个或两个以上物体组成的系统,用转化或转移的观点列方程较简便。-15-考点一考点二考点三多个物体的机械能守恒问题——模型建构1.对多个物体组成的系统要注意判断物体运动过程中,系统的机械能是否守恒。2.注意寻找用绳或杆相连接的物体间的速度关系和位移关系。3.列机械能守恒方程时,一般选用ΔEk=-ΔEp或ΔEA=-ΔEB的形式。-16-考点一考点二考点三考向1速率相等的连接体模型1.如图所示,当释放B而使A、B运动的过程中,A、B的速度均沿绳子方向,在相等的时间内A、B运动的路程相等,则A、B的速率相等。2.判断系统的机械能是否守恒不从做功角度判断,而从能量转化的角度判断,即:如果系统中只有动能和势能相互转化,系统的机械能守恒。这类题目的典型特点是系统不受摩擦力和空气阻力作用。-17-考点一考点二考点三例1如图所示,可视为质点的小球A、B用不可伸长的细软轻线连接,跨过固定在地面上、半径为R的光滑圆柱,A的质量为B的两倍。当B位于地面时,A恰与圆柱轴心等高。将A由静止释放,B上升的最大高度是()A.2RB.5R3C.4R3D.2R3答案解析解析关闭A落地前,A、B组成的系统机械能守恒,设A的质量为2m,B的质量为m。有2mgR-mgR=12(2m+m)v2得v=2𝑔𝑅3之后B以速度v竖直上抛,h=𝑣22𝑔=𝑅3所以B上升的最大高度H=R+h=43R。答案解析关闭C-18-考点一考点二考点三思维点拨(1)A落地前,A、B球组成的系统机械能是否守恒?(2)A落地后,B球做什么运动?提示(1)圆柱光滑,没有其他形式的能与A、B球的机械能相互转化,所以A、B球组成的系统机械能守恒;(2)竖直上抛。-19-考点一考点二考点三考向2机械能守恒与关联速度问题1.两个或多个物体通过绳或杆连接在一起,物体速度不同,但沿绳或杆方向速度相同。2.绳或杆连接的两个物体沿绳或杆方向速率相等,由此可以建立关系。-20-考点一考点二考点三例2(2018·河北石家庄期中)一半径为R的半圆形竖直圆柱面,用轻质不可伸长的细绳连接的A、B两球悬挂在圆柱面边缘两侧,A球质量为B球质量的2倍,现将A球从圆柱边缘处由静止释放,如图所示。已知A球始终不离开圆柱内表面,且细绳足够长,若不计一切摩擦,求:(1)A球沿圆柱内表面滑至最低点时速度的大小;(2)A球沿圆柱内表面运动的最大位移。思维点拨(1)先根据几何关系求出A球和B球速度的关系和位移的大小,再对A、B运用机械能守恒定律即可求解;(2)当A球的速度为0时,A球沿圆柱内表面运动的位移最大,设为s,则据机械能守恒定律即可求解。-21-考点一考点二考点三解析(1)设A球沿圆柱内表面滑至最低点时速度的大小为v,B球的质量为m,则根据机械能守恒定律有2mgR-2mgR=12×2mv2+12𝑚𝑣𝐵2由图甲可知,A球的速度v与B球速度vB的关系为vB=v1=vcos45°联立解得v=22-25𝑔𝑅。甲-22-考点一考点二考点三(2)当A球的速度为零时,A球沿圆柱内表面运动的位移最大,设为x,如图乙所示,由几何关系可知A球下降的高度h=𝑥2𝑅4𝑅2-𝑥2,根据机械能守恒定律有2mgh-mgx=0解得x=3R。乙答案(1)22-25𝑔𝑅(2)3R-23-考点一考点二考点三考向3角速度相同的机械能守恒问题如图所示的两物体组成的系统,当释放后A、B在竖直平面内绕O点的轴转动,在转动的过程中相等时间内A、B转过的角度相等,则A、B转动的角速度相等。-24-考点一考点二考点三例3如图所示,在长为l的轻杆中点A和端点B处各固定一质量为m的球,杆可绕无摩擦的轴O转动,使杆从水平位置无初速度释放摆下,求当杆转到竖直位置时,轻杆对A、B两球分别做了多少功?思维点拨对A、B两球组成的系统,在运动的过程中只有重力做功,系统机械能守恒,抓住A、B的角速度相等,根据A、B的速度关系,利用系统机械能守恒定律求出A、B两球的速度,再根据动能定理求出轻杆对A、B两球做的功。-25-考点一考点二考点三解析设当杆转到竖直位置时,A球和B球的速度分别为vA和vB。如果把轻杆、地球、两球构成的系统作为研究对象,那么由于杆和球的相互作用力做功总和等于零,故系统机械能守恒。若取B的最低点所在水平面为零重力势能参考平面,可得2mgl=12𝑚𝑣𝐴2+12𝑚𝑣𝐵2+12mgl,又因A球与B球在各个时刻对应的角速度相同,故vB=2vA由以上两式得vA=3𝑔𝑙5,vB=12𝑔𝑙5根据动能定理,可解出杆对A球、B球做的功,对于A球有WA+mg𝑙2=12𝑚𝑣𝐴2-0,所以WA=-0.2mgl。答案WA=-0.2mglWB=0.2mgl-26-考点一考点二考点三考点共研利用轻杆模型求解问题时应注意的三点(1)本类题目很容易错误认为两球的线速度相等,有时还错误认为单个小球的机械能守恒。(2)杆对球的作用力方向不再沿着杆,杆对小球B做正功从而使它的机械能增加,同时杆对小球A做负功,使小球A的机械能减少,系统的机械能守恒。(3)用杆连接的两个物体,其线速度大小一般有以下两种情况:①若两物体绕某一固定点做圆周运动,根据角速度ω相等确定线速度v的大小。②“关联速度法”:两物体沿杆方向速度大小相等。-27-考点一考点二考点三思维训练(2018·黑龙江模拟)(多选)将质量分别为m和2m的两个小球A和B,用长为2l的轻杆相连,如图所示,在杆的中点O处有一固定水平转动轴,把杆置于水平位置后由静止自由释放,在B球顺时针转动到最低位置的过程中(不计一切摩擦)()A.A、B两球的线速度大小始终不相等B.重力对B球做功的瞬时功率先增大后减小C.B球转动到最低位置时的速度大小为D.杆对B球做正功,B球机械能不守恒23gl答案解析解析关闭A、B两球用轻杆相连共轴转动,角速度大小始终相等,转动半径相等,所以两球的线速度大小也相等,选项A错误;杆在水平位置时,重力对B球做功的瞬时功率为零,杆在竖直位置时,B球的重力方向和速度方向垂直,重力对B球做功的瞬时功率也为零,但在其他位置重力对B球做功的瞬时功率不为零,因此,重力