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基础课10万有引力定律与航天-2-知识点一知识点二知识点三开普勒定律的认识定律内容图示或公式开普勒第一定律(轨道定律)所有行星绕太阳运动的轨道都是,太阳处在的一个焦点上开普勒第二定律(面积定律)对任意一个行星来说,它与太阳的连线在相等的时间内扫过的相等开普勒第三定律(周期定律)所有行星的轨道的半长轴的跟它的公转周期的的比值都相等a3T2=k,k是一个与行星无关的常量知识点四椭圆椭圆面积三次方二次方-3-知识点一知识点二知识点三知识点四万有引力定律及其应用1.内容自然界中任何两个物体都相互吸引,引力的方向在它们的连线上,引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积,与它们之间距离r的二次方。2.表达式F=,G为引力常量:G=6.67×10-11N·m2/kg2。3.适用条件(1)公式适用于间的相互作用。当两个物体间的距离远远大于物体本身的大小时,物体可视为质点。(2)质量分布均匀的球体可视为质点,r是的距离。成正比成反比G𝑚1𝑚2𝑟2质点两球心间-4-知识点一知识点二知识点三知识点四4.天体运动问题分析(1)将天体或卫星的运动看成运动,其所需向心力由提供。(2)基本公式:GMmr2=ma=mv2r→v=GMrmrω2→ω=mr2𝜋T2→T=2𝜋r3GMmvω匀速圆周万有引力𝐺𝑀𝑟3-5-知识点一知识点二知识点三知识点四宇宙速度1.第一宇宙速度——环绕速度(1)第一宇宙速度又叫。第一宇宙速度是人造地球卫星在绕地球做匀速圆周运动时具有的速度。(2)第一宇宙速度是人造卫星的速度,也是人造地球卫星的速度。(3)第一宇宙速度的计算方法①由GMmR2=mv2R得v==7.9km/s②由mg=mv2R得v=gR=7.9km/s环绕速度地面附近最大环绕最小发射𝐺𝑀𝑅-6-知识点一知识点二知识点三知识点四2.第二宇宙速度和第三宇宙速度名称大小挣脱第二宇宙速度(逃逸速度)km/s的引力束缚第三宇宙速度km/s的引力束缚11.2地球16.7太阳-7-知识点一知识点二知识点三知识点四经典时空观和相对论时空观1.经典时空观(1)在经典力学中,物体的质量是不随速度的改变而改变的。(2)在经典力学中,同一物理过程发生的位移和对应时间的测量结果在不同的参考系中是相同的。2.相对论时空观同一过程的位移和时间的测量与参考系有关,在不同的参考系中结果不同。3.经典力学的适用范围只适用于低速运动,不适用于高速运动;只适用于宏观世界,不适用于微观世界。-8-考点一考点二考点三考点四开普勒定律(自主悟透)1.微元法解读开普勒第二定律:行星在近日点、远日点时速度方向与连线垂直,若行星在近日点、远日点到太阳的距离分别为a、b,取足够短的时间Δt,则行星在Δt时间内可看作匀速直线运动,由Sa=Sb知12va·Δt·a=12vb·Δt·b,可得va=vbba。行星到太阳的距离越大,行星的速率越小,反之越大。2.开普勒第三定律虽然是对行星绕太阳运动的总结,但实践表明该定律也适用于其他天体的运动,如月球绕地球的运动、卫星(或人造卫星)绕行星的运动。3.天体虽做椭圆运动,但它们的轨道十分接近圆。为简化运算,一般把天体的运动当成匀速圆周运动来研究。则天体的运动遵从牛顿运动定律及匀速圆周运动的规律,如v=ωr,F=ma=mv2r=mrω2等。-9-考点一考点二考点三考点四思维训练如图所示,某行星沿椭圆轨道运行,远日点离太阳的距离为a,近日点离太阳的距离为b,过远日点时行星的速率为va,则过近日点时的速率为()A.vb=bavaB.vb=abvaC.vb=abvaD.vb=bavaC解析行星从轨道的A点经足够短的时间t运动到A'点,则与太阳的连线扫过的面积可看作扇形,其面积SA=𝑎·𝑣𝑎𝑡2;若行星从轨道的B点也经时间t运动到B'点,则与太阳的连线扫过的面积SB=𝑏·𝑣𝑏𝑡2;根据开普勒第二定律得𝑎·𝑣𝑎𝑡2=𝑏·𝑣𝑏𝑡2,即vb=𝑎𝑏va,C正确。-10-考点一考点二考点三考点四万有引力的理解与应用(师生共研)1.万有引力与重力的关系地球对物体的万有引力F表现为两个效果:一是重力mg,二是提供物体随地球自转的向心力F向,如图所示。(1)在赤道上:GMmR2=mg1+mω2R。(2)在两极上:GMmR2=mg2。-11-考点一考点二考点三考点四2.地球表面上的重力加速度(1)在地球表面附近的重力加速度g(不考虑地球自转):mg=GmMR2,得g=GMR2(2)在地球上空距离地心r=R+h处的重力加速度为g',mg'=GMm(R+h)2,得g'=GM(R+h)2所以gg'=(R+h)2R2。-12-考点一考点二考点三考点四思维训练(多选)宇航员在地球表面以一定初速度竖直上抛一小球,经过时间t小球落回原地。若他在某星球表面以相同的初速度竖直上抛同一小球,需经过时间5t小球落回原处。已知该星球的半径与地球半径之比为R星∶R地=1∶4,地球表面重力加速度为g,设该星球表面附近的重力加速度为g',空气阻力不计。则()A.g'∶g=1∶5B.g'∶g=5∶2C.M星∶M地=1∶20D.M星∶M地=1∶80AD解析由速度对称性知竖直上抛的小球在空中运动时间t=2𝑣0𝑔,因此得𝑔'𝑔=𝑡5𝑡=15,选项A正确,B错误;由G𝑀𝑚𝑅2=mg得M=𝑔𝑅2𝐺,因而𝑀星𝑀地=𝑔'𝑅星2𝑔𝑅地2=15×142=180,选项C错误,D正确。-13-考点一考点二考点三考点四中心天体质量与密度的测量——模型建构1.“自力更生”法(g-R)利用天体表面的重力加速度g和天体半径R(1)由GMmR2=mg得天体质量M=gR2G。(2)天体密度ρ=MV=M43𝜋R3=3g4𝜋GR。(3)GM=gR2称为黄金代换公式。-14-考点一考点二考点三考点四2.“借助外援”法(T-r)测出卫星绕天体做匀速圆周运动的周期T和半径r(1)由GMmr2=m4𝜋2rT2得天体的质量M=4𝜋2r3GT2。(2)若已知天体的半径R,则天体的密度ρ=MV=M43𝜋R3=3𝜋r3GT2R3。(3)若卫星绕天体表面运行时,可认为轨道半径r等于天体半径R,则天体密度ρ=3𝜋GT2,可见,只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T,就可估算出中心天体的密度。-15-考点一考点二考点三考点四例题(2017·北京卷)利用引力常量G和下列某一组数据,不能计算出地球质量的是()A.地球的半径及重力加速度(不考虑地球自转)B.人造卫星在地面附近绕地球做圆周运动的速度及周期C.月球绕地球做圆周运动的周期及月球与地球间的距离D.地球绕太阳做圆周运动的周期及地球与太阳间的距离答案解析解析关闭因为不考虑地球的自转,所以卫星的万有引力等于重力,即𝐺𝑀地𝑚𝑅2=mg,得M地=𝑔𝑅2𝐺,所以据A中给出的条件可求出地球的质量;根据𝐺𝑀地𝑚卫𝑅2=m卫𝑣2𝑅和T=2π𝑅𝑣,得M地=𝑣3𝑇2π𝐺,所以据B中给出的条件可求出地球的质量;根据𝐺𝑀地𝑚月𝑟2=m月4π2𝑇2r,得M地=4π2𝑟3𝐺𝑇2,所以据C中给出的条件可求出地球的质量;根据𝐺𝑀太𝑚地𝑟2=m地4π2𝑇2r,得M太=4π2𝑟3𝐺𝑇2,所以据D中给出的条件可求出太阳的质量,但不能求出地球质量,本题答案为D。答案解析关闭D-16-考点一考点二考点三考点四易错提醒计算中心天体的质量、密度时的两点区别(1)天体半径和卫星的轨道半径通常把天体看成一个球体,天体的半径指的是球体的半径。卫星的轨道半径指的是卫星围绕天体做圆周运动的圆的半径。卫星的轨道半径大于等于天体的半径。(2)自转周期和公转周期自转周期是指天体绕自身某轴线运动一周所用的时间,公转周期是指卫星绕中心天体做圆周运动一周所用的时间。自转周期与公转周期一般不相等。-17-考点一考点二考点三考点四思维训练(多选)已知火星绕太阳做匀速圆周运动,由天文观测可得,火星绕太阳的运动周期为T,火星绕太阳的速度为v,引力常量为G,则下列说法正确的是()A.太阳的质量为v3T2𝜋GB.火星的质量为4𝜋2v3GT2C.火星运动的轨道半径为vT2𝜋D.火星运动的加速度为2𝜋vTACD解析万有引力提供向心力,由牛顿第二定律得:𝐺𝑀𝑚𝑟2=𝑚𝑣2𝑟,𝐺𝑀𝑚𝑟2=mr2π𝑇2,解得:M=𝑣3𝑇2π𝐺,r=𝑣𝑇2π,可以求出太阳的质量M而不能求出火星质量m,故A、C正确,B错误;火星的加速度:a=ω2r=ωv=2π𝑣𝑇,故D正确。-18-考点一考点二考点三考点四卫星运行参量的比较与计算——模型建构1.卫星的各物理量随轨道半径变化的规律规律GMmr2=(r=R地+h)mv2r→v=GMr→v∝1rmω2r→ω=GMr3→ω∝1r3m4𝜋2T2r→T=4𝜋2r3GM→T∝r3ma→a=GMr2→a∝1r2mg=GMmR地2(近地时)→GM=gR地2越高越慢-19-考点一考点二考点三考点四2.卫星的运行轨道(1)赤道轨道(2)极地轨道(3)其他轨道注意:轨道平面一定通过地球的球心。-20-考点一考点二考点三考点四3.同步卫星的六个“一定”-21-考点一考点二考点三考点四例题(2019·贵州遵义模拟)2018年1月13日15时10分,我国在酒泉卫星发射中心用长征二号丁运载火箭,成功将陆地勘查卫星三号发射升空,卫星进入预定轨道。这是我国第三颗低轨陆地勘查卫星。关于陆地勘查卫星三号,下列说法正确的是()A.卫星的发射速度一定小于7.9km/sB.卫星绕地球运行的角速度比月球绕地球运行的角速度大C.卫星绕地球运行的向心加速度比月球绕地球运行的向心加速度小D.卫星在预定轨道上没有加速度思维点拨万有引力提供向心力,可以分析线速度、角速度、向心加速度等。答案解析解析关闭7.9km/s是卫星最小的发射速度,该卫星的发射速度一定大于7.9km/s,故A错误;根据卫星的线速度公式v=𝐺𝑀𝑟,得ω=𝑣𝑟=𝐺𝑀𝑟3,陆地勘查卫星三号的轨道半径比月球的小,所以陆地勘查卫星三号绕地球运行的速度比月球绕地球运行的角速度大,故B正确;卫星的加速度为a=𝐺𝑀𝑟2,陆地勘查卫星三号的轨道半径比月球的小,所以陆地勘查卫星三号绕地球运行的加速度比月球绕地球运行的加速度大,故C错误;卫星在预定轨道上做匀速圆周运动,速度时刻在改变,一定有加速度,故D错误。答案解析关闭B-22-考点一考点二考点三考点四规律方法利用万有引力定律解决卫星运动问题的技巧1.一个模型天体(包括卫星)的运动可简化为质点的匀速圆周运动模型。2.两组公式:GMmr2=mv2r=mω2r=m4𝜋2T2r=mamg=GMmR2(g为天体表面处的重力加速度)3.a、v、ω、T均与卫星的质量无关,只由轨道半径和中心天体质量共同决定,所有参量的比较,最终归结到半径的比较。-23-考点一考点二考点三考点四思维训练(2018·天津卷)(多选)2018年2月2日,我国成功将电磁监测试验卫星张衡一号发射升空,标志我国成为世界上少数拥有在轨运行高精度地球物理场探测卫星的国家之一。通过观测可以得到卫星绕地球运动的周期,并已知地球的半径和地球表面处的重力加速度。若将卫星绕地球的运动看作匀速圆周运动,且不考虑地球自转的影响,根据以上数据可以计算出卫星的()A.密度B.向心力的大小C.离地高度D.线速度的大小答案解析解析关闭本题考查万有引力定律的应用,灵活掌握卫星向心加速度的不同表达式是解题关键。万有引力提供卫星圆周运动的向心力,则有G𝑀𝑚(𝑅+ℎ)2=ma=m𝑣2𝑅+ℎ=m(R+h)4π2𝑇2,其中GM=gR2,可以求得卫星离地面的高度h和卫星线速度v;由于不知道卫星的质量m,无法求出卫星所受向心力和卫星的密度。故选项A、B错误,选项C、D正确。答案解析关闭CD