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2016年湖南省高考数学模拟试卷（文科）（三）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若a为实数且（2+ai）（a﹣2i）=8，则a=（）A．﹣1B．0C．1D．22．已知集合A={x|﹣3＜x＜3}，B={x|x（x﹣4）＜0}，则A∪B=（）A．（0，4）B．（﹣3，4）C．（0，3）D．（3，4）3．“﹣1＜x＜2”是“|x﹣2|＜1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．若某市8所中学参加中学生合唱比赛的得分用茎叶图表示（如图1），其中茎为十位数，叶为个位数，则这组数据的中位数和平均数分别是（）A．91，91.5B．91，92C．91.5，91.5D．91.5，925．设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=﹣9，a2+a8=﹣2，当Sn取得最小值时，n=（）A．5B．6C．7D．86．设=（1，2），=（1，1），=+k，若，则实数k的值等于（）A．﹣B．﹣C．D．7．函数y=sin（2x+φ），的部分图象如图，则φ的值为（）A．或B．C．D．8．执行如图所示的程序框图，输出S的值为时，k是（）A．5B．3C．4D．29．已知圆C过点（1，0），且圆心在x轴的正半轴上，直线l：y=x﹣1被该圆所截得的弦长为，则圆C的标准方程为（）A．（x+1）2+y2=4B．（x﹣3）2+y2=4C．（x﹣1）2+y2=4D．（x+3）2+y2=410．已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB=90°，C为该球面上的动点，若三棱锥O﹣ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为（）A．36πB．64πC．144πD．256π11．已知A、B为双曲线E的左右顶点，点M在E上，AB=BM，三角形ABM有一个角为120°，则E的离心率为（）A．B．C．D．212．如图，质点P在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P0（，﹣），角速度为1，那么点P到x轴距离d关于时间t的函数图象大致为（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上．.13．某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方向，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查，已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4：5：5：6，则应从一年级本科生中抽取名学生．14．若变量x，y满足约束条件，则z=2x+3y的最大值为．15．一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为m3．16．已知函数f（x）=x3﹣3ax（a∈R），若直线x+y+m=0对任意的m∈R都不是曲线y=f（x）的切线，则a的取值范围为．三、解答题：本大题共5小题，满分60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知△ABC的面积．（Ⅰ）求sinA与cosA的值；（Ⅱ）设，若tanC=2，求λ的值．18．某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为[40，50]，[50，60]，…，[80，90]，[90，100]（1）求频率分布图中a的值；（2）估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；（3）从评分在[40，60]的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在[40，50]的概率．19．如图，设四棱锥E﹣ABCD的底面为菱形，且∠ABC=60°，AB=EC=2，AE=BE=．（Ⅰ）证明：平面EAB⊥平面ABCD；（Ⅱ）求四棱锥E﹣ABCD的体积．20．已知函数f（x）=2lnx﹣ax+a（a∈R）．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）若f（x）≤0恒成立，证明：当0＜x1＜x2时，．21．已知椭圆C1：+x2=1（a＞1）与抛物线C：x2=4y有相同焦点F1．（Ⅰ）求椭圆C1的标准方程；（Ⅱ）已知直线l1过椭圆C1的另一焦点F2，且与抛物线C2相切于第一象限的点A，设平行l1的直线l交椭圆C1于B，C两点，当△OBC面积最大时，求直线l的方程．四.请考生在第（22）、（23）（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上．[选修4-1几何证明选讲]22．如图，AB为圆O的直径，CB是圆O的切线，弦AD∥OC．（Ⅰ）证明：CD是圆O的切线；（Ⅱ）AD与BC的延长线相交于点E，若DE=3OA，求∠AEB的大小．[选修4-4坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．已知曲线C1：（t为参数），C2：（θ为参数）．（Ⅰ）化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（Ⅱ）若C1上的点P对应的参数为t=，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C3：ρ（cosθ﹣2sinθ）=7距离的最小值．[选修4-5不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣2|，g（x）=﹣|x+3|+m．（1）解关于x的不等式f（x）+a﹣1＞0（a∈R）；（2）若函数f（x）的图象恒在函数g（x）图象的上方，求m的取值范围．2016年湖南省高考数学模拟试卷（文科）（三）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若a为实数且（2+ai）（a﹣2i）=8，则a=（）A．﹣1B．0C．1D．2【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】计算题；方程思想；数学模型法；数系的扩充和复数．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，由复数相等的条件列式求得a值．【解答】解：由（2+ai）（a﹣2i）=8，得4a+（a2﹣4）i=8，∴，解得a=2．故选：D．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数相等的条件，是基础题．2．已知集合A={x|﹣3＜x＜3}，B={x|x（x﹣4）＜0}，则A∪B=（）A．（0，4）B．（﹣3，4）C．（0，3）D．（3，4）【考点】并集及其运算．【专题】集合．【分析】利用并集的性质求解．【解答】解：∵集合A={x|﹣3＜x＜3}，B={x|x（x﹣4）＜0}={x|0＜x＜4}，∴A∪B={x|﹣3＜x＜4}=（﹣3，4）．故选：B．【点评】本题考查并集的求法，是基础题，解题时要认真审题．3．“﹣1＜x＜2”是“|x﹣2|＜1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】计算题；综合法；不等式的解法及应用；简易逻辑．【分析】由|x﹣2|＜1，解得1＜x＜3，即可判断出结论．【解答】解：由|x﹣2|＜1，解得1＜x＜3，∴“﹣1＜x＜2”是“|x﹣2|＜1”的既不充分也不必要条件．故选：D．【点评】本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4．若某市8所中学参加中学生合唱比赛的得分用茎叶图表示（如图1），其中茎为十位数，叶为个位数，则这组数据的中位数和平均数分别是（）A．91，91.5B．91，92C．91.5，91.5D．91.5，92【考点】茎叶图．【专题】计算题；概率与统计．【分析】根据茎叶图中的数据，计算这组数据的中位数与平均数即可．【解答】解：把茎叶图中的数据按大小顺序排列，如下；87、88、90、91、92、93、94、97；∴这组数据的中位数为=91.5，平均数是（87+88+90+91+92+93+94+97）=91.5．故选：C．【点评】本题考查了利用茎叶图中的数据求中位数与平均数的应用问题，是基础题目．5．设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=﹣9，a2+a8=﹣2，当Sn取得最小值时，n=（）A．5B．6C．7D．8【考点】等差数列的性质．【专题】等差数列与等比数列．【分析】利用等差数列的通项公式，可求得公差d=2，从而可得其前n项和为Sn的表达式，配方即可求得答案．【解答】解：等差数列{an}中，a1=﹣9，a2+a8=2a1+8d=﹣18+8d=﹣2，解得d=2，所以，Sn=﹣9n+=n2﹣10n=（n﹣5）2﹣25，故当n=5时，Sn取得最小值，故选：A．【点评】本题考查等差数列的性质，考查其通项公式与求和公式的应用，考查运算求解能力，属于基础题．6．设=（1，2），=（1，1），=+k，若，则实数k的值等于（）A．﹣B．﹣C．D．【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系．【专题】平面向量及应用．【分析】由题意可得的坐标，进而由垂直关系可得k的方程，解方程可得．【解答】解：∵=（1，2），=（1，1），∴=+k=（1+k，2+k）∵，∴•=0，∴1+k+2+k=0，解得k=﹣故选：A【点评】本题考查数量积和向量的垂直关系，属基础题．7．函数y=sin（2x+φ），的部分图象如图，则φ的值为（）A．或B．C．D．【考点】y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【专题】计算题；三角函数的图像与性质．【分析】由已知中函数的图象，通过坐标（，0）代入解析式，结合φ求出φ值，得到答案．【解答】解：由已知中函数y=sin（2x+φ）（φ）的图象过（，0）点代入解析式，结合五点法作图，sin（+φ）=0，+φ=π+2kπ，k∈Z，∵φ，∴k=0，∴φ=，故选：B．【点评】本题考查的知识点是由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，特殊点是解答本题的关键．8．执行如图所示的程序框图，输出S的值为时，k是（）A．5B．3C．4D．2【考点】循环结构．【专题】计算题；图表型；试验法；算法和程序框图．【分析】模拟执行程序，依次写出每次循环k的值，当k=5时，大于4，计算输出S的值为，从而得解．【解答】解：模拟执行程序，可得每次循环的结果依次为：k=2，k=3，k=4，k=5，大于4，可得S=sin=，输出S的值为．故选：A．【点评】本题主要考查了循环结果的程序框图，模拟执行程序正确得到k的值是解题的关键，属于基础题．9．已知圆C过点（1，0），且圆心在x轴的正半轴上，直线l：y=x﹣1被该圆所截得的弦长为，则圆C的标准方程为（）A．（x+1）2+y2=4B．（x﹣3）2+y2=4C．（x﹣1）2+y2=4D．（x+3）2+y2=4【考点】直线与圆相交的性质．【专题】直线与圆．【分析】设圆心C的坐标为（a，0），a＞0，求得圆心到直线l：y=x﹣1的距离d的值，再根据半径r=|a﹣1|=，解得a的值，可得圆心坐标和半径，从而求得圆C的标准方程．【解答】解：设圆心C的坐标为（a，0），a＞0，则圆心到直线l：y=x﹣1的距离为d==．由于半径r=|a﹣1|=，解得a=3，或a=﹣1（舍去），故圆C的圆心为（3，0），半径为3﹣1=2，故圆C的标准方程为（x﹣3）2+y2=4，故选B．【点评】本题主要考查直线和圆相交的性质，点到直线的距离公式、弦长公式的应用，属于中档题．10．已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB=90°，C为该球面上的动点，若三棱锥O﹣ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为（）A．36πB．64πC．144πD．256π【考点】球的体积和表面积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O﹣ABC的体积最大，利用三棱锥O﹣ABC体积的最大值为36，求出半径，即可求出球O的表面积．【解答】解：如图所示，当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O﹣ABC的体积最大，设球O的半径为R，此时VO﹣ABC=VC﹣AOB===36，故R=6，则球O的表面积为4πR2=144π，故选C．【点评】本题考查球的半径与表面积，考查体积的计算，确定点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O﹣ABC的体积最大是关键．11．已知A、B为双曲线E的左右