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2013年高考模拟试卷第Ⅰ卷（必做题，共160分）一．填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．全集U＝{1,2,3,4,5}，集合A={1,3,4}，B={3,5}，则∁U(A∪B)＝.2．已知a+bi1+i＝1－2i(a，b∈R，i为虚数单位)，则a－b＝．3．某射击运动员在四次射击中打出了10，x，9，8环的成绩，已知这组数据的平均数为9，则这组数据的方差是.4．已知向量a＝(2,1)，a·b=10，|a+b|52，则|b|=.科网]5．执行右边的程序框图,若p＝100，则输出的n.6．已知函数f(x)＝ax+ka-x，(a0，且a≠1，k为常数)．若f(x)在R上既是奇函数，又是增函数，则a的取值范围是.7.设曲线f(x)＝2ax3－ax在点(1，b)处的切线与直线2x－y+5＝0平行，则实数a的值为．8．已知正三棱锥的底面边长为2，侧棱长为433，则它的体积为.9．从1，2，3，4，5，6这六个数中，任取两个不同的数．则这两个数的和是偶数的概率为．10．若数列{an}中，a1＝12，且对任意的正整数p，q都有ap+q＝ap·aq，则an＝．11.在直角坐标平面xOy上有两个区域M和N，M为y≥0，y≤x，y≤2－x．N是由不等式12≤x≤32确定，设M和N的公共部分面积是S，则S＝．12．已知函数f(x)＝|x2－8|，若ab≤0,且f(a)＝f(b)，则a+b的最小值是.13.设F是椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)右焦点，A是其右准线与x轴的交点．若在椭圆上存在一点P，使线段PA的垂直平分线恰好经过点F，则椭圆离心率的取值范围是．]14.设x，y∈［0,2π］，且满足：2sinxcosy－sinx+cosy=12．则x－y的最大值为．二、解答题：本大题共6小题，共90分.15．（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A(2,0)，P(cosα，sinα)，0απ．（1）若cosα＝12，求证AP→⊥OP→．（2）若|AP→||OP→|＝655，求cos(2α－π4)的值．第5题ABCDEFO第15题16．（本小题满分14分）在棱长都相等的斜三棱柱ABC－DEF中，BF⊥AE，BF∩CE＝O，AB＝AE．（1）求证AO⊥平面FEBC；（2）求证四边形BCFE为正方形．17．（本小题满分14分）某市近郊有一块大约400m×400m的接近正方形的荒地，地方政府准备在此建一个综合性休闲广场，首先要建设如图所示的一个矩形场地，其中总面积为3000平方米，其中阴影部分为通道，通道宽度为2米，中间的三个矩形区域将铺设塑胶地面作为运动场地（其中两个小场地形状相同），塑胶运动场地占地面积为S平方米.（1）分别用x表示y和S的函数关系式，并给出定义域；（2）怎样设计能使S取得最大值，并求出最大值.x米y1x112112a1图1O1y1aa18．（本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy中，设椭圆T的中心在坐标原点，一条准线方程为2y，且经过点(1，0)．（1）求椭圆T的方程；（2）设四边形ABCD是矩形，且四条边都与椭圆T相切．①求证：满足条件的所有矩形的顶点在一个定圆上；②求矩形ABCD面积S的取值范围．19．（本小题满分16分）已知数列{an}满足，an+1+an＝4n－3(n∈N*)（1）若数列{an}是等差数列，求a1的值；（2）当a1＝2时，求数列{an}的前n项和Sn；（3）若对任意n∈N*,都有a2n+a2n+1≥20n－15成立，求a1的取值范围．20．（本小题满分16分）已知函数f(x)＝(x+1)lnx－a(x－1)在x＝e处的切线在y轴上的截距为2－e．(1)求a的值；(2)函数f(x)能否在x＝1处取得极值？若能取得，求此极值，若不能说明理由．(3)当1x2时，试比较2x－1与1lnx－1ln(2－x)大小．ABDCEFO·（第21－A题）21．[选做题]本题包括A、B、C、D四小题，每小题10分；请选定其中两题，并在相应的答题区域．．．．．．．．．．．．．．．．．内作答．．．．A．（选修４－１：几何证明选讲）如图，AD是∠BAC的平分线，⊙O过点A且与BC边相切于点D，与AB，AC分别交于E，F，求证：EF∥BC．B．（选修４－２：矩阵与变换）已知二阶矩阵M属于特征值3的一个特征向量为→e＝11，并且矩阵M对应的变换将点（－1，2）变成点（9，15），求出矩阵M.C．（选修４－４：坐标系与参数方程）已知圆C的极坐标方程是ρ＝4cosθ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是x＝22t+my＝22t（t是参数）.若直线l与圆C相切，求实数m的值.D．（选修４－５：不等式选讲）已知a，b是正数，求证：(a＋1b)(2b＋12a)≥92.【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.22在三棱锥S－ABC中,△ABC是边长为4的正三角形,平面SAC⊥平面ABC,32SASC,M、N分别为AB、SB的中点.（1）求二面角NCMB的余弦值；（2）求点B到平面CMN的距离.23.甲乙两人进行某种游戏比赛，规定每一次胜者得1分，负者得0分；当其中一人的得分比另一人的多2分时即赢得这场游戏比赛，比赛随之结束；同时规定比赛次数最多不超过10次，即经10次比赛，得分多者赢得这场游戏，得分相等为和局．已知每次比赛甲获胜的概率为p(0p1)，乙获胜的概率为q(q=1－p)．假定各次比赛的结果是相互独立的，比赛经ξ次结束．(1)求ξ的分布列及数学期望Eξ．(2)求ξ的数学期望Eξ的取值范围．AMBSCN参考答案第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题1．{2};2．4;3．12;4．5;5．7;6．(1，+∞);7．25;8.233；9．25；10．(12)n；11．34；12．－42；13.［12，1)；14.11π6.二、解答题15．（1）（方法一）由题设知AP→＝(cosα－2，sinα)，OP→＝(cosα，sinα)，所以AP→·OP→＝(cosα－2)cosα+sin2α＝1－2cosα．因为cosα＝12，所以AP→·OP→＝0，所以AP→⊥OP→．（方法二）因为cosα＝12，0απ，所以sinα＝32，所以P(12，32)．所以AP→＝(－32，32)，OP→＝(12，32)，所以AP→·OP→＝(－32，32)·(12，32)＝－34+34＝0，所以AP→⊥OP→．（2）由|AP→||OP→|＝655，得(cosα－2)2+sin2α＝135，解得cosα＝35，又因为0απ，所以sinα＝45．所以sin2α＝2sinαcosα＝2×45×35＝2425，cos2α＝2cos2α－1＝2×(35)2－1＝－725．所以cos(2α－π4)＝22sin2α+22cos2α＝22×2425－22×725＝17250．16．（1）因为BCFE是菱形，所以，BF⊥EC．又BF⊥AE，AE∩EC＝E，所以，BF⊥平面AEC．因为AO平面AEC，所以，BF⊥AO……………………………………………………………4分因为AE＝AB＝AC，OE＝OC，所以，AO⊥EC，由BF∩EC＝O，，所以，AO⊥平面BCFE…………………………8分（2）因为AO⊥平面BCFE，所以，AO⊥OE，AO⊥OB，………………10分又因为AE＝AB，所以OE＝OB，EC＝BF所以，四边形BCFE为正方形……14分17．（1）由题设得xy＝3000，即y＝3000x，其定义域是(6,400)．S＝(x－4)a+(x－6)a＝(2x－10)a．因为2a+6＝y，所以a＝y2－3＝1500x－3，所以(2x－10)·(1500x－3)＝3030－(1500x+6x)，其定义域是(6,400)．（2）S＝3030－(1500x+6x)≤3030－26x·1500x＝3030－2×300＝2430．当且仅当1500x＝6x，即x＝50∈(6,400)时，上述不等式等号成立，此时，x＝50，y＝60，Smax＝2430(m2)．答：设计x＝50m，y＝60m时，运动场地面积最大，最大值为2430平方米．18．【解】（1）因为椭圆T的中心在坐标原点，一条准线方程为有y＝2，所以椭圆T的焦点在y轴上，于是可设椭圆T的方程为x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)．因为椭圆T经过点(1，0)，所以222222011aabab，，解得2221ab，．故椭圆T的方程为2212yx．（2）由题意知，矩形ABCD是椭圆2212yx的外切矩形，①(i)若矩形ABCD的边与坐标轴不平行，则可设一组对边所在直线的方程为(0)ykxmk，则由2212yxykxm，消去y得222(2)220kxkmxm，于是222244(2)(2)0kmkm，化简得22mk．所以矩形ABCD的一组对边所在直线的方程为22ykxk，即22ykxk，则另一组对边所在直线的方程为212kyxk，于是矩形顶点坐标(x，y)满足2222()()(2)(12)ykxkyxkk，即2222(1)()3(1)kxyk，亦即223xy．(ii)若矩形ABCD的边与坐标轴平行，则四个顶点(12)，显然满足223xy．故满足条件的所有矩形的顶点在定圆223xy上．②当矩形ABCD的边与坐标轴不平行时，由①知，一组对边所在直线间的距离为另一组对边的边长，于是矩形的一条边长为22221kk，另一条边长为2222122221111kkkk．所以2224222142142214252111kkkkkkSkkkk，令1tkk，则22t，，于是22421142426tStt，．②若矩形ABCD的边与坐标轴平行，则42S．故S的取值范围是426，．19．【解】（1）若数列{an}是等差数列，则an＝a1+(n－1)d，an+1＝a1+nd．由an+1+an＝4n－3，得(a1+nd)+[a1+(n－1)d]＝4n－3，即2d＝4，2a1－d＝4－3，解得，d＝2，a1＝－12．（2）由an+1+an＝4n－3，得an+2+an+1＝4n+1(n∈N*)．两式相减，得an+2－an＝4．所以数列{a2n-1}是首项为a1，公差为4的等差数列[，数列{a2n}是首项为a2，公差为4的等差数列，由a2+a1＝1，a1＝2，得a2＝－1．所以an＝2n，n为奇数，2n－5，n为偶数．①当n为奇数时，则an＝2n，an+1＝2n－3．所以Sn＝a1+a2+…+an＝(a1+a2)+(a3+a4)+…+(an-2+an-1)+an＝1+9+…+(4n－11)+2n＝2n2－3n+52．②当n为偶数时，Sn＝a1+a2+…+an＝(a1+a2)+(a3+a4)+…+(an-1+an)＝1+9+…+(4n－7)＝2n2－3n2．所以Sn＝2n2－3n+52，n为奇数，2n2－3n2，n为偶数．（3）由（2）知，an＝2n－2+a1，n为奇数，2n－3+a1，n为偶数．①当n为奇数时，an＝2n－2+a1，，an+1＝2n－1－a1．由a2n+a2n+1≥20n－15，得a12－a1≥－4n+16n－10．因为－4n+16n－10＝－4(n－2)2+6≤2，当n＝1，或3时，［－4(n－2)2+6］max＝2．所以a12－a1≥2．解得a1≥2，或a1≤－1．②当n为偶数时，an＝2n－a1－3，an＝2n+a1．由由a2n+a2n+1≥20n－15，得a12+3a1≥－4n+16n－12．－4n+16n－12＝－4(n－2)2+4≤4．当n＝2时，［－4(n－2)2+4］max＝4．所以a12+3≥4，解得a1≥1，a1≤4．