计数原理及二项式定理概念公式总结

排列组合及二项式定理概念及公式总结1.分类计数原理：做一件事情，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有1m种不同的方法，在第二类办法中有2m种不同的方法，……，在第n类办法中有nm种不同的方法奎屯王新敞新疆那么完成这件事共有N=m1+m2+……+mn种不同的方法奎屯王新敞新疆2.分步计数原理：做一件事情，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，……，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事有N=m1×m2×……mn种不同的方法分类要做到“不重不漏”，分步要做到“步骤完整”3.两个计数原理的区别:如果完成一件事，有n类办法，不论哪一类办法中的哪一种方法，都能独立完成这件事,用分类计数原理，如果完成一件事需要分成几个步骤，各步骤都不可缺少，需要完成所有步骤才能完成这件事，是分步问题,用分步计数原理.4.排列:从n个不同的元素中取出m个(m≤n)元素并按一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.（1）排列数:从n个不同的元素中取出m个(m≤n)元素的所有排列的个数.用符号mnA表示（2）排列数公式:)1()2)(1(mnnnnAmn或mnA)!(!mnnnmNmn,,nnA=!n=1231nn=n(n-1)!规定0！=15.组合：一般地，从n个不同元素中取出mmn个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合（1）组合数:从n个不同元素中取出mmn个元素的所有组合的个数，用mnC表示（2）组合数公式:(1)(2)(1)!mmnnmmAnnnnmCAm或)!(!!mnmnCmn),,(nmNmn且（3）组合数的性质：①mnnmnCC．规定：10nC；②mnC1＝mnC+1mnC.③0132nnnnnnCCCC④nCCnnn11⑤1nnC6.二项式定理及其特例：（1）二项式定理NnbCbaCbaCaCbannnkknknnnnnn110展开式共有n+1项，其中各项的系数nkCkn,,2,1,0叫做二项式系数。（2）特例：1(1)1nrrnnnxCxCxx.7.二项展开式的通项公式：kknknkbaCT1（为展开式的第r+1项）8．二项式系数的性质：（1）对称性：在nba展开式中，与首末两端“等距”的两个二项式系数相等即mnnmnCC，直线2nr是图象的对称轴．（2）增减性与最大值：当21nk时，二项式系数逐渐增大，由对称性知它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取得最大值。当n是偶数时，在中间一项2nnC取得最大值；当n是奇数时，在中间两项12nnC，12nnC取得最大值．9.各二项式系数和：（1）0122nrnnnnnnCCCCC奎屯王新敞新疆（2）15314202nnnnnnnCCCCCC10.各项系数之和：（采用赋值法）例：求932yx的各项系数之和解：992728190932yayxayxaxayx令1,1yx，则有13232992109aaaayx，故各项系数和为-1