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第4讲万有引力与航天-2-专题知识•理脉络真题诠释•导方向-3-专题知识•理脉络真题诠释•导方向1.(2019·天津卷)2018年12月8日,肩负着亿万中华儿女探月飞天梦想的嫦娥四号探测器成功发射,“实现人类航天器首次在月球背面巡视探测,率先在月背刻上了中国足迹”。已知月球的质量为M、半径为R,探测器的质量为m,引力常量为G,嫦娥四号探测器围绕月球做半径为r的匀速圆周运动时,探测器的()A.周期为4π2𝑟3𝐺𝑀B.动能为𝐺𝑀𝑚2𝑅C.角速度为𝐺𝑚𝑟3D.向心加速度为𝐺𝑀𝑅2A-4-专题知识•理脉络真题诠释•导方向解析:探测器绕月球做圆周运动的向心力由万有引力提供,则有𝐺𝑀𝑚𝑟2=ma=m𝑣2𝑟=mrω2=mr4π2𝑇2,解得向心加速度a=𝐺𝑀𝑟2、动能Ek=12mv2=𝐺𝑀𝑚2𝑟、角速度ω=𝐺𝑀𝑟3、周期T=4π2𝑟3𝐺𝑀,故只有选项A正确。命题考点万有引力定律在天体运动中的应用。能力要求本题是万有引力定律应用题,要熟记万有引力的公式和圆周运动的一些关系变换式,解题依据为万有引力提供向心力,找出哪些是不变的量、相同的量以及有比例关系的量,列方程求解。-5-专题知识•理脉络真题诠释•导方向2.(多选)(2018·天津卷)2018年2月2日,我国成功将电磁监测试验卫星张衡一号发射升空,标志我国成为世界上少数拥有在轨运行高精度地球物理场探测卫星的国家之一。通过观测可以得到卫星绕地球运动的周期,并已知地球的半径和地球表面处的重力加速度。若将卫星绕地球的运动看作匀速圆周运动,且不考虑地球自转的影响,根据以上数据可以计算出卫星的()A.密度B.向心力的大小C.离地高度D.线速度的大小CD-6-专题知识•理脉络真题诠释•导方向解析:万有引力提供卫星圆周运动的向心力,则有G𝑀𝑚(𝑅+ℎ)2=ma=m𝑣2𝑅+ℎ=m(R+h)4π2𝑇2,其中GM=gR2,可以求得卫星离地面的高度h和卫星线速度v;由于不知道卫星的质量m,无法求出卫星所受向心力和卫星的密度。故选项A、B错误,选项C、D正确。命题考点万有引力定律在天体运动中的应用。能力要求本题考查了人造卫星的应用,知道万有引力提供向心力是解题的关键,应用万有引力公式与牛顿第二定律可以解题。-7-专题知识•理脉络真题诠释•导方向3.(2019·全国卷2)2019年1月,我国嫦娥四号探测器成功在月球背面软着陆。在探测器“奔向”月球的过程中,用h表示探测器与地球表面的距离,F表示它所受的地球引力,能够描述F随h变化关系的图像是()D-8-专题知识•理脉络真题诠释•导方向解析:根据万有引力定律F=G𝑀𝑚𝑟2=G𝑀𝑚(𝑅+ℎ)2可知,探测器所受的地球引力F随h增加而减小,但不是线性关系。因此F-h图像应是一曲线,D正确,A、B、C错误。命题考点万有引力定律在天体运动中的应用,双星问题。能力要求解题关键点根据万有引力定律写出F与h的关系式,再根据数学知识确定图线的形状。-9-专题知识•理脉络真题诠释•导方向4.(2018·北京卷)若想检验“使月球绕地球运动的力”与“使苹果落地的力”遵循同样的规律,在已知月地距离约为地球半径60倍的情况下,需要验证()A.地球吸引月球的力约为地球吸引苹果的力的1602B.月球公转的加速度约为苹果落向地面加速度的1602C.自由落体在月球表面的加速度约为地球表面的16D.苹果在月球表面受到的引力约为在地球表面的160B-10-专题知识•理脉络真题诠释•导方向命题考点万有引力定律的应用。能力要求万有引力提供月球做圆周运动的向心力,在地球表面的物体受到的万有引力等于重力,据此求出月球表面的重力加速度,从而即可求解。解析:对于月球绕地球公转有𝐺𝑀𝑚月(60𝑅)2=m月a月,得a月=𝐺𝑀(60𝑅)2。对于地球表面的物体,有𝐺𝑀𝑚𝑅2=mg,得g=𝐺𝑀𝑅2。上面两式中GM为同一定值,如果“使月球绕地球运动的力”与“使苹果落地的力”遵循同样的规律,则gR2=a月(60R)2,得到a月=𝑔602,B正确。地球吸引月球的力与地球吸引苹果的力之比除了与距离的二次方成反比例之外,还与月球与苹果的质量之比有关,A错误;C、D两项需要知道地球与月球的质量之比和半径之比,且D项的结论错误,故C、D不符合题意。-11-突破点一突破点二突破点三突破点四突破点五开普勒定律的理解与应用考查方向常以选择题形式考查。突破方略关于开普勒第三定律的理解(1)适用于行星—恒星系统,也适用于卫星—行星系统等。(2)只有在同一系统内k才是定值。(3)k与中心天体质量有关。(4)对椭圆轨道、圆形轨道都适用。-12-突破点一突破点二突破点三突破点四突破点五模型构建【例1】把水星和金星绕太阳的运动视为匀速圆周运动。从水星与金星和太阳在一条直线上开始计时,若测得在相同时间内水星、金星转过的角度分别为θ1、θ2(均为锐角),则由此条件可求得水星和金星()A.质量之比B.绕太阳运动的轨道半径之比C.绕太阳运动的动能之比D.受到太阳的引力之比B-13-突破点一突破点二突破点三突破点四突破点五解析:根据题述测得在相同时间内水星、金星转过的角度分别为θ1、θ2,可得二者绕太阳运动的周期之比,再根据开普勒第三定律可得二者绕太阳运动的轨道半径之比,即二者到太阳的距离之比,选项B正确。-14-突破点一突破点二突破点三突破点四突破点五迁移训练1.(2019·天津和平区一模)2018年12月12日16时39分,嫦娥四号探测器结束地月转移段飞行,按计划顺利完成近月制动,并成功进入100km至400km环月椭圆轨道Ⅱ。其轨道示意如图所示,环月轨道Ⅰ为圆形轨道,环月轨道Ⅱ为椭圆轨道,两轨道在制动点A相切。则嫦娥四号()A.由A向B点运动过程中机械能增大B.由A向B点运动过程中速度大小不变C.从轨道Ⅰ进入轨道Ⅱ需要在A点进行点火加速D.沿轨道Ⅰ运动的周期大于沿轨道Ⅱ运动的周期D-15-突破点一突破点二突破点三突破点四突破点五解析:嫦娥四号在轨道Ⅱ上运动时,只有万有引力做功,故机械能守恒,故A错误;B点为近月点,故B点的速度大于A点的速度,故B错误;从高轨道Ⅰ进入低轨道Ⅱ需要进行减速,故C错误;根据开普勒行星运动定律知,在轨道Ⅰ上运动时的半长轴大于在轨道Ⅱ上运行时的半长轴,故在轨道Ⅰ上运行的周期要大,故D正确。-16-突破点三突破点四突破点五突破点一突破点二万有引力与重力的关系考查方向常以选择题形式考查。突破方略地球表面上的物体所受重力特点(1)重力与引力的关系赤道:𝐺𝑀𝑚𝑅2=𝑚𝑔+𝑚𝜔2𝑅两极:𝐺𝑀𝑚𝑅2=𝑚𝑔(2)自转可忽略时:G𝑀𝑚𝑅2=mg可得:g=𝐺𝑀𝑅2,距地面h高处g'=𝐺𝑀(𝑅+ℎ)2M=𝑔𝑅2𝐺,GM=gR2。-17-突破点三突破点四突破点五突破点一突破点二模型构建【例2】(2019·天津和平区月考)将一质量为m的物体分别放在地球的南、北两极点时,该物体的重力均为mg0;将该物体放在地球赤道上时,该物体的重力为mg。假设地球可视为质量均匀分布的球体,半径为R,已知引力常量为G,则由以上信息可得出()A.地球的质量为𝑔𝑅2𝐺B.地球同步卫星的离地高度为R𝑔0𝑔0-𝑔3C.地球自转的周期为2π𝑅𝑔0-𝑔D.地球的第一宇宙速度大小为𝑔𝑅C-18-突破点三突破点四突破点五突破点一突破点二解析:在两极有mg0=G𝑀𝑚𝑅2①在赤道上有G𝑀𝑚𝑅2-mg=mRω2②由①可得,M=𝑔𝑅2𝐺,故A错误;对同步卫星有G𝑀𝑚(𝑅+ℎ)2=m(R+h)ω2③由①②③式可得R+h=R𝑔0𝑔0-𝑔3,故B错误;由①②可得ω=𝑔0-𝑔𝑅,则周期T=2π𝜔=2π𝑅𝑔0-𝑔,故C正确;由mg0=𝑚𝑣2𝑅,地球的第一宇宙速度为𝑔0𝑅,故D错误。-19-突破点三突破点四突破点五突破点一突破点二以题说法应用万有引力定律解决天体问题的思路(1)利用天体表面的重力加速度和天体半径估算由G𝑀𝑚𝑅2=mg得M=𝑔𝑅2𝐺,再由ρ=𝑀𝑉,V=43πR3得ρ=3𝑔4𝐺π𝑅。(2)已知天体做匀速圆周运动的轨道半径和周期,由G𝑀𝑚𝑟2=m4π2𝑇2r得M=4π2𝑟3𝐺𝑇2,再结合ρ=𝑀𝑉,V=43πR3得ρ=3π𝑟3𝐺𝑇2𝑅3。在天体表面,由r=R,得ρ=3π𝐺𝑇2。-20-突破点三突破点四突破点五突破点一突破点二迁移训练2.(多选)在地球表面以初速度v0竖直向上抛出一个小球,经时间t后回到出发点。假如宇航员登上某个与地球差不多大小的行星表面,仍以初速度v0竖直向上抛出一个小球,经时间4t后回到出发点。则下列说法正确的是()A.这个行星的质量与地球质量之比为1∶2B.这个行星的第一宇宙速度与地球的第一宇宙速度之比为1∶2C.这个行星的密度与地球的密度之比为1∶4D.这个行星的自转周期与地球的自转周期之比为1∶2BC-21-突破点三突破点四突破点五突破点一突破点二解析:行星表面与地球表面的重力加速度之比为𝑔行𝑔地=𝑣02𝑡2𝑣0𝑡=14,行星质量与地球质量之比为𝑀行𝑀地=𝑔行𝑅2𝐺𝑔地𝑅2𝐺=14,故A错误;这个行星的第一宇宙速度与地球的第一宇宙速度之比为𝑣行𝑣地=𝑔行𝑅𝑔地𝑅=12,故B正确;这个行星的密度与地球的密度之比为𝜌行𝜌地=𝑀行𝑉𝑀地𝑉=14,故C正确;无法求出这个行星的自转周期与地球的自转周期之比,故D错误。-22-突破点三突破点四突破点五突破点一突破点二中心天体—环绕天体模型考查方向常以选择题形式考查。突破方略中心天体—环绕天体模型环绕天体做圆周运动的向心力由中心天体对它的万有引力提供,即G𝑀𝑚𝑟2=m4π2𝑇2r=m𝑣2𝑟=ma,可得:中心天体质量M=4π2𝑟3𝐺𝑇2,ρ=3π𝑟3𝐺𝑇2𝑅3r=R时有ρ=3π𝐺𝑇2环绕天体运行速度v=𝐺𝑀𝑟,加速度a=𝐺𝑀𝑟2。-23-突破点三突破点四突破点五突破点一突破点二模型构建【例3】(2019·广西南宁、柳州联考)如图所示,两颗质量相同的人造卫星A、B仅受地球的引力作用在同一平面内绕地心O做匀速圆周运动,已知在运动过程中,A、B连线与A、O连线间的夹角最大为θ,则A、B()A.动能之比为sinθ∶1B.动能之比为tanθ∶1C.周期之比为sin2θ∶1D.周期之比为sinθ∶1A-24-突破点三突破点四突破点五突破点一突破点二解析:运动过程中OAB构成一个三角形,假设A不动,只让B转动,很容易发现OB垂直AB时,OA与AB夹角最大,如图所示。由于OA、OB分别为卫星A、B的轨道半径rA、rB,则有sinθ=𝑟B𝑟A。由万有引力提供向心力可得G𝑀𝑚𝑟2=m𝑣2𝑟,G𝑀𝑚𝑟2=m2π𝑇2r,可求出A与B的动能之比𝐸kA𝐸kB=𝑟B𝑟A=sinθ∶1,周期之比𝑇A𝑇B=1sin32𝜃,A正确。-25-突破点三突破点四突破点五突破点一突破点二分析推理(1)如何找到OA连线与A、B连线的最大夹角?(2)卫星的v、T与轨道半径有什么关系?(1)提示:假设A不动,连接OA,观察B运动过程中,何时OA与AB夹角最大。(2)提示:由𝐺𝑀𝑚𝑟2=𝑚𝑣2𝑟得v=𝐺𝑀𝑟,由𝐺𝑀𝑚𝑟2=m4π2𝑇2r得T=4π2𝑟3𝐺𝑀。-26-突破点三突破点四突破点五突破点一突破点二迁移训练3.(2019·天津一模)“北斗”全球卫星导航定位系统由5颗静止轨道卫星和30颗非静止轨道卫星构成。30颗非静止轨道卫星中有27颗是中轨道卫星,中轨道卫星的轨道高度约为21500km,静止轨道卫星的高度约为36000km,已知地球半径为6400km。关于北斗导航卫星,下列说法正确的是()A.中轨道卫星的线速度约为7.9km/sB.中轨道卫星的运行周期比静止轨道卫星周期大C.中轨道卫星的向心加速度比静止轨道卫星的向心加速度大D