上海市黄浦区高三4月高考模拟数学试卷

上海市黄浦区2017届高三4月高考模拟数学试卷（完卷时间：120分钟满分：150分）一、填空题（本大题共有12题，满分54分．其中第1~6题每题满分4分，第7~12题每题满分5分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果．1．函数22yxx的定义域是____．2．若关于x、y的方程组10420axyxay有无数多组解，则实数a____．3．若“2230xx”是“xa”的必要不充分条件，则a的最大值为____．4．已知复数134iz，2izt（其中i为虚数单位），且12zz是实数，则实数t等于____．6．设变量x、y满足约束条件212xyxyy，则目标函数2zxy的最小值为____7．已知圆2:(4)(3)4Cxy和两点(m,0)A、(,0)(0)Bmm，若圆C上至少存在一点P，使得90APB，则m的取值范围是____．8．已知向量π(cos(),1)3a，(1,4)b，如果ab∥，那么πcos(2)3的值为____．9．若从正八边形的8个顶点中随机选取3个顶点，则以它们作为顶点的三角形是直角三角形的概率是____．10．若将函数π()|sin()|(0)8fxx(x)f的图像向左平移π12个单位后，所得图像对应的函数为偶函数，则的最小值是____．11．三棱锥PABC满足：ABAC⊥，ABAP⊥，=2AB，+=4APAC，则该三棱锥的体积V的取值范围是____．12．对于数列{}na，若存在正整数T，对于任意正整数n都有nTnaa成立，则称数列{}na是以T为周期的周期数列，设1(01)bmm，对任意正整数n都有11(1)1(01)nnnnnbbbbb若数列{}bb是以5为周期的周期数列，则m的值可以是____（只要求填写满足调节的一个m值即可）二、选择题（本大题共有4题，满分20分．）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．13．下列函数中，周期为π，且在ππ[,]42上为减函数的是（）A．πsin(2)2yxB．πcos(2π+)2yC．πsin()2yxD．πcos()2yx14．如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是（）A．9πB．10πC．11πD．12π15．已知双曲线22221(0,0)xyabab的右焦点到左顶点的距离等于它到渐近线距离的2倍，则其渐近线方程为（）A．20xyB．20xyC．430xyD．340xy16．如图所示，2π3BAC，圆M与AB、AC分别相切于点D、E，1AD，点P是圆M及其内部任意一点，且(,)APxADyAExyR，则xy的取值范围是（）A．[1,423]B．[423,423]C．[1,23]D．[23,23]三、解答题（本大题共有5题，满分76分．）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17．如图，在直棱柱111ABCABC中，12AAABAC，ABAC⊥，D、E、F分别是11AB、1CC、BC的中点．（1）求证：AEDE⊥；（2）求AE与平面DEF所成角的大小及点A到平面DEF的距离．18．在ABC△中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且cosbC、cosaA、coscB成等差数列．（1）求角A的大小；（2）若32a，6bc，求||ABAC的值．19．如果一条信息有(1,)nnnN种可能的情形（各种情形之间互不相容），且这些情形发生的概率分别为1P，2P，…，nP，则称12()()()nHfPfPfP…其中()logafxxX，(0,1)x为该条信息的信息熵．已知11()22f．（1）若某班共有32名学生，通过随机抽签的方式选一名学生参加某项活动，试求“谁被选中”的信息熵的大小；（2）某次比赛共有n位选手（分别记为1A，2A，…，nA）参加，若当1,2,,1kn…时，选手kA获得冠军的概率为2k，求“谁获得冠军”的信息熵H关于n的表达式．20．设椭圆2222:1(0)xyMabab的左顶点为A、中心为O，若椭圆M过点11(,)22P，且APPO⊥．（1）求椭圆M的方程；（2）若APQ△的顶点Q也在椭圆M上，试求APQ△面积的最大值；（3）过点A作两条斜率分别为1k、2k的直线交椭圆M于D、E两点，且121kk，求证：直线DE恒过一个定点．21．若函数()fx满足:对于任意正数s、t，都有()0fs，()0ft，且()()()fsftfst，则称函数()fx为“L函数”．（1）试判断函数21()fxx与122()fxx是否是“L函数”；（2）若函数()31(31)xxgxa为“L函数”，求实数a的取值范围；（3）若函数()fx为“L函数”，且(1)1f，求证：对任意1*(2,2)()kkxkN，都有12()()2xfxfxx．