江苏省苏州市2013届高考模拟试卷

苏州市2013届高考数学模拟试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上．1．已知集合}5,3,1{A，集合},,2{baB，若{1,3}ABI，则ba的值是．2．若复数z满足(12)2izi，则z的虚部为．3．右图是一个算法流程图．若输入5n，则输出k的值为．4．设函数2()log12fxx的单调减区间是．5．学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽出了一个容量为n的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在[50，60)元的同学有30人，则n的值为．6．在线段AB上任取一点P，以P为顶点，B为焦点作抛物线，则该抛物线的准线与线段AB有交点的概率是．7．已知函数1()()2ln()fxaxxaxR，若曲线()yfx在点(1,0)处的切线方程是220xy，则a．8．设数列}{na(n*N)是等差数列.若2a和2012a是方程03842xx的两根，则数列}{na的前2013项的和2013S．开始0k＝3k＝k＋131nn150?n结束是否输入n输出,kn0.0360.0240.0102030405060元频率组距9．函数()sin()fxAx（,,A为常数，0,0A）在一个周期内的部分图象如图所示，则()12f的值是.10．三棱锥SABC中，E，F，G，H分别为SA，AC，BC，SB的中点，则截面EFGH将三棱锥SABC分成两部分BGHAFEV与SEHCFGV的体积之比为.11．在RtABC中，90C，4,2ACBC，D是BC的中点，E是AB的中点，若P是ABC（包括边界）内任一点．则ADEPuuuruur的取值范围是___________.12．已知实数,,xyz满足2221xyz，则xyyz的最大值是.13．设数列na的各项均为正数，前n项和为nS，对于任意的nN，2,,nnnaSa成等差数列，设数列nb的前n项和为nT，且2(ln)nnnxba，若对任意的实数1,xe（e是自然对数的底）和任意正整数n，总有nTr()rN．则r的最小值为.14．如图，双曲线22221xyab(a，b＞0)的两顶点为A1，A2，虚轴两端点为B1，B2，两焦点为F1，F2.若以A1A2为直径的圆内切于菱形F1B1F2B2，切点分别为A，B，C，D．则菱形F1B1F2B2的面积S1与矩形ABCD的面积S2的比值12SS.（第10题图）SBACEHGF（第9题图）二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或者演算步骤．15．（本小题满分14分）ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若2a，13b，且b是c2与Acos的等比中项．（1）求A，B，C；（2）若函数()sin(2)fxx（4）满足2)2(cCf，求函数)(xf的解析式及单调递减区间．16．（本小题满分14分）在等腰梯形PDCB(见图1）中，//DCPB，33PBDC，DAPB，垂足为A，将PAD沿AD折起，使得PAAB，得到四棱锥PABCD（见图2）．在图2中完成下面问题：（1）证明：平面PAD平面PCD；（2）在线段PB上是否存在一点M，使//PD平面AMC.若存在，请给出证明；若不存在，请说明理由.17．（本小题满分14分）如图所示，有一块半径长为1米的半圆形钢板，现要从中截取一个内接等腰梯形部件ABCD，设2CDx．（1）若用一种金属线条对梯形部件ABCD镶边，求最少需要准备该金属线条多少米；（2）求梯形部件ABCD面积的最大值．ABDCP图1ABDCPM图2BACDO••18．（本小题满分16分）如图，已知椭圆22221(0)xyabab的左右焦点为1(1,0)F，2(1,0)F，P为椭圆上的一点，Q为上顶点，M在1PF上，12FMMP，2POFM.（1）求当离心率12e时的椭圆方程；（2）求满足题设要求的椭圆离心率范围；（3）当椭圆离心率最小时，若过3(0,)7的直线l与椭圆交于,AB（异于Q），试问：AQB是否为定值并给出证明.19．（本小题满分16分）若在数列{}na中，11a，且对任意的*kN，21221,,kkkaaa成等比数列，其公比为kq.（1）若2kq（*kN），求13521kaaaa.（2）若对任意的*kN，22122,,kkkaaa成等差数列，其公差为kd，设11kkbq.①求证：{}nb成等差数列；②若12d，试求数列{}kd的前k项和kD.20．（本小题满分16分）已知函数1()(2)(1)2ln,().(,exfxaxxgxxeaR为自然对数的底数）（1）若函数1()(0,)2fx在上无零点，求a的最小值；（2）若对任意给定的00,e,0,e(1,2)ixxi在上总存在两个不同的，使得0()(),ifxgxa成立求的取值范围.xy1F2FOPM参考答案一、填空题1.42.353.34.1(,)25.1006.127.28.20139.62210.1∶111.[9,9]12.2213.214.522二、解答题15．（1）根据题意得2222cos22bcabcAcbc，即2222bbca，解得ca.∴222(31)3cos2222B.∴6B，∴512AC.（2）∵()sin(2)fxx，2)2(cCf，512C，∴52sin()122，又∵4，∴5124，6，∴()sin(2)6fxx.由222,262kxkkZ，可得单调递减区间为,,36kkkZ16．证明：（1）∵在图1的等腰梯形PDCB中，PBDA，∴所以在四棱锥ABCDP中，ABDA，又PAAB，且ABDC//，∴PADC，DADC，而DA平面PAD，PA平面PAD，ADAPA，∴DC平面PAD.∵DC平面PCD，∴平面PAD平面PCD.（2）当21MBPM时，有PD//平面AMC．证明：在梯形ABCD中，连结AC、BD交于点O，连结OM.易知AOB∽DOC，所以21ABDCOBDO.又21MBPM，所以MBPMOBDO，所以在平面PBD中，有MOPD//．又因为PD平面AMC，MO平面AMC，所以PD//平面AMC.17．如图所示，以直径AB所在的直线为x轴，线段AB中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，设(,)Cxy，过点C作ABCE于E，则(01)OExx，∴1EBx，（1）∵221xy，∴22(1)22CByxx，设ABCD的周长为l，则22222(01)lxxx.下面只需要求l的最大值.令22xt，则222(02)xtt，ABDCOPMBACDO••Eyx∴2242(1)55lttt，即当1t时，l有最大值5.（2）211()()(22)(1)1(01)22SxABCDCExyxxx（方法1）2243()(1)(1)221Sxxxxxx，令43221txxx，则32322'4622(231)2(1)(21)txxxxxx，令'0t，12x，当102x时，'0t，当112x时，'0t，所以当12x时，t有最大值2716，)(xS有最大值334.（方法2）22221221'()1(1)211xxxSxxxxx，令'()0Sx，∴2210xx，(21)(1)0xx，12x.且当102x时，0)(xS，当112x时，0)(xS，所以当12x时，()Sx有最大值334.（方法3）设COE（02），过点C作CEAB于E，则cos,sinOECE，11()()(22cos)sin(1cos)sin22SABCDCE(0)2，'()[(sinsincos)]'(sin)'(sincos)'S22coscossin22coscos1，令'()0S，得1cos2，即3，cos1（舍），且当03时，'()0S，当32时，'()0S，所以当3时，()S有最大值334.18．（1）由题意11,2ccea，得2a，2223bac,椭圆方程为22143xy.（2）（方法1）设00(,),(,)MMPxyMxy，12(1,0),(1,0)FF1(1,)MMFMxy，00(,)MMMPxxyy．010122,2,22,MMMMxxxFMMPyyy0021,332,3MMxxyy200242(,)333FMxy．20FMOP,2000242()0333xxy,2200020xxy2222200022(1)(1)(1)xxybaaa,22001210xxaa在(,]aa上有解，22001210yxxaa对称轴是2xa，2()0,()0,faaafa()0,()0,fafa02a112ceaa，01e,112e．（方法2）12221211(),23POPFPFFMPMPFPFPF，由2POFM得20POFM，121211()()023PFPFPFPF，化简得：221122230PFPFPFPF，22112122||2||||cos3||0PFPFPFFPFPF,①在12FPF中，由余弦定理,有222121212||||2||||cos4PFPFPFPFFPFc,②②-①得：2224||4PFc，即2||PFc,2||acPFac，2ac，即12cea，又01e，1[,1)2e.（3）AQB恒为直角．事实上，当e最小时，即12e，由（1）知椭圆方程为22143xy，依题意可设AB所在直线方程为37ykx，代入椭圆方程得2283576(34)0749kxkx，设1122(,),(,),AxyBxy则12212283,7(34)576,49(34)kxxkxxk(0,3)Q，1122(,3)(,3)QAQBxyxy=11228383(,)(,)77xkxxkx=212121283192()749xxkxxkxx=2121283192(1)()749kxxkxx=2225768383192(1)49(34)77(34)49kkkkk=2222576576192576768049(34)kkkk，AQB恒为直角.19．（1）2kq，21214kkaa，13521,,kaaaa是首项为1，公比为4的等比数列，13521141(41)143kkkaaaa.（2）①2,2122,kkkaaa成等差数列，212222kkkaaa，又21222211,kkkkkkaaaaqq，112kkqq，则1111kkqq，得1111111kkkkqqqq，111111kkqq，即11nnbb，nb是公差为1的等差数列.②1322,2daa，则由223212aaa，解得22a或21a