高考模拟试卷(八)

高考模拟试卷(八)(时间：120分钟满分：150分)第Ⅰ卷(选择题共40分)一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在复平面内，复数z＝1－i对应的向量为OP→，复数z2对应的向量为OQ→，那么向量PQ→对应的复数为()A．1－iB．1＋iC．－1＋iD．－1－i答案D解析因为z2＝－2i，而PQ→＝OQ→－OP→，故向量PQ→对应的复数为－2i－(1－i)＝－1－i，故选D.2．设集合A＝x，yx24＋y216＝1，B＝{(x，y)|y＝3x}，则A∩B的子集个数是()A．4B．3C．2D．1答案A解析集合A是以原点为对称中心，长半轴长为4，短半轴长为2的椭圆；集合B是过点(0,1)的指数函数的图象，数形结合，可知两图象(图略)有两个交点，故A∩B中有两个元素，所以A∩B的子集个数是4，故选A.3．“直线l与平面α内的一条直线平行”是“直线l与平面α平行”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案B解析当直线l在平面α内时，不能推出直线l与平面α平行；当直线l与平面α平行时，根据线面平行的性质知，在平面α内存在一条直线与直线l平行，所以“直线l与平面α内的一条直线平行”是“直线l与平面α平行”的必要不充分条件，故选B.4．设函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω0)，则f(x)的奇偶性()A．与ω有关，且与φ有关B．与ω有关，但与φ无关C．与ω无关，且与φ无关D．与ω无关，但与φ有关答案D解析ω决定函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的最小正周期，φ决定函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的图象沿x轴平移的距离，所以函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的奇偶性与ω无关，与φ有关，故选D.5．已知(1＋x)＋(1＋x)2＋(1＋x)3＋…＋(1＋x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，且a0＋a1＋a2＋…＋an＝126，那么x－1xn的展开式中的常数项为()A．－15B．15C．20D．－20答案D解析令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋an＝2＋22＋…＋2n＝2×1－2n1－2＝2n＋1－2＝126，则2n＋1＝128，解得n＝6，则二项展开式的通项为Tk＋1＝Ck6(x)6－k－1xk＝Ck6·(－1)kx3－k.令3－k＝0，得k＝3，则常数项为－C36＝－20，故选D.6．从双曲线x23－y25＝1的左焦点F引圆x2＋y2＝3的切线FP交双曲线右支于点P，T为切点，M为线段FP的中点，O为坐标原点，则|MO|－|MT|等于()A.3B.5C.5－3D.5＋3答案C解析设双曲线的右焦点为F1，连接PF1.因为点M为PF的中点，点O为F1F的中点，所以|OM|＝12|PF1|＝12(|PF|－23)＝|FM|－3，所以|OM|－|MT|＝|FM|－|MT|－3＝|FT|－3，又直线FP与圆x2＋y2＝3相切于点T，所以|FT|＝8－3＝5，则|OM|－|MT|＝5－3，故选C.7．已知函数f(x)(x∈R且x≠1)的图象关于点(1,0)对称，当x1时，f(x)＝loga(x－1)，且f(3)＝－1，则不等式f(x)1的解集是()A.－3，32B．(－∞，－3)∪32，＋∞C．(－∞，－1)∪32，＋∞D．(－∞，－1)∪1，32答案D解析由f(3)＝loga(3－1)＝－1，得a＝12，所以当x1时，f(x)＝12log(x－1)单调递减，又由12log(x－1)＝1，得x＝32，所以f(x)1在(1，＋∞)上的解集为1，32；又函数f(x)的图象关于点(1，0)对称，所以函数f(x)在(－∞，1)上单调递减，且(3，－1)关于点(1，0)的对称点(－1,1)在函数图象上，所以不等式f(x)1在(－∞，1)上的解集为(－∞，－1)．综上所述，不等式f(x)1的解集为(－∞，－1)∪1，32，故选D.8．已知直线l：x＋ay－1＝0(a∈R)是圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的对称轴，过点A(－4，a)作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|等于()A．2B．42C．6D．210答案C解析根据直线与圆的位置关系求解．由于直线x＋ay－1＝0是圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的对称轴，∴圆心C(2,1)在直线x＋ay－1＝0上，∴2＋a－1＝0，∴a＝－1，∴A(－4，－1)．∴|AC|2＝36＋4＝40.又r＝2，∴|AB|2＝40－4＝36.∴|AB|＝6，故选C.9．已知f(x)＝x2＋3x，若|x－a|≤1，则下列不等式一定成立的是()A．|f(x)－f(a)|≤3|a|＋3B．|f(x)－f(a)|≤2|a|＋4C．|f(x)－f(a)|≤|a|＋5D．|f(x)－f(a)|≤2(|a|＋1)2答案B解析∵f(x)＝x2＋3x，∴f(x)－f(a)＝x2＋3x－(a2＋3a)＝(x－a)(x＋a＋3)，∴|f(x)－f(a)|＝|(x－a)(x＋a＋3)|＝|x－a||x＋a＋3|，∵|x－a|≤1，∴a－1≤x≤a＋1，∴2a＋2≤x＋a＋3≤2a＋4，∴|f(x)－f(a)|＝|x－a||x＋a＋3|≤|2a＋4|≤2|a|＋4，或|f(x)－f(a)|＝|x－a||x＋a＋3|≤|2a＋2|≤2|a|＋22|a|＋4，故选B.10．如图，平面PAB⊥平面α，AB⊂α，且△PAB为正三角形，点D是平面α内的动点，四边形ABCD是菱形，点O为AB的中点，AC与OD交于点Q，l⊂α，且l⊥AB，则PQ与l所成角的正切值的最小值为()A.－3＋372B.3＋372C.7D.3答案B解析如图，过点D，Q分别作DE⊥AB于点E，QH⊥AB于点H，连接PH，设∠ABC为θ，则QH＝13DE＝13ADsinθ，OH＝13OE＝13ADcosθ＋12AB，设AD＝AB＝3，则QH＝sinθ，OH＝cosθ＋12，PO＝332，∴PH＝PO2＋OH2＝7＋cosθ＋cos2θ，要求的角即为∠PQH，∴tan∠PQH＝PHQH，令cosθ＝t，－1t1，则tan∠PQH＝7＋t＋t21－t2＝－1＋8＋t1－t2＝－1＋116－8＋t＋638＋t≥3＋372(当且仅当8＋t＝638＋t，即t＝37－8时，等号成立)，故选B.第Ⅱ卷(非选择题共110分)二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．把答案填在题中横线上)11．已知函数f(x)＝2＋log14x，x1，2＋4x，x≤1，则ff12＝_____；若f(x)＝4，则x＝_____.答案112解析∵f(x)＝2＋log14x，x1，2＋4x，x≤1，∴f12＝2＋124＝4，ff12＝f(4)＝2＋log144＝2－1＝1.当x1时，由f(x)＝4，得2＋log14x＝4，则x＝1161，不合题意；当x≤1时，由f(x)＝4，得2＋4x＝4，则x＝121，符合题意．12．某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为______，表面积为________．答案838＋42解析由三视图得该几何体为底面边长为2的正方形，有一条长度为2的侧棱垂直于底面的四棱锥，则其体积为13×2×2×2＝83，表面积为2×2＋2×12×2×2＋2×12×22×2＝8＋42.13．已知数列{an}是公差为1的等差数列，数列{2an}的前5项和等于62，则数列{an}的通项公式为________；其前10项和为________，其中n∈N*.答案an＝n55解析由an＋1－an＝1，知122anan＋＝2，所以{2na}是等比数列，由数列{2na}的前5项和S5＝12a×1－251－2＝62，得a1＝1，所以an＝n，数列{an}的前10项和T10＝55.14．在一个袋子中装有标注数字1,2,3,4的四个小球，这些小球除标注的数字外完全相同，现从中随机取出一个小球，记下数字后放回袋中，这样连续进行3次，则以记下的三个数字为边，不能组成三角形的概率为________．答案1532解析连续取3次，共有4×4×4＝64(种)不同的结果，其中不能组成三角形的数字的组合有(1,1,2)，(1,1,3)，(1,1,4)，(2,2,4)，(1,2,3)，(1,2,4)，(1,3,4)，有4C23＋3A33＝30(种)，故所求概率为3064＝1532.15．学校5月1日至5月3日拟安排6位老师值班，要求每人值班1天，每天安排2人，若6位老师中，甲不能值2日，乙不能值3日，则不同的安排值班方法数为________．答案42解析方法一6位老师每人值班1天，每天安排2人，共有C26C24C22种，安排甲2日值班或安排乙3日值班，均有C15C24C22种，而安排甲2日值班且安排乙3日值班共有C14C13C22种，所以依题意可得不同的安排值班方法数为C26C24C22－2C15C24C22＋C14C13C22＝42.方法二可分两类：第一类，安排甲3日值班且乙3日不值班，则满足条件的不同排法有C12C14C13C22种；第二类，安排甲1日值班且乙3日不值班，则满足条件的不同排法有C11C24C22＋C14C23C11种；根据分类加法计数原理，满足题意的排法总数为C12C14C13C22＋C11C24C22＋C14C23C11＝42.16．已知函数f(x)＝asin2x＋bcos2x(a，b∈R，且ab≠0)，则其最小正周期T＝________；若其图象关于直线x＝π6对称，则直线ax＋by＋2＝0的倾斜角α＝________.答案π120°解析显然最小正周期T＝π.因为函数y＝f(x)的图象关于直线x＝π6对称，所以f(0)＝fπ3，即b＝32a－12b，亦即a＝3b，故－ab＝－3，所以α＝120°.17．设A＝{(x，y)|x2－a(2x＋y)＋4a2＝0}，B＝{(x，y)||y|≥b|x|}，若对任意实数a，均有A⊆B成立，则实数b的最大值为________．答案2解析(1)当b≤0时，集合B表示的是整个坐标平面上的所有点，显然对任意实数a，均有A⊆B成立．(2)当b0时，集合B表示的是两条直线y＝±bx围成的上下对角区域，如图阴影部分(含边界)所示，若a＝0，则A＝{(x，y)|x＝0}，即集合A表示y轴上的所有点，满足A⊆B成立．若a≠0，由x2－a(2x＋y)＋4a2＝0，得y＝1ax2－2x＋4a，则此抛物线与直线y＝bx至多有一个公共点，且与y＝－bx至多有一个公共点，即方程bx＝1ax2－2x＋4a，方程－bx＝1ax2－2x＋4a都至多有一个解，即方程x2－(2a＋ab)x＋4a2＝0和方程x2－(2a－ab)x＋4a2＝0都至多有一个解，则Δ1＝2a＋ab2－16a2≤0，Δ2＝2a－ab2－16a2≤0，解得－2≤b≤2.因为b0，所以0b≤2，所以b的最大值为2.三、解答题(本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)18．(14分)已知函数f(x)＝sin2ωx－sin2ωx－π6x∈R，ω为常数且12＜ω＜1，函数f(x)的图象关于直线x＝π对称．(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝1，f35A＝14，求△ABC面积的最大值．解(1)f(x)＝12－12cos2ωx－12－12cos2ωx－π3＝12cos2ωx－π3－12cos2ωx＝－14cos2ωx＋34sin2ωx＝12sin2ωx－π6.令2ωx－π6＝π2＋kπ，k∈Z，解得x＝π3ω＋kπ2ω，k∈Z.∴f(x)的对称轴为x＝π3ω＋kπ2ω，k∈Z.令π3ω＋kπ2ω＝π，k∈Z，解得ω＝2＋3k6，k∈Z.∵12＜ω＜1，∴