高考模拟试卷(五)

高考模拟试卷(五)(时间：120分钟满分：150分)第Ⅰ卷(选择题共40分)一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合M＝{x||x|≥3}，N＝{y∈Z|y2≤16}，那么(∁RM)∩N等于()A．[－3,3]B．(－3,3)C．{－3，－2，－1,0,1,2,3}D．{x|－3x3，x∈Z}答案D解析由题意得∁RM＝{x||x|3}＝{x|－3x3}，N＝{y∈Z|y2≤16}＝{y∈Z|－4≤y≤4}，所以(∁RM)∩N＝{x|－3x3，x∈Z}，故选D.2．已知复数z＝4＋2i1－i，i为虚数单位，则|z|等于()A．9B．3C.322D．92答案B解析因为z＝4＋2i1－i＝4＋2i1＋i1－i1＋i＝4－2＋4＋2i2＝2－22＋2＋22i，所以|z|＝2－22＋2＋22i＝2－222＋2＋222＝3，故选B.3．若(x－1)8＝1＋a1x＋a2x2＋…＋a8x8，则a5等于()A．56B．－56C．35D．－35答案B解析二项式(x－1)8的展开式中x5的系数为a5＝C38(－1)3＝－56，故选B.4．在某商场的促销活动中，A，B，C，D，E五名顾客随机抽取四个礼品，每人最多抽取一个，礼品中有两个相同的手机和两个相同的平板电脑，则A，B两人都抽到礼品的情况有()A．12种B．18种C．24种D．48种答案B解析若A，B两人抽到的礼品不同，则有A22A23种情况，若A，B两人抽到的礼品相同，则有C12C23种情况，又A22A23＋C12C23＝18，所以根据分类加法计数原理可得，A，B两人都抽到礼品的情况共有18种．5．已知x∈R，则“|x－3|－|x－1|2”是“x≠1”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案A解析当x＝1时，|x－3|－|x－1|2不成立，∴|x－3|－|x－1|2⇒x≠1，反之不成立，例如取x＝－1，∴|x－3|－|x－1|2是x≠1的充分不必要条件．6．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若b－65csinB＋csinC＝asinA，则sinA等于()A．－45B.45C．－35D.35答案B解析由b－65csinB＋csinC＝asinA及正弦定理，得b－65cb＋c2＝a2，由余弦定理得cosA＝b2＋c2－a22bc＝65bc2bc＝35，则在△ABC中，sinA＝45，故选B.7．设m1，在约束条件y≥x，y≤mx，x＋y≤1下，目标函数z＝x＋my的最大值小于2，则实数m的取值范围是()A．(1,1＋2)B．(1＋2，＋∞)C．(1，2)D．(3，＋∞)答案A解析因为m1，所以可行域是以1m＋1，mm＋1，12，12，(0,0)为顶点的三角形区域，如图(阴影部分，含边界)，令x＋my＝0，得y＝－1mx，所以当目标函数经过点A1m＋1，mm＋1时，取得最大值，所以1m＋1＋m2m＋12，所以m2－2m－10，解得1－2m1＋2，又m1，所以1m1＋2，所以实数m的取值范围是(1,1＋2)，故选A.8．已知椭圆x2a21＋y2b21＝1(a1b10)的离心率为22，双曲线x2a22－y2b22＝1(a20，b20)与椭圆有相同的焦点F1，F2，M是两曲线的一个公共点，若∠F1MF2＝60°，则双曲线的渐近线方程为()A．y＝±22xB．y＝±xC．y＝±2xD．y＝±3x答案A解析设焦距为2c，左、右焦点分别为F1，F2，椭圆长轴长为2a1，双曲线实轴长为2a2，点M在双曲线的右支上，则由双曲线和椭圆定义可得|MF1|－|MF2|＝2a2，|MF1|＋|MF2|＝2a1，解得|MF1|＝a1＋a2，|MF2|＝a1－a2.又∠F1MF2＝60°，则由余弦定理可得|MF1|2＋|MF2|2－2|MF1||MF2|cos60°＝4c2，则2(a21＋a22)－(a21－a22)＝4c2，即a21＋3a22＝4c2，又ca1＝22，则a21＝2c2，所以a22＝23c2，所以b22＝c2－a22＝13c2，则渐近线方程为y＝±b2a2x＝±22x，故选A.9．从1,2,3，…，9这9个整数中任意取3个不同的数作为二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的系数，则使函数f(x)满足f12∈Z的概率为()A.1121B.1021C.11126D.121答案A解析因为要使f(1)＝a＋b＋c为偶数，则a，b，c取三偶或二奇一偶，所以所求概率为C34＋C25C14·A33A39＝1121，故选A.10．已知正四面体ABCD的棱CD在平面α上，E为棱BC的中点，当正四面体ABCD绕CD旋转时，直线AE与平面α所成最大角的正弦值为()A．1B.336C.223D.63答案B解析取BD的中点F，则EF∥CD，所以直线AE与平面α所成的角即为AE与经过EF且平行于α的平面β所成的角，所以问题转化为求直线AE与绕EF旋转的平面β所成的最大角的正弦值，当平面β⊥平面AEF时，AE与β所成的角最大，最大角即∠AEF，设正四面体棱长为2，在△AEF中不难求得sin∠AEF＝336，故选B.第Ⅱ卷(非选择题共110分)二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．把答案填在题中横线上)11．已知抛物线y2＝2px过点P(2,4)，则p＝__________；准线方程为________．答案4x＝－2解析因为16＝4p，解得p＝4，所以准线方程为x＝－p2＝－2.12．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋2n－1(n∈N*)，则a1＝________；数列{an}的通项公式为an＝________.答案22，n＝1，2n＋1，n≥2n∈N*解析由题意得a1＝S1＝2，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(n2＋2n－1)－[(n－1)2＋2(n－1)－1]＝2n＋1，而a1＝2≠3，所以an＝2，n＝1，2n＋1，n≥2n∈N*.13．某简单几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是________，外接球的表面积是________．答案2425π解析由三视图得该几何体是一个底面是对角线长为4的正方形，高为3的直四棱柱，则其体积为4×4×12×3＝24.又直四棱柱的外接球的半径为R＝322＋22＝52，所以四棱柱的外接球的表面积为4πR2＝25π.14．某生在参加铅球、铁饼、标枪三项运动的考核中，获得“优秀”级的概率分别为45，35，25，且三项运动是否获得“优秀”级相互独立．记X为该生获得“优秀”级的运动项目数，分布列如下表，则y＝________，期望E(X)＝________.X0123P6125xy24125答案5812595解析因为x＝45×25×35＋15×35×35＋15×25×25＝37125，y＝1－6125－37125－24125＝58125，所以E(X)＝0×6125＋1×37125＋2×58125＋3×24125＝95.15．已知sin(3π－θ)＝52sinπ2＋θ(θ∈R)，则cosθ－π3＝________.答案±13＋156解析由已知条件得sinθ＝52cosθ，解得cosθ＝23，sinθ＝53或cosθ＝－23，sinθ＝－53，则cosθ－π3＝12cosθ＋32sinθ＝±13＋156.16．已知正实数x，y满足xy＋2x＋3y＝42，则xy＋5x＋4y的最小值为________．答案55解析因为x，y为正实数，所以由xy＋2x＋3y＝42，得y＝42－2xx＋30，所以0x21，则xy＋5x＋4y＝x42－2xx＋3＋5x＋442－2xx＋3＝3x＋3＋16x＋3＋31≥3×2x＋3·16x＋3＋31＝55，当且仅当x＋3＝16x＋3，即x＝1时等号成立，所以xy＋5x＋4y的最小值为55.17．已知a，b∈R且0≤a＋b≤1，函数f(x)＝x2＋ax＋b在－12，0上至少存在一个零点，则a－2b的取值范围为________________．答案[0,1]解析由函数f(x)＝x2＋ax＋b在－12，0上至少存在一个零点，得f(0)·f－12＝b14－a2＋b≤0，或f0＝b≥0，f－12＝14－a2＋b≥0，－12≤－a2≤0，Δ＝a2－4b≥0，又因为0≤a＋b≤1，则在平面直角坐标系aOb内画出两不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示(包含边界)，设z＝a－2b，由图易得当目标函数z＝a－2b经过平面区域内的点(0,0)时，z＝a－2b取得最小值zmin＝0－2×0＝0；当目标函数z＝a－2b经过平面区域内的点(1,0)时，z＝a－2b取得最大值zmax＝1－2×0＝1.综上所述，a－2b的取值范围为[0,1]．三、解答题(本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)18．(14分)已知f(x)＝sin2x－23sin2x＋23.(1)当x∈－π3，π6时，求f(x)的取值范围；(2)已知锐角三角形ABC满足f(A)＝3，且sinB＝35，b＝2，求△ABC的面积．解(1)∵f(x)＝sin2x＋23cos2x＝sin2x＋3(cos2x＋1)＝2sin2x＋π3＋3，又x∈－π3，π6，∴2x＋π3∈－π3，2π3，∴sin2x＋π3∈－32，1，∴2sin2x＋π3＋3∈[0,2＋3]，∴f(x)∈[0,2＋3]．(2)在锐角三角形ABC中，∵f(A)＝3，∴2sin2A＋π3＋3＝3，∴sin2A＋π3＝0，∴2A＋π3＝π，∴A＝π3，又sinB＝35sinA＝32，∴cosB＝45，∴sinC＝sinB＋π3＝sinBcosπ3＋sinπ3cosB＝35×12＋45×32＝3＋4310，∴c＝bsinB·sinC＝3＋433，∴S△ABC＝12bcsinA＝12×2×3＋433×32＝2＋32.19．(15分)如图，四边形ABCD为正方形，EA⊥平面ABCD，CF∥EA，EA＝2AB＝2CF＝2.(1)若EC交平面BDF于点G，求证：CG＝14CE；(2)求直线EF与平面BDF所成角的正切值．(1)证明如图，连接AC交BD于O，连接FO，因为EA∥FC，所以A，E，F，C四点共面，所以FO与EC相交，又OF⊂平面BDF，所以FO与EC的交点即EC与平面BDF的交点G.过O作OH∥AE交EC于点H，连接HF，因为O是AC的中点，所以H是EC的中点，所以OH＝12AE.因为AE∥CF，且AE＝2CF，所以OH∥CF，且OH＝CF，所以四边形OCFH为平行四边形，所以G是线段CH的中点，所以CG＝14CE.(2)解因为EA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以EA⊥BD，因为四边形ABCD是正方形，所以BD⊥AC，AC∩EA＝A，AC，EA⊂平面EAC，所以BD⊥平面EAC，因为EC⊂平面EAC，所以BD⊥EC，因为OC＝22AB＝CF＝OH，CF⊥OC，所以四边形HOCF为正方形，所以OF⊥EC.因为BD∩OF＝O，BD，OF⊂平面BDF，所以EC⊥平面BDF.所以∠EFG即直线EF与平面BDF所成的角．在Rt△EAC中，EC＝EA2＋AC2＝22，所以GC＝14EC＝22，EG＝322，又OC＝FC＝1，所以△OCF为等腰直角三角形，又CG⊥OF，所以GF＝FC2－GC2＝12－222＝22.所以tan∠EFG＝EGGF＝32222＝3.所以直线EF与平面BDF所成角的正切值为3.20．(15分)已知函数f(x)＝lnx－ax－1x＋1.(1)若函数f(x