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第3课时整式及因式分解考点一整式的概念内容单项式多项式定义数或字母的①组成的式子叫做单项式.单独的一个数或一个字母也是单项式几个单项式的②叫做多项式次数一个单项式中,所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数多项式中,次数最高项的次数,叫做这个多项式的次数系数单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数项多项式中,每个单项式叫做多项式的项积和考点二同类项、合并同类项1.同类项:所含字母③,并且相同字母的指数也④的项叫做同类项.几个常数项也是同类项.2.合并同类项:合并同类项后,所得项的系数是合并前各同类项的系数的和,且字母连同它的指数不变.【温馨提示】(1)同类项与系数无关,与字母的排列顺序无关,如-7xy与yx是同类项.(2)只有同类项才能合并,如x2与x3不能合并.相同相同考点三整式的运算类别法则整式的加减整式的加减实质就是⑤.一般地,几个整式相加减,如果有括号就先去括号,然后再合并同类项幂的运算同底数幂相乘am·an=⑥(m,n都是整数)幂的乘方(am)n=⑦(m,n都是整数)积的乘方(ab)n=⑧(n为整数)同底数幂相除am÷an=⑨(a≠0,m,n都为整数)am+nanbnamnam-n合并同类项(续表)类别法则整式的乘法单项式与单项式相乘把它们的系数、同底数幂分别相乘,对于只在一个单项式里含有的字母,则连同它的指数作为积的一个因式单项式乘多项式m(a+b+c)=⑩多项式乘多项式(m+n)(a+b)=⑪ma+mb+mcma+mb+na+nb(续表)类别法则整式的除法单项式除以单项式单项式除以单项式,把系数与同底数幂分别相除作为商的因式,对于只在被除式里含有的字母,则连同它的指数作为商的一个因式多项式除以单项式:(am+bm)÷m=a+b乘法公式平方差公式:(a+b)(a-b)=⑫完全平方公式:(a±b)2=⑬常用恒等变形(1)a2+b2=⑭=⑮;(2)(a-b)2=⑯-4aba2±2ab+b2a2-b2(a+b)2-2ab(a-b)2+2ab(a+b)2考点四因式分解1.定义:把一个多项式化成几个整式的⑰的形式,这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解.2.方法(1)提公因式法用字母表示:𝑚𝑎+𝑚𝑏+𝑚𝑐=𝑚(𝑎+𝑏+𝑐)公因式的确定:取各项系数的最大公约数,取各项相同的因式及其最低次幂.积(2)公式法3.步骤一提(提公因式);二套(套公式);三检验(检验是否分解彻底).考向一代数式及其求值1.已知某市出租车收费标准如下:乘车路程不超过3km的一律收费7元;超过3km的部分按每千米另收费1.8元,如果有人乘计程车行驶了mkm.若m≤3,那么费用为元;若m=5,则费用为元;若m3,则费用表示为元.[答案]710.6(1.8m+1.6)[解析]当m=5时,费用为7+1.8×(5-3)=10.6(元);当m3时,费用为7+1.8×(m-3)=1.8m+1.6(元).2.[2017·山西12题]某商店经销一种品牌的洗衣机,其中某一型号的洗衣机每台进价为a元,商店将进价提高20%后作为零售价进行销售,一段时间后,商店又以9折优惠价促销,这时该型号洗衣机的零售价为元.[答案]1.08a[解析]0.9(1+20%)a=1.08a.3.[2018·大庆]某商品打七折后价格为a元,则原价为()A.a元B.107a元C.30%a元D.710a元4.[2019·南充]原价为a元的书包,现按8折出售,则售价为元.5.[2018·徐州]若2m+n=4,则代数式6-2m-n的值为.B2𝟒𝟓a6.[2019·常德]若x2+x=1,则3x4+3x3+3x+1的值为.[答案]4[解析]原式=3x4+3x3+3x+1=3x2(x2+x)+3x+1=3x2+3x+1=3(x2+x)+1=4.考向二整式的运算7.判断正误.(1)a2+a3=a5;()(2)a4a3=a6;()(3)(a2)3=a5;()(4)a5÷a2=a3;()(5)(a+b)(a-b)=a2-b2;()(6)(a-b)2=a2-b2;()×√××√×(7)(a+b)2=a2+b2;()(8)-2x(x-y)=-2x2-2xy;()(9)(x+1)(3x-2)=3x2-x+2.()×××8.[2019·山西2题]下列运算正确的是()A.2a+3a=5a2B.(a+2b)2=a2+4b2C.a2·a3=a6D.(-ab2)3=-a3b69.[2014·山西3题]下列运算正确的是()A.3a2+5a2=8a4B.a6·a2=a12C.(a+b)2=a2+b2D.(a2+1)0=1DD10.[2018·山西3题]下列运算正确的是()A.(-a3)2=-a6B.2a2+3a2=6a2C.2a2·a3=2a6D.-𝑏22𝑎3=-𝑏68𝑎3D11.[2017·山西5题]下列运算错误的是()A.(3-1)0=1B.(-3)2÷94=14C.5x2-6x2=-x2D.(2m3)2÷(2m)2=m4[答案]B[解析]任何非零数的零次幂都是1,∴A正确;(-3)2÷94=9×49=4,∴B错误;5x2-6x2的计算属于合并同类项,即5x2-6x2=(5-6)x2=-x2,∴C正确;(2m3)2÷(2m)2=[22×(m3)2]÷(22×m2)=4m6÷4m2=(4÷4)(m6÷m2)=m4,∴D正确.12.[2016·山西6题]下列运算正确的是()A.-322=-94B.(3a2)3=9a6C.5-3÷5-5=125D.8−50=-32[答案]D[解析]-322=94,故A错误;(3a2)3=27a6,故B错误;5-3÷5-5=153÷155=153×55=52=25,故C错误;8−50=22-52=-32,故选D.13.[2015·山西2题]下列运算错误的是()A.120=1B.x2+x2=2x4C.|a|=|-a|D.𝑏𝑎23=𝑏3𝑎6[答案]B[解析]A.原式=1,正确;B.原式=2x2,错误;C.|a|=|-a|,正确;D.原式=𝑏3𝑎6,正确.故选B.14.[2014·山西11题]计算:3a2b3·2a2b=.15.[2018·山西11题]计算:(32+1)(32-1)=.6a4b417考向三因式分解16.(1)[2019·嘉兴]分解因式:x2-5x=;(2)[2019·绍兴]因式分解:x2-1=;(3)[2019·陇南]因式分解:xy2-4x=;(5)[2019·眉山]分解因式:3a3-6a2+3a=;(6)[2019·东营]因式分解:x(x-3)-x+3=;(7)[2019·大庆]分解因式:a2b+ab2-a-b=;(8)[2019·宜宾]分解因式:b2+c2+2bc-a2=.x(x-5)(x+1)(x-1)x(y+2)(y-2)(4)[2019·威海]分解因式:2x2-2x+12=;3a(a-1)2(x-3)(x-1)(a+b)(ab-1)(b+c+a)(b+c-a)2x-𝟏𝟐217.[2019·桂林]若x2+ax+4=(x-2)2,则a=.18.[2019·株洲]下列各选项中因式分解正确的是()A.x2-1=(x-1)2B.a3-2a2+a=a2(a-2)C.-2y2+4y=-2y(y+2)D.m2n-2mn+n=n(m-1)2-4D19.[2017·山西16(2)题]分解因式:(y+2x)2-(x+2y)2.20.[2014·山西17(2)题]分解因式:(x-1)(x-3)+1.解:(y+2x)2-(x+2y)2=[(y+2x)+(x+2y)]·[(y+2x)-(x+2y)]=(y+2x+x+2y)(y+2x-x-2y)=3(x+y)(x-y).解:原式=x2-4x+3+1=(x-2)2.考向四规律探索21.[2013·山西15题]一组按规律排列的式子:a2,𝑎43,𝑎65,𝑎87,…,则第n个式子是(n为正整数).[答案]𝑎2𝑛2𝑛-1[解析]a2,a4,a6,a8,…,分子可表示为:a2n;1,3,5,7,…,分母可表示为2n-1,则第n个式子为𝑎2𝑛2𝑛-1.22.[2016·山西13题]如图3-1,是一组有规律的图案,它们是由边长相同的小正方形组成的,其中部分小正方形涂有阴影,依此规律,第n个图案中有个涂有阴影的小正方形(用含有n的代数式表示).图3-1(4n+1)23.[2015·山西12题]如图3-2是一组有规律的图案,它们是由边长相同的正方形和正三角形镶嵌而成.第①个图案有4个正三角形,第②个图案有7个正三角形,第③个图案有10个正三角形,…,依此规律,第个图案有个正三角形(用含n的代数式表示).图3-2○n[答案](3n+1)[解析]∵第①个图案有3+1=4(个)正三角形,第②个图案有3×2+1=7(个)正三角形,第③个图案有3×3+1=10(个)正三角形,……∴第个图案有(3n+1)个正三角形,故答案为(3n+1).○n24.[2019·太原一模]如图3-3是一组有规律的图案,它们由半径相同的圆形组成,依此规律,第n个图案中有个圆形.(用含有n的代数式表示)[答案](3n+1)[解析]第1个图案中有(3×1+1)个圆形,第2个图案中有(3×2+1)个圆形,第3个图案中有(3×3+1)个圆形,…,以此类推,第n个图案中有(3n+1)个圆形.图3-325.把三角形按如图3-4所示的规律拼图案,其中第①个图案中有4个三角形,第②个图案中有6个三角形,第③个图案中有8个三角形,…,按此规律排列下去,则第⑦个图案中三角形的个数为.图3-41626.[2019·怀化]探索与发现:下面是用分数(数字表示面积)砌成的“分数墙”,则整面“分数墙”的总面积是.图3-5[答案]n-1[解析]第一行面积为12+12=1,第二行面积为13+13+13=1,第三行面积为14+14+14+14=1,…,第n行面积为1𝑛+1𝑛+1𝑛+…+1𝑛=1,∴整面“分数墙”的总面积是n-1.【方法点析】若第一个图形中元素个数为a,后面的图形中元素个数依次增加b个,则第n个图形中元素的个数为a+(n-1)×b.求解此类问题的关键是找出a,b的值.