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第1课时实数及其运算考点一实数的概念及分类1.有理数和无理数统称为实数.2.实数的分类:(1)按定义分类:实数有理数整数正整数②负整数①③④有限小数或者无限循环小数无理数正无理数负无理数无限不循环小数分数零正分数负分数(2)按大小进行分类,实数可分为三类,分别是正数,0和负数.【温馨提示】(1)0既不是正数,也不是负数,但0是自然数.(2)任何分数都是有理数,如227,-311等.(3)无理数的常见形式化简后仍带有根号的数,如3,𝑠𝑖𝑛45°化简之后含𝜋的数无限不循环小数,包括具有特定结构的数,如0.3030030003…(每相邻两个3之间依次多一个0)判断一个数是不是无理数时,不要只看形式,要看化简结果是不是无限不循环小数.考点二实数的有关概念1.数轴:规定了原点、正方向和单位长度的直线.数轴上的点与实数一一对应.2.相反数:a的相反数是⑤,0的相反数是0.若实数a,b互为相反数,则a+b=0.3.倒数:非零实数a的倒数是⑥,特别地,0没有倒数,倒数等于它本身的数是±1.若实数a,b互为倒数,则ab=⑦.-a1图1-1𝟏𝒂4.绝对值:数轴上表示数a的点与原点的距离,记作|a|,|a|=𝑎(𝑎0),0(𝑎=0),⑧(𝑎0).【温馨提示】|a|是一个非负数,即|a|≥0.-a5.近似数:一个近似数四舍五入到哪一位,那么就说这个近似数精确到哪一位.【温馨提示】有计数单位的近似数,由近似数的数位和后面的单位共同确定.如3.618万,数字8实际上是十位上的数字,即精确到十位.考点三科学记数法1.定义:把一个数写成a×10n的形式,其中,1≤|a|10,n为整数.2.n的确定(1)对于绝对值大于10的数,n为正数,n等于原数的整数位数减1;(2)对于绝对值大于0且小于1的数,n为负数,n的绝对值等于原数左起第一个非零数前所有零的个数(包括小数点前的零).3.常考的计数单位和计量单位1亿=⑨,1万=⑩;1mm=10-3m,1nm=10-9m等.1081044.科学记数法的还原(1)绝对值大于10的数的还原:将数a的小数点向⑪移动n位;(2)绝对值大于0且小于1的数的还原:将数a的小数点向⑫移动|n|位.右左考点四实数的大小比较数轴比较法数轴上的两个点表示的数,右边的数总比左边的数⑬性质比较法(1)正数0负数;(2)两个正数,绝对值大的较大;两个负数,绝对值大的反而⑭;(3)若一组数据中有正数,0,负数,求最大的数时在正数中找,求最小的数时在负数中找差值比较法对于任意实数a,b:a-b0⇔⑮;a-b=0⇔⑯;a-b0⇔⑰大小aba=bab(续表)平方比较法a2b⇔ab(a0,b≥0),ab⇔ab≥0(主要用于含有二次根式的无理数的大小比较或无理数的估算)求商比较法当b0时,ab1⇔ab,ab1⇔ab;当b≠0时,ab=1⇔a=b考点五实数的运算运算律交换律a+b=⑱,ab=⑲结合律(a+b)+c=⑳,(ab)c=㉑分配律a(b+c)=㉒几种常见的运算乘方an=a·a·…·a(n个a相乘)零次幂任何非零实数的零次幂都为1,即a0=㉓(a≠0)b+abaa+(b+c)a(bc)ab+ac1(续表)几种常见的运算负整数次幂规定a-n=1an(a≠0,n为正整数),特别地,a-1=㉔(a≠0)-1的整数次幂(-1)n=㉕,n为奇数;㉖,n为偶数运算顺序先算乘方,再算乘除,最后算加减;同级运算,从左到右进行;如有括号,先进行㉗运算,一般按小括号、中括号、大括号依次进行𝟏𝒂-11括号内的【温馨提示】在进行负整数指数幂的运算时,防止出现以下错误:(1)3-2=-19;(2)2a-2=12𝑎2.考向一实数的概念及分类1.[2019·山西1题]-3的绝对值是()A.-3B.3C.-13D.13B2.[2016·山西1题]-16的相反数是()A.16B.-6C.6D.-163.[2019·邵阳]下列各数中,属于无理数的是()A.13B.1.414C.2D.4CA4.[2019·滨州]下列各数中,负数是()A.-(-2)B.-|-2|C.(-2)2D.(-2)05.[2019·宜昌]如图1-2,A,B,C,D是数轴上的四个点,其中最适合表示无理数π的点是()A.点AB.点BC.点CD.点D图1-2BD6.-2的相反数是,倒数是,绝对值是,0次幂是,平方是.1𝟐-𝟐𝟐𝟐2考向二科学记数法7.[2019·太原模拟]2019年1月1日,“学习强国”平台全国上线,截至2019年3月17日,太原党员“学习强国”APP注册人数约为1180000,参学覆盖率达71%,稳居全国前列.将数据1180000用科学记数法表示为.1.18×106[答案]C[解析]186亿吨=18600000000吨=1.86×1010吨.8.[2017·山西8题]2017年5月18日,我国宣布在南海神狐海域成功试采可燃冰,成为世界上首个在海域连续稳定产气的国家.据粗略估计,仅南海北部陆坡的可燃冰资源就达到186亿吨油当量,达到我国陆上石油资源总量的50%.数据186亿吨用科学记数法可表示为()A.186×108吨B.18.6×109吨C.1.86×1010吨D.0.186×1011吨9.[2014·山西9题]PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5μm(1μm=0.000001m)的颗粒物,也称为可入肺颗粒物,它们含有大量的有毒、有害物质,对人体健康和大气环境质量有很大危害.2.5μm用科学记数法可表示为()A.2.5×10-5mB.0.25×10-7mC.2.5×10-6mD.25×10-5mC10.[2019·山西7题]五台山景区空气清爽,景色宜人.“五一”小长假期间购票进山游客达12万人次,再创历史新高.五台山景区门票价格旺季168元/人.以此计算,“五一”小长假期间五台山景区进山门票总收入用科学记数法表示为()A.2.016×108元B.0.2016×107元C.2.016×107元D.2016×104元C[答案]C[解析]1010立方米/秒=1.01×103×3600立方米/时=3.636×106立方米/时.11.[2018·山西6题]黄河是中华民族的象征,被誉为母亲河,黄河壶口瀑布位于我省吉县城西45千米处,是黄河上最具气势的自然景观.其落差约30米,年平均流量1010立方米/秒.若以时作时间单位,则其年平均流量可用科学记数法表示为()A.6.06×104立方米/时B.3.136×106立方米/时C.3.636×106立方米/时D.36.36×105立方米/时12.[2013·山西11题]起重机将质量为6.5t的货物沿竖直方向提升了2m,则起重机提升货物所做的功用科学记数法表示为(g=10N/kg)()A.1.3×106JB.13×105JC.13×104JD.1.3×105JD考向三实数的大小比较13.[2018·山西1题]下面有理数比较大小,正确的是()A.0-2B.-53C.-2-3D.1-4B14.[2019·泰安]在实数|-3.14|,-3,-3,π中,最小的数是()A.-3B.-3C.|-3.14|D.πB[答案]B[解析]由数轴可知,m-10,n10.∴|m|1,mn0,m+10,-m0,∴1-m1.∴选项A,C,D错误,正确的是选项B.故选B.15.[2019·自贡]实数m,n在数轴上对应点的位置如图1-3所示,则下列判断正确的是()A.|m|1B.1-m1C.mn0D.m+10图1-3考向四实数的运算16.[2017·山西1题]计算-1+2的结果是()A.-3B.-1C.1D.3C17.[2018·山西16(1)题]计算:(22)2-|-4|+3-1×6+20.解:原式=8-4+2+1=7.18.[2017·山西16(1)题]计算:(-2)3+13-2−8sin45°.19.[2019·山西16(1)题]计算:27+-12-2-3tan60°+(π-2)0.解:(-2)3+13-2−8sin45°=-8+9-22×22=-1.解:原式=33+4-33+1=5.